精品解析：安徽合肥市第八中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

合肥八中2026-2027学年高二11月期中考试 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解. 【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，， 则 ， 又，，， 则，， 因此， . 故选：B 2. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】对于A：因为，， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量是，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以与不垂直，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A. 3. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，作于，于，求得，，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【详解】如图所示，作于，于. 在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与的夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 4. 已知分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为求的最小值，求得的对称点，根据对称性即可求得结果. 【详解】曲线是以 为圆心,2为半径的圆, 是以为圆心,1为半径的圆, 则的最小值为的最小值为, 如下图所示,作点关于直线的对称点,设其坐标为, 可得,解得,即, 连接,分别交直线､圆于点,连接，交圆于点, 可得, 当且仅当三点共线时的最小值为, 则的最小值为, 故选：A. 【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识. 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得切点弦的方程为，进而根据其与圆相切得，即，进而根据二次函数性质得最小值. 【详解】解：设点，，，， 因为分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为， 所以，则，即， 所以， 因为， 所以，即是方程的解， 所以点在直线上， 同理可得在直线上， 所以切点弦的方程为， 因为直线与圆相切， 所以，解得，即 所以， 所以当时，直线方程为，此时 所以的最小值为. 故选：D 7. 已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的斜率得到，，，结合椭圆定义得到，，由勾股定理列出方程，求出离心率. 【详解】 因为经过左焦点，且斜率为，故， 为三角形内角，所以，所以，则， 设，则， 由椭圆的定义可知：，即，解得：， 所以，， 由勾股定理得：， 故， 解得：，故椭圆离心率. 故选：B 8. 如图，已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据椭圆的性质结合已知条件求出椭圆方程，结合已知条件作出示意图，设点，利用椭圆的性质结合角平分线定理得出三角形的相似关系，从而得出关于的表达式，构造函数，根据函数单调性求出函数的值域范围． 【详解】设椭圆方程为，椭圆的离心率为且过点， ，解得， 椭圆方程为，焦点 为中点，为中点， 由中位线定理可得，． 设点，点在椭圆上， ，即，且， 由两点间的距离公式得： ， 同理可得， 线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上， ， ， ， ，, ， 又， ， ， 令， 求导得恒成立，即在上单调递增， ， ， 故的取值范围为． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分；若有3个符合题意的选项，每选对一个得2分；若有2个符合题意的选项，每选对一个得3分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与共面定理可判断A，利用空间向量的坐标判断两法向量平行与否，从而判断B，利用向量共线与数量积的坐标表示可判断C，利用方向向量与法向量的关系求得线面角，从而判断D. 【详解】对A，由可得，， 即，所以，，，四点共面，A正确； 对B，由题，，所以，不共线， 故与不平行，B错误； 对C，当，共线时，则，且，解得， 若为钝角，则，解得且，C错误； 对D，由，所以与所成角为，D正确； 故选：AD. 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误. 【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误； 对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，正确； 对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得， 曲线化为标准式得， 所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确； 对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题． 11. 已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线交于A，B两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于C，D两点，则（ ） A. 若，则的斜率 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由得到，再联立直线和椭圆，结合韦达定理即可求出斜率；B选项先联立直线和椭圆求出，再结合基本不等式求解即可；C选项由椭圆的定义结合两圆相切的圆心距和半径关系即可判断；D选项斜率存在和不存在时分别计算面积，求出面积范围即可判断. 【详解】易知：，对于A，若，显然直线的斜率存在且大于0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，又，故，整理得，由解得，又，故，A错误； 对于B，易知直线的斜率不为0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得，显然，，由点在轴的上方，显然，又，，故，当且仅当，即时取等，B正确； 对于C，设， 的中点为，则，又，由椭圆定义知：，即，又的圆心为，半径为2，故以为直径的圆与圆内切，C正确； 对于D，当直线的斜率存在时，由上知：，同理，故四边形面积为，令，则，又，故，故；又当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，易得，此时，故，D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题关键点在于A选项由和韦达定理解方程即可；B选项要先求出求出，再结合基本不等式的知识求解；C选项要结合椭圆的定义得到圆心距和半径之间的关系；D选项斜率存在时求出面积的范围，斜率不存在时直接求出面积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则向量______. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得，所以， 又因为，平面的法向量， 所以，解得， 故. 13. 已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线的对称性得圆得方程为：，再根据直线过定点，且在圆内得当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，当直线过圆心时，有最大值，最后计算即可得答案. 【详解】解：由圆得圆心，半径， 设圆的圆心为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以有，整理得，解得：， 所以圆得方程为：， 将直线方程变形为：， 所以直线过定点，易知其在圆内， 所以当直线与过点和的直线垂直时，有最小值， 此时最小值为：， 显然当直线过圆心时，弦有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查点关于线的对称性问题，圆的弦长的取值范围问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题. 14. 以椭圆的左右顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，，已知点的坐标为，双曲线上的点满足，则_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可求出双曲线方程，结合得出是的角平分线，联立由条件得出的点所在直线方程与双曲线方程，可求出点坐标和直线方程，再计算出点到直线的距离，可知点是的内切圆的圆心，最后按三角形面积公式计算即可. 【详解】由题，其顶点坐标为、，为双曲线焦点坐标，焦点坐标为、，为双曲线顶点坐标， 设双曲线方程为，因为，所以，即双曲线方程为. 由，可得在和在方向上的投影相等， 即点到与的距离相等，所以是的角平分线，如图： 因为，，，， ，，， 所以， 则， 因为, 又因为点在双曲线上，有，即，代入， 得， 因为， 将、代入，有，整理得， 化简得，则， 整理得，化简得，即， 解得，或， 当时，，不满足，舍去. 当时，，满足，因此点坐标为. 因为，所以直线方程为， 即，整理得， 因为点到直线的距离为，​ 又因为点到、、直线的距离都等于，即为内切圆的圆心， 又因为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分；第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量. （1）若与互相垂直，求； （2）记，且，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算结合运算求解；（2）根据理解可得，结合向量的坐标运算，整理求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 因为与互相垂直，所以， 即，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以 又因为，设为坐标原点， 所以，即. 16. 如图，在菱形中，沿对角线将△折起，使之间的距离为若分别为线段上的动点 （1）求线段长度的最小值； （2）当线段长度最小时，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：取中点，连结，，则，，因为，所以，所以为直角三角形所以，所以平面． 以分别为轴 （1）设出点的坐标，由空间向量计算求出，由二次函数性质求最小值即可． （2）由空间向量求出平面的法向量与向量，即可求之． 试题解析：取中点，连结，，则， ，， 因为，所以， 所以为直角三角形所以， 所以平面． 2分 以分别为轴，建立如图 所示空间直角坐标系，则， 3分 （1）设， 则 ， 5分 当时，长度最小值为． 6分 （2）由（1）知，设平面的一个法向量为， 由，得，化简得， 取，设与平面所成角为，则． 故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为． 10分 考点：空间向量的应用． 17. 已知直线经过点． (1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程； (2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2)． 【解析】 【分析】(1)本题首先可以假设直线的斜率不存在，然后根据点得出直线方程，再然后假设直线斜率存在并设出直线方程，最后根据原点到直线的距离为2即可得出结果； (2)本题首先可以设出直线与直线，的交点坐标、分别为、，然后根据中点坐标的相关性质得出、，再然后根据在上以及在上得出并解得的坐标是，最后根据直线的两点式方程即可得出结果. 【详解】(1)①直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为． ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由原点到直线的距离为2得，解得， 故直线的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． (2)设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 、的坐标分别设为、， 因为被点平分，所以，， 于是， 由于在上，在上，即，解得，， 即的坐标是，故直线的方程是，即． 【点睛】本题考查直线的方程的求法，主要考查直线的点斜式方程以及直线的两点式方程，考查中点坐标的相关性质以及点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，在计算过程中要注意斜率不存在的情况，是中档题. 18. 已知圆的圆心的坐标为，且圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，直线与直线的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）求的最小值； （3）问：是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) . (2) ； (3) 是定值，定值为-10. 【解析】 【分析】（1）根据圆与直线：相切，即圆心到直线的距离等于半径，求出半径，即可写出圆； （2）根据知当为最大值时，有最小值； （3）设中点为，，再设直线，联立方程组，计算即可得出． 【详解】解：（1）∵圆与直线：相切，圆心为， ∴半径， ∴圆的方程为. （2）∵，其中是圆心到直线的距离， ∴最大时，最小. ∵当是弦中点时，最大，且， ∴的最小值为. （3）设中点为，则即，∴， 且， ∴. 当与轴垂直时，方程为，代入圆方程得， ∴中点的坐标为，直线与直线的交点坐标为， ∴.∵，∴， ∴； 当与轴不垂直时，设方程为， 由，得， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为-10. 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，需要注意的是，在设直线时，分直线斜率存在和不存在．属于中档题 19. 已知焦距为的椭圆：，如果满足“”，则称此椭圆为“等差椭圆”. （1）如果椭圆：是“等差椭圆”，求的值； （2）如果椭圆：是“等差椭圆”，过作直线与此“等差椭圆”只有一个公共点，求直线的斜率； （3）对于焦距为12的“等差椭圆”，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线、分别与轴交于、两点，判断以线段为直径的圆是否过定点，说明理由. 【答案】（1）. （2）或. （3）由焦距可得，由（1）知，又， 所以，， 所以椭圆的方程为. 图象如图所示： 由椭圆的方程可得上顶点，由题意设，，， 所以直线的方程为，令，可得，则， 直线的方程为，令，可得，则 设以为直径的圆上一点为， 则圆的方程为， 即，即， 因为在椭圆上，所以，即，即， 所以圆的方程为， 令，可得，即， 故以线段为直径的圆过定点，. 【解析】 【分析】（1）新定义等差椭圆，要把定义中的条件与椭圆的固有关系结合起来进行代数变形求解. （2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，表示出直线的点斜式方程，直线与椭圆的方程进行联立，判别式为0，进而可求出斜率. （3）先根据关系求出椭圆的方程，再设出点坐标，根据对称性，写出点坐标，分别写出直线方程，求出坐标，进而写出以线段为直径的圆的方程，利用点在椭圆上，对圆的方程进行化简，令含参项的系数为0，解出定点. 【小问1详解】 解：因为椭圆为“等差椭圆”，所以，所以，又， 所以，整理可得，又， 所以. 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，整理可得，，整理可得， 由（1）知，所以，即或， 故直线的斜率为或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026-2027学年高二11月期中考试 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量是 B. C. D. 3. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. D. 7. 已知椭圆的左右焦点分别是、，焦距为，若直线与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆的离心率为且过点，，分别是椭圆在轴上的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点第一象限在椭圆上，且交轴于点，则（   ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分；若有3个符合题意的选项，每选对一个得2分；若有2个符合题意的选项，每选对一个得3分. 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若，，三点不共线，平面外任一点，有，则，，，四点共面 B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则 C. 已知向量，，若，则为钝角 D. 已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点 C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则 D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 11. 已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线交于A，B两点（点在轴的上方），过椭圆的右焦点的直线交于C，D两点，则（ ） A. 若，则的斜率 B. 的最小值为 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则四边形面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量，平面的法向量，若，，则向量______. 13. 已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________． 14. 以椭圆的左右顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线，其左右焦点分别是，，已知点的坐标为，双曲线上的点满足，则_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分；第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间向量. （1）若与互相垂直，求； （2）记，且，求点的坐标. 16. 如图，在菱形中，沿对角线将△折起，使之间的距离为若分别为线段上的动点 （1）求线段长度的最小值； （2）当线段长度最小时，求直线与平面所成角的正弦值 17. 已知直线经过点． (1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程； (2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程． 18. 已知圆的圆心的坐标为，且圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点，直线与直线的交点为. （1）求圆的标准方程； （2）求的最小值； （3）问：是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 19. 已知焦距为的椭圆：，如果满足“”，则称此椭圆为“等差椭圆”. （1）如果椭圆：是“等差椭圆”，求的值； （2）如果椭圆：是“等差椭圆”，过作直线与此“等差椭圆”只有一个公共点，求直线的斜率； （3）对于焦距为12的“等差椭圆”，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，为关于原点的对称点（也异于），直线、分别与轴交于、两点，判断以线段为直径的圆是否过定点，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $