精品解析：辽宁沈阳市第四十三中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试卷

2026~2027学年度沈阳市第四十三中学教育集团 八年级（上）期中考试数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长90分钟） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，不符合题意； B、是无限不循环小数，为无理数，符合题意； C、是分数，属于有理数，不符合题意； D、，是整数，属于有理数，不符合题意． 2. 已知a，b，c为的三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形的判定方法，包括勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．选项A、B、C均能判定直角三角形，而选项D的边长比不满足三角形存在条件，故不能判定． 【详解】∵ 三角形内角和为， 选项A：，代入，得， ∴，能判定直角三角形； 选项B：设，则，， ∴，能判定直角三角形； 选项C：即，符合勾股定理逆定理， ∴为直角，能判定直角三角形； 选项D：设，则，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形，故不能判定直角三角形． ∴ 故选：D． 3. 下列说法正确的是( ) A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 是的算术平方根 D. 是的一个平方根 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．的平方根是，故A错误． B．负数有立方根，故B错误． C．，故是的算术平方根，C错误． D．，故是的一个平方根，D正确． 4. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，熟记相关基础知识是解决本题的关键．根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3， 点在第二象限， ， 故选：． 5. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质、两点的距离公式，熟记垂直于x轴(或平行于y轴)的直线上的点横坐标相等是解题关键． 根据题意可设，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】轴，， 点A，B的横坐标相等，即点B的横坐标为， 设点， ， ， 解得∶或， 点 B的坐标是或， 故选：C． 6. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 根据正比例函数的增减性可知，进一步可知一次函数的图像经过的象限，即可确定． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 一次函数的图像经过第一、二、四象限， 故选：B． 7. 如图，长方形放在数轴上，，，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出的长，结合点在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴， 在中，， ∵以为圆心，长为半径画弧交数轴于点， ∴， ∵点表示的数为，点在点的右侧，点表示的数为． 8. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 9. 如图，圆柱形玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点A处想吃到点B处的食物，则它沿侧面爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图把圆柱体展开，连接，根据题意可得，进而可由两点之间，线段最短可知的长． 【详解】解：把圆柱体展开，连接，如图所示，    ∵圆柱的高等于，底面周长等于， ∴为底面半周长， ， ∴， ∴沿侧面爬行的最短路程是． 10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，易证，结合A的坐标为，即得出，，从而可知． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵A的坐标为， ∴，， ∴． 故选B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 的整数部分为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】找出与28相邻的两个完全平方数，确定的取值区间，即可得到其整数部分． 【详解】解：∵，， 且， ∴， 即， ∴的整数部分为． 12. 比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】由，可得，再利用不等式的性质可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解本题的关键． 13. 若点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，根据轴上的点纵坐标为，列式求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．则线段的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由作图可得垂直平分，则，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，中，＝，＝，，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，当直线与射线垂直时，的长为_____________． 【答案】或． 【解析】 【分析】由勾股定理求出的斜边的长，用面积法求出边上的高与的长；由折叠性质得、，又由且得、、三点共线，分点在射线上和点在射线上两种情况，利用勾股定理建立关于的方程求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得． 过点作，垂足为（如图）． ∵， ∴． ∵，且，， ∴在直角三角形中，由勾股定理得． ∵由折叠的性质，与的对应边相等， ∴，． ∵且， ∴、、三点共线． ∵，且点在射线上， ∴． 设，则． ①当点在射线上时，点在与之间， ∴． ∵， ∴， 解得， ②当点在射线上时（如图），点在与之间， ∴． ∵， ∴， 解得， 综上所述，或． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加法即可得出结果； （2）先计算绝对值、负整数指数幂、二次根式、零指数幂，再计算除法，最后计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过两式相减消去，先求的值，再代入求； （2）先将分数系数方程化为整数系数，再通过代入消元求解两个未知数的值． 【小问1详解】 解：， 得，， 解得． 将代入，得． 方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 两边同时乘以得，． 由得， 将代入得，， 解得， 代入得，． 方程组的解为． 18. 如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：证明，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵，， ， ∴ ． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标：____________； （2）的面积是_____________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为12，则点P的坐标是__________________． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求， 点的坐标 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，确定各点的对称点，然后连接顶点即可，通过图象确定点的坐标； （2）利用割补法求出三角形的面积； （3）画出示意图，确定边上的高，然后分两种情况进行讨论，利用勾股定理以及点的平移求出坐标． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图所示，以的顶点构造正方形， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：如图所示， 利用勾股定理可得， 设边上的高为，即为线段， ∴， 解得， 由图可知，， 由勾股定理得， ∴，即； 同理，当点在直线左侧时，，即； 综上，点P的坐标是或． 20. 为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过度时，按每度元计费，每月用电超过度但不超过度时，其中的度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 收费标准 （元/度） 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 （1）若小蔡家每月交电费元，每月用电量为度： ①每月用电量不超过度时，直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②每月用电量超过度时，直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）小蔡家当月交电费元，求小蔡家当月用电多少度？ （3）采用分段计费制度后，小蔡家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？ 【答案】（1）①；②． （2）小蔡家当月用电度． （3）小蔡家月用电量为度时，当月平均电价为元/度． 【解析】 【分析】（1）按各档用电量范围的收费标准，直接列出对应分段的函数解析式，并注明每段自变量的取值范围； （2）先判断元所处的用电档位，再代入对应档位的解析式求出用电量； （3）设用电量为度，由平均电价元/度得总电费，分三档逐段列方程并结合每段取值范围取舍． 【小问1详解】 解：①当时，电费按每度元计算，所以． ②当时，电费由三部分组成：前度电费（元）；超过度但不超过度的度电费（元）；超过度的度电费元． ． 【小问2详解】 解：当时，电费为（元）；当时，电费为（元）． ∵， ∴． 此范围电费解析式为． 将代入，得，解得，符合题意． 答：小蔡家当月用电度． 【小问3详解】 解：设月用电量为度时，平均电价为元/度，则总电费，分情况讨论： ①当时，，解得，不符合实际，舍去； ②当时，，解得． ∵， ∴不符合该档位的范围要求，舍去； ③当时，，解得． ∵， ∴符合该档位的范围要求． 答：小蔡家月用电量为度时，当月平均电价为元/度． 21. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． （1）已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（______，______）；点到轴的距离为______； （2）已知点的“系伴随点”为，求点的坐标及所在象限； （3）若点的“系伴随点”在坐标轴上，求与的关系式． 【答案】（1），8 （2）点的坐标为，点在第三象限 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，二元一次方程组，理解“系伴随点”的定义是解题的关键． （1）根据“系伴随点”的定义即可作答； （2）设点的坐标为，根据“系伴随点”的定义列出方程组，即可作答； （3）根据“系伴随点”的定义可得点的坐标为，然后分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：根据“系伴随点”的定义：点的坐标为． ∵点的“2系伴随点”为， ∴点的坐标为，即点， ∴点到轴的距离为8． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ∵点的“系伴随点”为， ∴，解得． ∴点的坐标为， ∴点在第三象限． 【小问3详解】 解：点的“系伴随点”为点 ∴点的坐标为， 坐标轴包括轴和轴，分两种情况讨论： 情况1：在轴上，轴上的点纵坐标为0，即：，整理得． 情况2：在轴上，轴上的点横坐标为0，即：，整理得． 综上，与的关系式为或． 22. 如图1，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． （1）求直线 对应的函数表达式． （2）是轴负半轴上的动点，过点作轴的垂线，与，分别相交于点，． ①若，求的值； ②如图2，连接，若，求点的坐标． ③在②的条件下，将直线向上平移1个单位长度得到直线，定义一个新函数：，若的图象与轴只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）① ② ③ 或 【解析】 【分析】（1）根据题意令，令，确定出，，再由对称找出，然后用待定系数法解直线对应的函数表达式即可． （2）①根据题意得，，再根据，建立关于的方程，解方程即可． ②连接，根据，，得出，再利用直角三角形中勾股定理建立方程，解方程即可． ③用待定系数法先找出直线对应的函数表达式，再向上平移一个单位得到，令得，要使的图象与轴只有一个交点再分类讨论的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴令得，即， 令得，解得，即， ∵点与点关于轴对称， ∴． 设直线对应的表达式为 ， 代入，得，解得， ∴直线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 ①根据题意得，， ∵， ∴， 整理得， ∴． ②如图，连接， ∵是轴负半轴上的动点，过点作轴的垂线，交于点． ∴，即， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ∴． ③设直线对应的表达式为， 代入，得，解得， ∴直线对应的函数表达式为． ∵直线向上平移1个单位长度得到直线， ∴， 令，则，解得， ∴与轴的交点， 当时，，若与轴有交点，则， ∴， 当时，若与轴有交点，则， ∴， 要使的图象与轴只有一个交点： 若，则两段都不含零点，交点个数为0，不合题意； 若，交点为，符合题意； 若，交点为，，交点个数为2，不合题意； 若，右段整体在的右侧，只有，符合题意； 综上可得，的取值范围为 或． 23. 综合与实践课上，瑞老师以“发现－探究－拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是瑞老师的课堂主题展示： 如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 （1）如图1，当时，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，当时， ①若，，求的长： ②如图3，若在同一平面内有一点 P，满足，．且，直接写出C到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图4，若等腰直角三角形，点B、F、Q在同一直线上，为中边上的高，延长交于点N，与交于点F，且，连接，若，，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明：∵在等腰中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①，②或者 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定是等边三角形，再利用“”证明，即可证明； （2）①根据（1）的方法，同理可证明，可得等腰是等腰直角三角形，再证明是直角三角形，利用勾股定理可得，问题得解；②分情况讨论：第一种情况：点在下方时，连接，将绕点C逆时针旋转，即与重合，此时得到，点P对应点X，过点C作于点J，即点C到的距离为，结合四边形内角和先证明点、点、点三点共线，根据是等腰直角三角形，可得，再证明是等腰直角三角形，即可求解；第二种情况：点在上方时，连接，将绕点C逆时针旋转，即与重合，此时得到，点P对应点X，过点C作于点J，即点C到的距离为，与交于点Y，通过证明，确定点在直线上，即点、点、点三点共线，按照情况一的方法可作答； （3）过点C作，交于点R，过点A作，交的延长线于点L，连接，过点A作于点V，在等腰直角中，有，证明是等腰直角三角形，接着利用“”证明；证明，，再利用角平分线的性质可得，利用“”证明；再利用 “”证明，可得，设，，在中，利用勾股定理可得的值，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①根据（1）的方法，同理可证明， ∴，， ∵，， ∴等腰是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，即是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以为边作等腰，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②分情况讨论： 第一种情况：点在下方时，连接，将绕点C逆时针旋转，即与重合，此时得到，点P对应点X，过点C作于点J，即点C到的距离为，如图， 根据旋转有：，，，， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴点、点、点三点共线， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 第二种情况：点在上方时，连接，将绕点C逆时针旋转，即与重合，此时得到，点P对应点X，过点C作于点J，即点C到的距离为，与交于点Y，如图， 根据旋转有：，，，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴点在直线上，即点、点、点三点共线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：点C到的距离为或者； 【小问3详解】 过点C作，交于点R，过点A作，交的延长线于点L，连接，过点A作于点V，如图， 在等腰直角中，有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 即， ∵为中边上的高， ∴， ∴结合，可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴根据角平分线的性质有：， ∵，， ∴结合三角形内角和，有， ∵，， ∴，同理可证明：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据角平分线的性质有：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴设，， ∴， ∵在中，， ∴，即：， ∵在中，， ∴，即： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及角平分线的性质等知识，问题的难点在第二问的第二小问以及第三问，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度沈阳市第四十三中学教育集团 八年级（上）期中考试数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长90分钟） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b，c为的三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是( ) A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 是的算术平方根 D. 是的一个平方根 4. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 6. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形放在数轴上，，，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为( ) A. B. C. D. 8. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱形玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁在点A处想吃到点B处的食物，则它沿侧面爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 的整数部分为_____________． 12. 比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 13. 若点在轴上，则点的坐标是______． 14. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接．则线段的长为_____________． 15. 如图，中，＝，＝，，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，当直线与射线垂直时，的长为_____________． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1） （2） 18. 如图，在中，点D在边上，已知，点E在上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标：____________； （2）的面积是_____________； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为12，则点P的坐标是__________________． 20. 为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过度时，按每度元计费，每月用电超过度但不超过度时，其中的度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 收费标准 （元/度） 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 （1）若小蔡家每月交电费元，每月用电量为度： ①每月用电量不超过度时，直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②每月用电量超过度时，直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）小蔡家当月交电费元，求小蔡家当月用电多少度？ （3）采用分段计费制度后，小蔡家月用电量为多少度时，其当月的平均电价为元/度？ 21. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为点的“系伴随点”．例如，点的“1系伴随点”为，即． （1）已知点的“2系伴随点”为，直接写出点的坐标（______，______）；点到轴的距离为______； （2）已知点的“系伴随点”为，求点的坐标及所在象限； （3）若点的“系伴随点”在坐标轴上，求与的关系式． 22. 如图1，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． （1）求直线 对应的函数表达式． （2）是轴负半轴上的动点，过点作轴的垂线，与，分别相交于点，． ①若，求的值； ②如图2，连接，若，求点的坐标． ③在②的条件下，将直线向上平移1个单位长度得到直线，定义一个新函数：，若的图象与轴只有一个交点，请直接写出的取值范围． 23. 综合与实践课上，瑞老师以“发现－探究－拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是瑞老师的课堂主题展示： 如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 （1）如图1，当时，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，当时， ①若，，求的长： ②如图3，若在同一平面内有一点 P，满足，．且，直接写出C到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图4，若等腰直角三角形，点B、F、Q在同一直线上，为中边上的高，延长交于点N，与交于点F，且，连接，若，，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $