精品解析：安徽省太和一中学2026-2027学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

安徽省太和一中学2026-2027学年高二上学期11月期中质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知、，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知圆：，则圆心与半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 4. 已知直线与平行，则他们之间的距离是 A. B. C. D. 5. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为 A. B. 2 C. D. 6. 若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 8. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 11. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 13. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 14. 某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点，向量，． （1）过点且一个法向量为的平面的方程为； （2）过点且方向向量为的直线的方程为． 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是___________． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知向量. （1）求； （2）求在方向上的投影向量. 16. 已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线l的方程（一般式表示）； （2）若点在直线l上，且，求的取值范围； （3）求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 17. 已知直线方程为． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 18. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边AC上的中线所在直线方程； （2）求的面积． 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心. （1）求圆的方程； （2）若点是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值； （3）若圆：上总存在点满足圆的方程，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省太和一中学2026-2027学年高二上学期11月期中质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知、，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间距离公式即可求解. 【详解】因为、， 所以， 故选：C. 2. 已知圆：，则圆心与半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】由圆的标准方程可知， 圆心，半径. 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A. 9 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60， ∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3， 丙车间生产产品所占的比例， 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的， 所以样本容量n=3÷=13． 考点：分层抽样方法 4. 已知直线与平行，则他们之间的距离是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行求，再将方程化为，根据平行直线距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，所以， 所以直线可化为， ∴两平行线之间的距离， 故选：B. 5. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为 A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，直线方程为：，即， 圆的标准方程为：， 圆心到直线的距离：， 则弦长为：. 本题选择A选项. 点睛：圆的弦长的常用求法 (1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 6. 若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解． 【详解】解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，. 故选B． 【点睛】本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题． 7. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，，； 由，所以，. 因为直线平分圆的面积，所以圆心在直线上。 所以. 所以， 所以，又，所以圆与圆内切. 8. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由圆，可得圆心，半径， 根据最短路径的对称转化规则，蚂蚁从出发经轴到圆上的最短路程， 等价于点关于轴的对称点到圆上点的最短距离， 由关于轴对称的点的坐标性质，得的对称点为， 根据两点间距离公式， ，  圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径， 因此最短路程为 二、多选题（本大题共3小题） 9. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由向量的加减法运算即可判断；对于B，，代入条件即可；对于C，将分解为，求模长即可；对于D，直线与平面所成的角即，余弦定理即可求解. 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，因为 ，且，所以  在底面 上的射影 落在 的平分线  上，  则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】AD 【解析】 【分析】通过空间向量三点共线、四点共面、线面垂直与向量夹角判定，利用系数和、向量平行、数量积规则判断，同时注意锐角要排除同向共线情况. 【详解】：若，且，则，，三点共线，因为，所以，，三点共线， ：不存在使，所以与不平行，即直线与平面不垂直， ：， 夹角为锐角需要满足：且与不共线， ， 若，共线：，解得：， 所以且， 当时，，错误 ：若，，则，，，四点共面， 因为，所以，，，共面. 11. 下列说法中，正确的有（　　） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过定点 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过举反例即可说明命题不成立；对于B，按合并同类项后令两系数为零求定点；对于C通过斜率和纵截距判断直线位置即得；D分“截距不为0”与“截距为0”两类求直线，可得所给答案不全. 【详解】对于A，若取两直线的斜率，则对应的倾斜角分别为， 显然，故A错误； 对于B，由直线方程可得，因， 则有，解得、，即直线恒过定点，故B正确； 对于C，直线方程化成斜截式，可知其斜率大于零，纵截距大于零，则直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，过且在两轴上截距相等的直线有两类： 截距不为时，可设为，代入点解得，则直线方程为； 截距为时，可设为，代入点解得，即直线方程为， 即满足条件的直线有两条，故D错误. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】使用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解. 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 13. 设m为实数，若方程表示圆，则m的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【详解】若方程表示圆，则，得，故的取值范围为. 14. 某校的几个高二年同学在深入研究选择性必修第一册教材第一章中的习题时发现原来空间直线与平面也有方程．教材中阐述并要求证明下面的两个结论： 在空间直角坐标系中，已知点，向量，． （1）过点且一个法向量为的平面的方程为； （2）过点且方向向量为的直线的方程为． 请利用这两个结论求解下列问题： 已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出已知的三个平面的法向量，由直线是两个平面与的交线，求出直线的方向向量，再根据线面角的向量求法，即可得到答案. 【详解】因为平面的方程为，则平面的法向量为， 平面与的法向量分别为，， 直线是两个平面与的交线， 设直线的方向向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 则直线与平面所成角的正弦值是. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知向量. （1）求； （2）求在方向上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解，得到答案； （2）利用求解即可. 【小问1详解】 已知向量 则， ， 所以 【小问2详解】 由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 16. 已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． （1）求直线l的方程（一般式表示）； （2）若点在直线l上，且，求的取值范围； （3）求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【小问1详解】 因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； 【小问2详解】 表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示： 则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. 【小问3详解】 点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 17. 已知直线方程为． （1）若直线的倾斜角为，求的值； （2）若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）面积的最小值为，此时直线的方程为. 【解析】 【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值； （2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意可得. 【小问2详解】 解：在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 18. 已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）求边AC上的中线所在直线方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得的中点，由此求得边AC上的中线所在直线方程. （2）结合点到直线距离公式求得的面积. 【小问1详解】 的中点为， 所以边AC上的中线所在直线方程为. 【小问2详解】 直线的方程为， 到直线的距离为， ， 所以. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，.点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心. （1）求圆的方程； （2）若点是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值； （3）若圆：上总存在点满足圆的方程，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点坐标，根据两点间距离公式结合列方程，化简后得到圆的标准方程. （2）将四边形的面积转化为与相关的表达式，当取圆心到直线的最短距离时，面积取得最小值. （3）圆上存在满足圆方程的点等价于两圆有公共点，根据两圆位置关系与圆心距的取值范围列不等式求解即可. 【小问1详解】 设点. ∵ ，，， ∴ ， 两边平方得， 展开整理得， 配方得， 即圆的方程为. 【小问2详解】 ∵ 为圆的切线， ∴ ，，，， ∴ 四边形的面积. 又， ∴ 当取最小值时，取得最小值. ∵ 为直线上的动点， ∴ 的最小值为圆心到直线的距离， ， ∴ ， ∴ . 【小问3详解】 由题意可知圆的标准方程为， 圆心为，半径. ∵ 圆上总存在点满足圆的方程， ∴ 圆与圆有公共点， ∴ ，其中为圆半径. ∵ ， ∴ ， 两边平方得， 解不等式左边：， 解不等式右边：， 解得， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $