精品解析：江苏省苏州市常熟市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025~2026学年第一学期期中试卷 高二数学 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、调研序列号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得， 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件， 故选：D 4. 已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【详解】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 5. 若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在圆上，利用待定系数法可得圆的一般方程，再根据点在圆上，可得解. 【详解】设圆的方程为，， 又，，在圆上， 则，解得， 即圆的方程为， 又点在圆上， 则，解得或（舍）， 故选：D. 6. 在数列中，，，，若的前项和为，则（ ） A. 4052 B. 4053 C. 4054 D. 4055 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，，， 令，则，即， 且，可得， 可知数列的一个周期为3， 所以. 故选：A. 7. 已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【详解】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 8. 已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（ ） A. 2020 B. 2022 C. 2023 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出等差数列的通项公式，根据通项公式的特征对每个选项进行分析得出答案. 【详解】设该等差数列为，其公差为， 设13､31､58分别为该数列中的，且， 不妨设. 则，，， 所以，， 将两式相除可得，设，，则， 将分别代入，，可得， 则，其中， 所以. 选项A. ， 因为，，所以，所以本选项符合题意； 选项B. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项C. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项D. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆始终相交 B. 若直线与圆相交于，两点，则最小时， C. 圆上一点到直线的最大距离为 D. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求出直线过定点，判断出定点在圆内，A正确；对B，当定点与圆心连线与直线垂直时最小，由垂直关系求斜率，进而得到；对C，先得到，进而求出最大值为；对D，先得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由直线可知该直线过定点， 圆可化为， 圆心，半径. 对于A：因为，所以定点在圆内， 所以直线与圆始终相交，A正确； 对于B：由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 因为，所以当时，最大，最小， 因为，所以此时直线的斜率为，所以，B错误； 对于C：圆上一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与圆半径的和， 由前面分析知，所以最大距离为，C正确； 对于D：若圆上到直线的距离为的点有且仅有个， 由A知，直线与圆始终相交，所以， 即，整理得，解得，D正确； 故选：ACD. 11. 已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（ ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可得到，并确定，可判断A，再利用求和公式并代入，得到二次函数可判断B，利用的通项公式可讨论正负取值，并结合函数单调性，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为，则由， 可得， 再由， 所以有，即为递减数列，故A正确； 因为， 由于开口向下，对称轴为，因为为正整数，所以当时，取得最大值，故B正确； 由 ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因为， 所以当时，取得最大值，故D正确； 令，则构造 所以函数在上单调递增， 即当时，数列单调递增，此时是最大值， 而，即， 结合当或时，，所以是数列的最大项，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】把给定方程化成标准形式，再利用椭圆的特征列式求解即得. 【详解】椭圆方程化为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 已知集合，，则集合中所有元素的和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出集合和集合的元素，再找出它们的交集，最后根据等差数列求和即可. 【详解】对于集合，是正奇数，又，，最大为，此时， , 对于集合，又，，最大为，此时， , 设，则，可得，即，必须是的倍数， 设，则，又，即，解得，最大为， , 这是一个首项为，公差为，项数为的等差数列， 则集合中所有元素的和为. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由所给条件可转化为曲线与圆有且仅有两个交点即可，利用圆心到射线的距离及数形结合即可求解. 【详解】连接， 因为，所以， 所以， 即的轨迹方程为， 又曲线恒过点， 当时，曲线为上图所示折线， 由题意，此时折线与圆有且仅有两个交点即可， 所以圆心到射线的距离， 且圆心到射线的距离， 化简可得且， 解不等式可得且，所以； 同理，当时，折线开口向下，与圆无交点，不符合题意； 当时，曲线为，与圆无交点，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，点在曲线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用与关系即可求得通项公式； （2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）点在直线上，. 当时，， 当时，， 验证可知时也成立， . （2）由（1）知：， . 【点睛】本题考查利用与关系求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够将数列的通项进行准确裂项，进而前后相消求得数列的前项和. 16. 已知点和圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知圆经过点和点，且在直线上，求圆的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. （2）根据圆心在直线上，并且圆心到的距离相等联立方程，从而求得圆心和半径即可. 【小问1详解】 当不存在时，即，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当存在时，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 切线方程为 综上所述：切线方程为或 【小问2详解】 圆心在直线上，且圆心到,距离都为半径 ，解得 圆心到的距离为 圆的方程为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，过的直线交椭圆于，两点，的周长是. （1）求的方程； （2）若内切圆的半径为，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据焦距，求出c值，根据的周长，求出a值，根据a，b，c的关系，求出，代入即可得答案. （2）由题意，设l程为，与椭圆C联立，根据韦达定理，可得，的表达式，进而可得表达式，即可求出的面积，根据内切圆的半径及其周长，可求出的面积，列出等式，可求出m值，即可得答案. 【小问1详解】 因为焦距为4，所以，解得， 因为的周长为，解得， 所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线l不与x轴重合，由直线l过点，设其方程为， 与椭圆C联立，可得， ， ， 所以， 所以， 又内切圆的半径为，且的周长是， 所以， 所以，即， 解得或， 所以的方程为或，即或. 18. 已知圆和圆，点. （1）若圆与圆内切，求的值； （2）若圆上存在点，使，求的取值范围； （3）过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 【答案】（1） （2） （3） 设，则， 联立得：， 设，， ，， 以替换可得：，， ， 直线的方程为，即：， 当时，， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据两圆内切的条件列出方程求解； （2）由条件化简可得的轨迹方程，然后根据两圆有公共点，利用圆心距与半径之间的关系列出不等式求解即可； （3）设，联立圆的方程，由根与系数的关系可得弦中点的坐标，同理得出点坐标，求出直线的方程，即可得证. 【小问1详解】 因为圆与圆内切， 所以，即， 解得. 【小问2详解】 设， 由，可得， 化简可得， 即点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 由题意，圆与圆有公共点， 则，即， 解得. 【小问3详解】 略 19. 若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. （1）已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； （2）已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 【答案】（1） 数列和都为“整有界数列”，理由如下： 因为，则， 当时，， 当时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 当时，，当时，， 当时，增速快于，所以，即， 所以对于任意，， 所以， 所以， 所以， 而， 故结合题意可知正整数的取值需大于等于12， 所以取即为M的最小值，对于任意，， 所以是“整有界数列”. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据其单调递减，所以取M=1，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”.根据等比数列求和公式，可得，分别讨论n为奇数和偶数两种情况，结合条件，分析即可答案. （2）（ⅰ）将条件变形为，根据等比数列的定义，可证是以2为首项，2为公比的等比数列，可得，根据累加法，化简整理，即可得答案.（ⅱ）分析可得，则，根据求和公式，代入计算，可得，结合题意，分析即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 所以，则 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 则， 各式相加可得， 则，， 所以，又满足上式， 所以. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中试卷 高二数学 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、调研序列号填写在答题卡上； 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 4. 已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（ ） A. B. C. D. 5. 若四点，，，在同一个圆上，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，，，若的前项和为，则（ ） A. 4052 B. 4053 C. 4054 D. 4055 7. 已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（ ） A. 2020 B. 2022 C. 2023 D. 2025 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆始终相交 B. 若直线与圆相交于，两点，则最小时， C. 圆上一点到直线的最大距离为 D. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则 11. 已知等差数列满足，数列满足（），数列和的前项和分别为和，则（ ） A. 为递减数列 B. 当时，取得最大值 C. 没有最大项 D. 当时，取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 13. 已知集合，，则集合中所有元素的和为__________. 14. 在平面直角坐标系中，圆，若曲线上有且仅有两个点，过点作圆的两条切线，，为切点，满足，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，点在曲线上. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为. 16. 已知点和圆. （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知圆经过点和点，且在直线上，求圆的方程. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，过的直线交椭圆于，两点，的周长是. （1）求的方程； （2）若内切圆的半径为，求的方程. 18. 已知圆和圆，点. （1）若圆与圆内切，求的值； （2）若圆上存在点，使，求的取值范围； （3）过点作两条斜率之积为的直线，分别交圆于点，和，，设线段，的中点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 19. 若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. （1）已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； （2）已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $