江苏连云港市灌南县2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

2026一2027学年度第一学期期中学业质量检测 九年级数学试题 (满分分值：150分 考试时间：120分钟) ·、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四 个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡 相应位置上) 1.李老师家冰箱冷冻室的温度现为一12℃，调低℃后的温度值用代数式表示为() A.5+t B.5-t C.-12-1 D.-12+1 2.下列方程是一元二次方程的是() A.3x2+y+2=0B.2x+y=3C.x2+5x+6=0 D.2x2+1=7 3.已知a,b是一元二次方程x2-7x+9=0的两个根，则a+b等于() A.12 B.7 C.5 D.3 4.若点A(2,y),B(3,乃)在反比例函数y=的图象上，则y,为，的大小关系是() A.y>y2 B.y2> C.=y2 D.片≤ 5.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则CD的长是() A.2 B.3 C.4 D.6 ?B 第5题图 图1 第6题图 图2 6.润景北苑为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形ACDF, 小车实际占用位置为矩形BCEF,若BC=5m,CE=2m,∠D=45°，则AC至少要多 长() A.7√2m B.7m C.(5+2√2)m D.(5+V2)m 7.如图市、是某钢索桥的示意图，桥拱可以近似看作半径为50m的圆弧，桥拱和路面AB 之间用九根钢索相连，每根钢索都垂直于路面且将路面十等分.已知路面AB长为80m, 则最长钢索为() 钢索 B与路面 桥拱 A.10m B.20m C.30m D.40m 8.在平面直角坐标系中，反比例函数y=x<0)和y=(<0)的位置如图所示，P为 y=上上一动点，矩形4OBP与y=交于C,D两点，连接OD,CD,OC.针对两名同 九年级数学试题第1页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 学的结论，下列判断正确的是() 甲同学：AOCD的面积随点P的位置变化而变化： 乙同学：无论点P在什么位置，四边形OCPD的面积是定值k2-k, A.甲对乙错 B,甲错乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 D K2 A 第8题图 第12题图 第13题图 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程， 只需把答案直接填写在答题卡相应位置上) 计算：V20+V5= ).分解因式：2x2-4x+2= ,已知反比例函数y-(k为常数)的图象经过点(6,4).则k的值为 ?.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=130°，则∠D的度数为 .如图，在⊙O中，若AB=CD,，AD=3,则CB的长为 .反比例函数y=《+的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 .为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入.该 企业2025年研发投入32亿元，计划2027年研发投入要达到50亿元，如果每年增长 率保持不变，那么这两年研发投入的平均年增长率为 .已知x是实数，则代数式2x+√1-x的最大值为 :、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解 答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 5（本题满分8分)用适当的方法解下列方程 (1)3x(x-2)=x-2: (2)2x2+x=1 (本题满分6分)解方程组： 2x-y=3, 4x-3y=1. 九年级数学试题第2页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(本题满分6分)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙0的弦，∠DCB=30°， 求∠ABD的度数. 20.(本题满分8分)设x,x2是方程x2-8x+m=0的两个不同的实数根。 (1)求m的取值范围： (2)若x2=3x,求常数m的值 21.(本题满分9分)已知反比例函数y=K-4的图象位于第一、三象限。 (1)求k的取值范围： (2)当反比例函数过点A(2,1)时，求k的值. (3)若函数的图象经过第一象限的两点(a+5,y),(2a+1,y2),a>0且y2<y,求a的 取值范围， 22.(本题满分9分)图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点.⊙O经过A,B,C三点（其中点O,A,B为格点），只用无刻度的直尺， 在给定的网格中按要求画图. 图① 图② 图③ (I)在图①中的⊙O上找一点D,使得∠CDB=∠CAB (2)在图②中的⊙O上找一点E,使得OE平分AC. (3)在图③中的⊙O上找一点F,使得∠ACF=45° 九年级数学试题第3页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 23.(本题满分9分)浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的 玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮.密度计上与液 面平齐的刻度为浸没深度h(单位：cm),且液体密度p(单位：g/cm)是浸没深 度h(单位：cm)的反比例函数.小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经 过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度P的对应关系（如下表）. 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h(cm) 17.5 14 10 液体密度P(g/cm3) m n (1)求出P关于h的函数解析式： 图1 图2 (2)m= ,n= (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为5cm,最大浸没深度为20cm,求 该密度计能测量的液体密度P的范围. 24.(本题满分9分)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中， 不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是： 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=1尺，其中1尺=10 寸，求出直径CD的长 解题过程如下： 连接OA,设OA=r寸，则OE=r-CE=(r-1)寸」 1B1CD,B=1尺，AE=)AB=5寸. 在Rt△OAE中，OA=AE2+OE2,即r2=52+(r-1),解得r=13, CD=2r=26寸. 任务： (1)上述解题过程运用了定理和 定理 (2)若原题改为已知DE=25寸，AB=1尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长 (3)若继续往下锯，当锯到AE=OE时，弦AB所对圆周角的度数为 九年级数学试题第4页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 25.(本题满分12分)某商店看中暑假学生研学需要双肩包的商机，购进一批学生用双肩 包进行销售，进货价和销售价如下表（注：利润=销售价一进货价） 类别价格 类学生用双肩包 Ⅱ类学生用双肩包 进货价（元/件） 50 40 销售价（元/件） 65 50 (1)商店用8600元购进L,Ⅱ类两款双肩包共200件，求两款双肩包分别购进的件数： (2)研学过后，商店老板发现Ⅱ类学生用双肩包大量积压，于是降价销售.如果按照原 价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为让 利给学生，将销售价定为每件多少元时，才能使类学生用双肩包平均每天销售利润 为64元？ (3)某箱包厂计划生产一批Ⅲ类学生用双肩包，已知Ⅲ类学生用双肩包的成本y(元/ 个)由材料成本和加工成本两部分组成.其中材料成本保持不变，加工成本与加工数 量x(个)成反比例函数关系.经测算，生产1000个双肩包，成本是40元/个：生产 2000个双肩包，成本是35元/个.若要把成本控制为32元/个，应生产多少个双肩包？ 26.(本题满分12分)如图1，一次函数y=:-6(k≠0)的图象与y轴交于点A,与反比 例函数y=8(x>0的图象交于点B4,). 图1 图2 (1)b= ;k= (2)点C是线段AB上一点，过点C且平行于y轴的直线I交该反比例函数的图象于点 D,连接OC，OD,BD,若四边形OCBD的面积S四边oCD=24,求点C的坐标： (3)将第(2)小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到AOCD,若点 O的对应点0恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出此时点D的对应点D的 坐标. 九年级数学试题第5页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 27.(本题满分14分)【阅读理解】①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意 一点，求证：PB+PC=PA ②定义：在AABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则 称点P为AABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离. D B D B 图1 图2 图3 图4 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°) 的费马点和费马距离的方法 (I)如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，在BC上任取一点 P',连接PA、PB、P'C、PD.根据①的结论，易知PB+P'C=P'D PA+PB+PC=PA+P'D:根据两点间线段最短，我们可以得到线段 的长度 为△ABC的费马距离. (2)在图3中，作出△ABC的费马点P(要求尺规作图).如果∠B=30°， AB=4,BC=5,△ABC的费马距离是； 【问题解决】已知正方形ABCD,P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为 √6+√2，求正方形ABCD的边长； 【知识应用】若三个村庄A,B.C构成Rt△4BC,其中AC=6km,BC=4W3km, ∠C=90°.现选取一点P打水井，使P点到三个村庄A,B,C铺设的输水管总长度最小， 则输水管总长度的最小值为 (直接写结果) 九年级数学试题第6页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP2026一2027学年度第一学期期中学业质量检测 九年级数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上) 题号 1 2 5 6 7 8 答案 C C B A B B B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，只需把答 案直接填写在答题卡相应位置上) 9.3√5 10.2(x-1)月 11.-24 12.50 17 13.3 14.k<-1 15.25% 16. 8 三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分8分)(1)解：对原方程移项得3x(x-2)-(x-2)=0, 提取公因式得(x-2)(3x-1)=0, 可得x-2=0或3x-1=0, 1 解得x=2,x2= 3 …4分 (2)原方程移项得2x2+x-1=0, .a=2,b=1,c=-1,△=b2-4ac=9>0, x=1±3-1±3 2×2 4 1 ∴.原方程的两个实数根为x= 2’x=-1 …8分 2x-y=3① 18.(本题满分6分)解方程组： 4x-3y=1② 九年级数学试题参考答案及评分标准第1页（共9页） ①x2-②得y=5, 把y=5代入①得，x=4 x=4 ∴原方程组的解为 …6分 y=5 19.(本题满分6分)解：BD=BD, .∠A=∠DCB=30°， …2分 AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， …4分 .∠ABD=90°-30°=60°， .∠ABD=60° ……6分 20.(本题满分8分)(1)由题意得：△=b2-4ac>0 ∴.64-40 n16. …3分 (2)解：x,x2是方程x2-8x+m=0的两个根， x1+x2=8, x2=3x, x+3x=8,解得x=2, …6分 将x=2代入x2-8x+m=0中，则22-8×2+m=0, 解得m=12. …8分 k-4 21.(本题满分9分)(1)：反比例函数y= 的图象位于第一、三象限， “k-4>0,解得k>4. …3分 (2)反比例函数过点A(2,1): 1=-4 2， 解得k=6, …6分 (3)解：由题意知，反比例函数的图象位于第一、第三象限， 在第一象限内y随x的增大而减小. 2<y 2a+1>a+5,解得a>4, a>0, a的取值范围为a>4. …9分 九年级数学试题参考答案及评分标准第2页（共9页） 22.(本题满分9分)(1)如图所示.（答案不唯一） …3分 (2)如图所示.（答案不唯一)， …6分 图② 3)如图所示.如图，∠4CF=∠A0C=45°，点F即为所求， B …9分 23.(本题满分9分)1)解：设反比例函数解析式为P=（k≠0)， h 把h=14,p=1代入，得1= 141 解得k=14, ·反比例函数解析式为p=14 h …3分 14 (2)解：将酒精的浸没深度h=17.5代入解析式，得m= =0.8, 17.5 14 将蜂蜜的浸没深度h=10代入解析式，得n= =1.4: …6分 10 (3)解：当h=5时，p 14=28: 5 14 当h=20时，p= -=0.7, 20 .该密度计能测量的液体密度p的范围为0.7g/cm3≤p≤2.8g/cm3.…9分 九年级数学试题参考答案及评分标准第3页（共9页） 24.(本题满分9分)解：(1)垂径定理和勾股定理. ……2分 (2)连接OA,设OA=T寸，则OE=DE-1=(25-r)寸 MB1CD,AB1尺，AE2AB=5寸 在Rt△OAE中，OA2=AE+OE2,即2=52+（25-r）)2,解得1=13，…6分 ∴CD=2=26寸 ………7分 (3).ABLCD, 当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形， ∠AOE=45°， ∴∠AOB=2LAOE=90°， 弦AB所对圆周角的度数为)∠A0B=45°。 同理，优弧AB所对圆周角的度数为135， 故答案是：45°或135° …9分 25.(本题满分12分)(1)解：设购进x件I类学生用双肩包，y件Ⅱ类学生用双肩包， x+y=200 根据题意得： 50x+40y=86001 x=60 解得： y=140 答：购进60件I类学生用双肩包，140件Ⅱ类学生用双肩包： …4分 (2)解：设销售价每件降低m元，则每件的销售利润为(50-m-40)元，平均每天可售 出(4+2m)件， 根据题意得：（50-m-40)(4+2m)=64, 整理得：m°-8m+12=0, ∴%=2,22=6， …6分 让利学生， .11=6 此时，50-6=44， …8分 答：将销售价定为每件44元时，才能使Ⅱ类学生用双肩包平均每天销售利润为64元. (3)解：根据题意，加工成本与x成反比例，材料成本固定， 因此设函数表达式为：y=《+b(k≠0)，其中上是单个的加工成本，b是固定的材 九年级数学试题参考答案及评分标准第4页（共9页） 料成本. k +b=40 将x=1000,y=40和x=2000,y=35分别代入得方程组： 1000 k +b=35 2000 两式相减消去b得： k =5,解得k=10000, 2000 再代入得b=30, 因此y与x的函数表达式为：y=10000 30(x>0): …10分 把y=32代入函数表达式：32=10000 +30, 整理得10000=2，解得x=5000.经检验，x=5000是原方程的解 。…12分 答：应生产5000个双肩包. 26.(本题满分12分)1)解：反比例函数y=8经过点B(4,b), :6=8=2, …2分 4 B(4,2） .B点在一次函数y=kx-6上， .2=4k-6, ∴k=2. …4分 (2)解：由(1)可知，直线AB的解析式为y=2x-6, .设C(6,2t-6), DC∥y轴， .D点的横坐标为1， ,D在反比例函数上， 8 连接BD,过点B作BE⊥CD于点E,设CD与x轴交于点F,如图所示， :0F=1,BB=4-1,CD=8-21+6. S四边形0CD=24,， OF-CD BE-CD=24. 2 ∴.t=1或t=4(舍去)， …6分 ∴.21-6=-4， 九年级数学试题参考答案及评分标准第5页（共9页） ∴C(1,4). …8分 (3)解：由第(2)问可知C(L,-4),D(1,8),0(0,0), 设AOCD沿射线AB方向平移m,得到△OCD',AB的解析式为y=2x-6,C'在直 线AB上， .C(1+m,2m-4), .C1,-4), ∴.平移时横坐标增加m,纵坐标则增加2m, ∴.O'（m,2m), 8≥2m: m .m=2或m=-2(舍去)， …10分 D(1,8), ∴.D'(3,12). …12分 27.(本题满分14分)【阅读理解】①证明：在PA上取一点E,使PE=PC,连接CE, 三角形ABC是等边三角形， ∴.∠APC=∠ABC=60°， 又.PE=PC, ∴.△PEC是等边三角形， ∴.CE=PC,∠ACB=∠ECP=60°， .∠1=∠2， 2 BC=BC, ∴∠3=∠4， 又BC=AC, ∴.△ACE≌△BCP(ASA), .BP=AE, ..PB+PC=PA: ……3分 【方法探究】(I)答案为：AD: …5分 (2)分别以点B,C为圆心，以BC的长度的半径作弧，交于点D,则 BC=BD=CD,易知△BCD为等边三角形，再分别作BC,CD的垂 直平分线交于点O,以点O为圆心，OB的长度为半径作圆，连接 AD交⊙O于点P,连接BP,CP,则点P为△ABC的费马点，如右 图所示：（方法不唯一) .…7分 九年级数学试题参考答案及评分标准第6页（共9页） ∠B=30°，AB=4,BC=5,且△ABD为等边三角形， ∠ABD=60°，BD=AB=4, ∴.∠CBD=∠ABC+∠ABD=90°， ∴CD=VBD+BC2=√4+52=√41， 即△ABC的费马距离是√41： 故答案为：√41： …9分 【问题解决】 将aABP沿点B逆时针旋转60°到△ABR, 过A作AH⊥BC,交CB的延长线于H,连接PP, H B 由旋转的性质可得AB=AB,PB=PB,PA=PA,∠PBP=∠ABA=60°， PB=PB,∠PBP=6O°， ·△PPB是等边三角形， ..PP PB. PA+PB+PC的最小值为V6+V2, ∴.RA+PP+PC的最小值为V6+V2, “A,?,P,C在同一直线上，即AC=V6+√2， 设正方形的边长为2x, ∠ABA=60°，∠CBA=90°， .∠1=30°， 在RtAHB中，AB=AB=2x,∠I=30°，得AH=x,BH=V3x, 在R△4HC中，由勾股定理得：x+[（(2+V3)x了=(6+2 解得x=1,2=-1(舍去)， 正方形ABCD的边长为2. ……12分 【知识应用】答案为：2√39也可写作√56. 以BC为边，在BC下方作等边△BCK,设等边△BCK外接圆为⊙O,连接AK交⊙O 于P,则由①知此时A+PB+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作KTLAC 交AC延长线于T,如图： △BCK是等边三角形， ∴LBCK=60°，CK=BC=4V3, LCAB=90°， ∴.∠TC=30°， 九年级数学试题参考答案及评分标准第7页（共 在Rt△CTK中， TK-1CK=1x43-23.CT-37K-3x23-6 2 :.AT=AC+CT=6+6=12, 在Rt△AKT中， AK=VAT2+7K=V12+(2W5=2W39, 故答案为：2√39. …14分 九年级数学试题参考答案及评分标准第8页（共9页）