辽宁沈阳市某校2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．“成立”是“成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（ ）． A． B． C． D． 4．已知函数满足，则（ ） A． B． C． D． 5．已知命题：，，命题：，．若与均为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 6．已知函数满足对任意的，，恒成立，求的范围（ ） A． B． C． D． 7．函数（，）的图象恒过定点，若点在直线上，且，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A． B．当时， C．当且仅当 D．时，为增函数 11．已知函数的定义域是，对任意的，，都有，当时，，且，下列说法正确的是（ ） A． B．函数在上单调递增 C． D．满足不等式的的取值范围为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，则________． 13．设，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为________． 14．已知，函数的定义域为，则的取值范围是________． 四．大题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本小题共13分） 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16．（本小题共15分） 已知函数． （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为，求实数的值． 17．（本小题共15分） 年月日是世界反法西斯战争胜利周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式．阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于，求训练水平系数的最小值． 18．（本小题共17分） 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 19．（本小题共17分） 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点． （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数． （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅰⅰ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考试答案 1．A 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．C 9．BD 10．BCD 11．BCD 12． 13． 14． 15．（1） （2） 【详解】（1）由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得，实数的取值范围为． （2）由题意知， 当，，得； 当，，得． 综上所述：实数的取值范围为． 16．（1）； （2）或． 【详解】（1）由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足，解得，所以实数的取值范围为． （2）因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或． 17．【答案】（1） （2） 【详解】（1）若，， 当时，的对称轴为，开口向下， 则在上为增函数，当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，故． 因为，所以在上的最小值为． （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于，即恒成立， 当时，恒成立，即，则， 即，所以； 当时，恒成立，即，则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值为， 故，解得． 综上所述，，故训练水平系数的最小值为． 18．【答案】（1） （2） （3） 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以． 所以时，在区间上的值域为． （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得． 所以方程有实根，实数的取值范围为． （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得， 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数，在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数的取值范围为． 19．【答案】（1）不动点和稳定点均为和． （2） （i）当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点． （ii）． 【解析】 【小问详解】 令，则，解得或， 令，则，整理得，解得或， 经检验知均满足条件，故函数的不动点和稳定点均为和． 【小问详解】 （i），令，得 ， 即，得， 所以． ①当，即时，方程为， 解得，此时有一个稳定点； ②当时，的判别式． 若，即时，此时有两个稳定点； 若，即或； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 若，即或， 且， 此时有四个稳定点； 综上所述，当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点． （ii）由（i）知，当时，有两个稳定点为和． 因为，，故取，得， 解得，所以，，因为，解得， 由（i）知，故，此时，． 当时，，令，当时， 因，，故． 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时，的值域为， 即的值域为．由题意得，解得． 所以实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $