精品解析：辽宁沈阳市南昌中学沈抚示范区分校2026-2027学年八年级上学期期中素养调研数学试卷

2026-2027学年度上学期八年级数学学科素养调研 一、单选题（共30分） 1. 在实数…中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的立方根是2 B. 是27负的立方根 C. 的立方根是 D. 的立方根是 3. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 5. 若平面直角坐标系内的点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 8. 下列语句正确的是（　　） A. 平行于x轴的直线上所有点的横坐标都相同 B. （﹣1，1）与（1，﹣1）表示两个不同的点 C. 若点P（a，b）在y轴上，则b＝0 D. 若点Q（﹣2，-1），则Q关于x轴对称点的坐标为（2，-1） 9. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm 10. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A. 乙提速后每分钟攀登30米 B. 乙攀登到300米时共用时11分钟 C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟 D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米． 二、填空题（共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 12. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______ ． 14. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差米，水平距离米，则点C与点B的高度差CE为___________米． 15. 如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若，，则线段AE的长为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 18. 如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离于，，，求点A地面的距离的长为多少米？ 19. 某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元，商店实行两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折优惠．若该班需买8个书包，个文具盒，付款为元． （1）分别求出两种方案中与之间的函数关系式（两种方案的函数关系式分别用、表示）； （2）若购买文具盒30个，应选哪种方案更优惠？付多少钱？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______； （2）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（、不重合），直接写出所有符合条件的点坐标； （3）轴上是否存在一点使得？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 21. 实验室中的一种摆动装置如图1所示，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，， （1）在旋转过程中： ①当A，D，M三点在同一直线上时，则的长； ②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，则的长； （2）若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． （1）①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； （2）如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； （3）若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 23. 【问题建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，当点在一条直线上时，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 判断线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在等腰直角三角形中，，若于点，且点在直线下方，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 【问题应用】 若，求的长； 【问题迁移】 若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期八年级数学学科素养调研 一、单选题（共30分） 1. 在实数…中，无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：，，为有理数， ，，是无理数，共有3个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的立方根是2 B. 是27负的立方根 C. 的立方根是 D. 的立方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键． 【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意； B、是的立方根，则此项错误，不符合题意； C、的立方根是，则此项错误，不符合题意； D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出的面积和的长，然后即可计算出的长． 【详解】解：由题意可得：， 是的高，， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4. 在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 【详解】A．设，，， ，， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， 是直角三角形，故选项B不符合题意； C．，，，， 不是直角三角形，故选项C符合题意； D．，， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 5. 若平面直角坐标系内的点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的位置，熟练掌握坐标系中点的特征是解题关键．根据平面直角坐标系中点的特征并结合题意写出即可． 【详解】解：点M在第四象限，到x轴的距离即为纵坐标的相反数，到y轴的距离即为横坐标值， ∵M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2， ∴点M的坐标为， 故选：C． 6. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此建立方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为， ∴， 解得， ∴． 7. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接， 点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 将直线：向上平移1个单位即可得直线， 两直线平行， 点是第一象限内直线上的一个动点， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， ∴是定值， ∴是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键． 8. 下列语句正确的是（　　） A. 平行于x轴的直线上所有点的横坐标都相同 B. （﹣1，1）与（1，﹣1）表示两个不同的点 C. 若点P（a，b）在y轴上，则b＝0 D. 若点Q（﹣2，-1），则Q关于x轴对称点的坐标为（2，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的定义以及平行于坐标轴的直线上的点的特征对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同，故本选项不符合题意； B、（﹣1，1）与（1，﹣1）表示两个不同的点，故本选项符合题意； C、若点P（a，b）在y轴上，则a＝0，故本选项不符合题意； D、若点Q（﹣2，-1），则Q关于x轴对称点的坐标为（-2，1），故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记概念以及平行于坐标轴的直线上的点的特征是解题的关键． 9. 如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 21cm B. 24cm C. 30cm D. 32cm 【答案】C 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：； 圆柱体地面半径为cm， cm 圆柱体的高cm， cm 在中， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键． 10. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　） A. 乙提速后每分钟攀登30米 B. 乙攀登到300米时共用时11分钟 C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟 D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米． 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D． 【详解】解：甲的速度为：（米/分）， （米/分）， 即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意； 乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项B不符合题意； 设，， 由函数图象得：， 解得 ， ∴， ∵乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍， ∴乙提速后的速度为：30米/分， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ， ∴， 当时， 则， 解得， 即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意； 从甲、乙相距100米到乙追上甲时， 甲、乙两人共攀登了：（米）， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解点的横纵坐标是含义，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键． 二、填空题（共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 12. 如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标． 【详解】解：长方形对角线的长：=， ∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为． 【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，运用方程思想，关键是利用折叠得相等线段，设未知数结合勾股定理列方程，易错点为折叠后线段长度关系分析错误；先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解点坐标． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即 ∵点是上，在轴上， ∴点的坐标为； 故答案为． 14. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差米，水平距离米，则点C与点B的高度差CE为___________米． 【答案】2.25 【解析】 【分析】作于F， 于G，根据可证，根据全等三角形的性质，可得米，在中，根据勾股定理可求出,即可求 ，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B 的高度差． 【详解】解：如图所示：作于F， 于G， 由题可知： ,， ， 在和中， ， ， 米， 设米， 在中， 根据勾股定理得，即， 解得， 则米， 故答案为：2.25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是能正确作出辅助线证明三角形全等，采用数形结合的思想来解决问题． 15. 如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若，，则线段AE的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知，又根据，可得，根据折叠的性质，可得，即可证得，即得，即可得出． 【详解】解： ∵四边形ABCD是矩形 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处， ∴ 在， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用与折叠，矩形的性质，三角全等等知识，熟练掌握三角全等知识和勾股定理的应用是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简每一项，再根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方差公式化简，再根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得， 把代入①得，， 解得， ∴ 【小问2详解】 解： 由①得，③ 得， 解得 把代入②得， 解得， ∴ 18. 如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到地面的距离，点到的距离于，，，求点A地面的距离的长为多少米？ 【答案】点A到地面的距离的长为2.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理求出，根据长方形的性质，得出，即可得出答案． 【详解】解：由题知：， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ， 答：点A地面的距离的长为2.5米． 19. 某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元，商店实行两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折优惠．若该班需买8个书包，个文具盒，付款为元． （1）分别求出两种方案中与之间的函数关系式（两种方案的函数关系式分别用、表示）； （2）若购买文具盒30个，应选哪种方案更优惠？付多少钱？ 【答案】（1）；； （2）方案①更省钱，付款350元． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用， （1）根据题意结合买一个书包赠送一个文具盒，表示出购买费用；根据题意结合按总价的9折（总价的）付款，表示出购买费用； （2）分别求出两种方案的总费用，进而得出答案． 【小问1详解】 解：方案①：； 方案②：； 【小问2详解】 解：由题意可得：（元）， （元）， 故方案①更省钱，付款350元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴对称的，其中的坐标为______； （2）如果要使以、、为顶点的三角形与全等（、不重合），直接写出所有符合条件的点坐标； （3）轴上是否存在一点使得？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示： 的坐标为； （2）、、 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据点的对称，作出关于轴对称的，数形结合即可得到的坐标； （2）根据全等三角形判定与性质，可得点，数形结合即可得到满足题意的点的坐标； （3）要在轴上找一点使得，只需作线段的垂直平分线即可，得到线段的垂直平分线，它与轴的交点即使要找的点，数形结合即可得到的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示： 的坐标为、、； 【小问3详解】 解：存在，， 要在轴上找一点使得，只需作线段的垂直平分线即可，得到线段的垂直平分线，它与轴的交点即使要找的点，如图所示：连接格点，即为的垂直平分线 点即为所求，． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及作对称图形、全等三角形的判定与性质、图形与坐标、垂直平分线的作法等知识，熟练掌握相关作图方法是解决问题的关键． 21. 实验室中的一种摆动装置如图1所示，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点A旋转，摆动臂可绕点D旋转，， （1）在旋转过程中： ①当A，D，M三点在同一直线上时，则的长； ②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，则的长； （2）若摆动臂顺时针旋转，点D的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长． 【答案】（1）①的长为4或2；②的长为或； （2） 【解析】 【分析】（1）①分两种情形分别求解即可． ②显然不能为直角．当为直角时，根据，计算即可；当为直角时，根据，计算即可． （2）连接．证明，利用勾股定理求出，再证明，利用全等三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：①，或． 答：的长为4或2； ②显然不能为直角， 当为直角时， ； 当为直角时， ， 答：的长为或； 【小问2详解】 解：连结， 由题意得，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 22. 在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． （1）①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； （2）如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； （3）若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 【答案】（1）①不是；②或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【小问1详解】 解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E，   ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：    ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，， 当时，如图，过作轴于点，   ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． 【小问3详解】 解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，    ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 23. 【问题建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，当点在一条直线上时，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 判断线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在等腰直角三角形中，，若于点，且点在直线下方，把沿直线折叠，点的对应点恰好落在线段上． 【问题应用】 若，求的长； 【问题迁移】 若，求的面积． 【答案】（1）；（2）问题应用：；问题迁移： 【解析】 【分析】（1）通过证明，得出，结合等边三角形的性质，即可得出结论； （2）问题应用：过点B作于点H，根据折叠的性质得出，则为等腰直角三角形，，求出，，根据勾股定理求出，最后根据即可求解； 问题迁移：过点F作于点G，设，则，，根据，，求出，，进而得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：问题应用：过点B作于点H， ∵沿直线折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，则， 根据勾股定理可得：， 则， 整理得：， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴； 问题迁移：过点F作于点G， 设， ∵，沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $