精品解析：山东省郯城第二中学2026-2027学年高一上学期普通高中学科素养10月份水平监测数学试题

高一年级普通高中学科素养10月份水平监测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】存在量词命题“，”的否定为全称量词命题“，”. 2. 已知集合，，则中所有元素之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 所以， 所以中所有元素之和为. 3. 在下列函数中，与函数是同一函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数相等的概念逐项判断即可． 【详解】函数的定义域为，且 对于A，函数的定义域为，且，与的对应关系相同，故A满足要求； 对于B，函数的定义域为，与的定义域不相同，故B不满足要求； 对于C，函数的定义域为，且，与的对应关系不相同，故C不满足要求； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不相同，故D不满足要求． 4. 设，命题p：“”；命题q：“函数的定义域为”．则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对任意实数恒成立及集合的关系进行判断即可． 【详解】由函数的定义域为， 得对任意实数恒成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，若， 则需满足，解得：； 综上所述：， 而是的真子集，故p是q的必要不充分条件． 5. 德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数是以他名字命名的函数，记，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 则，，，…，， 所以当时，， 故． 6. 已知，，且，若存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对化简得到，利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由题可得，其中， 存在，使成立，则， 当且仅当，即，时，有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 7. 由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【解析】 【分析】设两次油价，分别求出两种加油方案的均价，用作差法比较大小. 【详解】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 8. 定义.设函数，：记函数，且函数在区间上的值域为，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据取大函数的定义，结合一次函数、二次函数的图象与性质，数形结合计算即可. 【详解】令，解之得或，作出大致图象如下： 令或， 结合图象可知，若函数在区间上的值域为可知， 所以的最大值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】结合不等式的基本性质及真假命题判断，可通过举反例、作差法、不等式同向可加性等方法逐一分析选项. 【详解】对于A，举反例：取，，满足，但，故A错误； 对于B，对移项通分得，已知，则，要使分式的值小于，需分母，故B正确； 对于C，作差比较：，由得，，即差值为负，因此，故C错误； 对于D，由得，与同向相加，得，即，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 已知，则解析式为（且） C. 函数的值域为 D. 函数的定义域和值域均为 【答案】CD 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域可判断A；由换元法求解析式可判断B；由换元法求函数的值域可判断C，由可判断D． 【详解】对于A，的定义域为，则，得， 则的定义域为，故A错误； 对于B，令，，得， 则，得，且，故B错误； 对于C，令，得， 则，因为，所以， 故函数的值域为，故C正确； 对于D，， 由，得，故函数的定义域和值域均为，故D正确． 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析判断. 【详解】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 实数满足集合，则 的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合相等的元素一致性和集合元素的互异性，先后求解参数、的值，再代入目标式计算. 【详解】已知实数满足集合， 由两集合相等的性质可知，两集合的元素完全相同，右侧集合含元素，因此左侧集合中必存在元素， 由于分式有意义，故，因此仅可能，解得， 将代入两集合，得左侧集合为，右侧集合为， 根据集合元素的互异性，得；又两集合元素完全相同，故剩余非公共元素满足，解得（违反互异性，舍去）， 将代入目标式计算： . 13. 关于的不等式 的解集中恰有2个整数解，则 的范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】构造二次函数，由开口向上且不等式有解，先通过判别式确定或两大分类；再结合特殊点函数值判断零点分布，进而列不等式组求解；最后得到的取值范围即可. 【详解】设，若不等式有解， 需判别式，解得或. 当时，此时，， 方程两根一正一负，解集包含整数. 要恰有2个整数解，只能是和，需满足：，， 可得，解得， 当时，此时，两根都大于，若恰有2个整数解， 只能是和，需满足，，，， 得到，解得 所以的取值范围为. 14. 已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集，已知函数的定义域为集合A，集合． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （3）若命题p：，是假命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域即集合，再求其补集，当时化简集合，最后利用并集的定义求解即可； （2）将必要不充分条件转化为集合的真包含关系  ，分集合为空集和不为空集两种情况，结合集合端点关系列不等式组求解即可； （3）由命题为假命题可知其否定为真命题，即，利用集合交集非空的条件列不等式组求解即可. 【小问1详解】 要使函数有意义，需满足且， 即且，解得， 所以，则. 当时，集合， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以 是 的真子集， ①当时，此时，解得； ②当时，需满足， 解得，即. 又因为，所以端点不能同时相等，即与不能同时成立，而这两个条件对应的分别是和，不可能同时成立，故无需额外排除. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 命题是假命题， 则其否定是真命题，即. 要使，需满足且两集合有重叠部分， 即， 解得，即. 所以实数的取值范围是. 16. 为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产（万件），需另投入可变成本万元，在年产量不超过8万件时，（万元）；在年产量超过8万件时，（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时利润最大，最大利润为15万元． 【解析】 【小问1详解】 当时，，则； 当时，，则． 故． 【小问2详解】 当时，， 则当时，取得最大值，最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立． 故，即有， 当且仅当时，取得最大值，最大值为． 故当年产量为10万件时，利润最大，最大利润为15万元． 17. （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）（i）1；（ii）； （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 【解析】 【分析】（1）利用构造基本不等式的形式，利用“一正二定三相等”求解即可；（2）分别利用，，，得到不等关系，再利用不等式性质得到，最后验证等号成立条件即可. 【详解】（1）解：（ⅰ）因为，所以， 令，，则，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1 （ⅱ）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． （2）略 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，分类讨论的符号以及两根的符号分析求解； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：的两根为和2，且， 所以，解得：，． 【小问2详解】 由（1）知：可化为：， 即：， 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 ①，的解集为：， ②，（i），即时，的解集为：； （ⅱ），即时，的解集为；； （ⅲ），即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令，可得， 因为，对称轴为：，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 19. 已知有限集（，），若中的元素满足，则称是“和谐集”． （1）证明：集合是“和谐集”； （2）若是“和谐集”且，，证明：，至少有一个大于2； （3）若为正整数，求“和谐集”． 【答案】（1）证明： 易知， 满足和谐集的定义，所以集合是“和谐集”； （2）证明：根据“和谐集”的定义知， 则同号， 设，所以， 若，则，不符题意； 若，则，当且仅当取得等号， 但不符集合元素的互异性，即，不能均小于等于2， 故，至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用“和谐集”的定义计算即可证明； （2）利用反证法结合定义计算即可证明； （3）利用分类讨论思想，把方程问题放缩转化为不等式问题进行变形讨论研究即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中的元素满足的正整数， 结合得，， 即，再由于， 所以当时，有，由于是正整数，则， 再由“和谐集”定义得：，显然无解，即当时，不存在“和谐集”； 当时，结合上面结论可得：， 又由于是不相等正整数，则只有， 再由“和谐集”定义得：，解得， 即当时，仅存在一个“和谐集”为； 当时，由且这些元素都是正整数又可得： ，即有， 因为，由于， 所以，即， 这与相矛盾，所以当时，不存在“和谐集”； 综合上述可得：每一个元素都为正整数的“和谐集”仅有一个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级普通高中学科素养10月份水平监测 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则中所有元素之和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在下列函数中，与函数是同一函数的为（ ） A. B. C. D. 4. 设，命题p：“”；命题q：“函数的定义域为”．则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数是以他名字命名的函数，记，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，若存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 8. 定义.设函数，：记函数，且函数在区间上的值域为，则的最大值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的定义域为，则的定义域为 B. 已知，则解析式为（且） C. 函数的值域为 D. 函数的定义域和值域均为 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 实数满足集合，则 的值为_________. 13. 关于的不等式 的解集中恰有2个整数解，则 的范围为_________. 14. 已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设全集，已知函数的定义域为集合A，集合． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围； （3）若命题p：，是假命题，求实数m的取值范围． 16. 为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产（万件），需另投入可变成本万元，在年产量不超过8万件时，（万元）；在年产量超过8万件时，（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 17. （1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知有限集（，），若中的元素满足，则称是“和谐集”． （1）证明：集合是“和谐集”； （2）若是“和谐集”且，，证明：，至少有一个大于2； （3）若为正整数，求“和谐集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $