四川省成都市蓉城联盟2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三年级 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 4 5 6 8 A C D B D B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 o AB ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2. 2 13.9 14.650 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：（1)由抛物线y2=2px过点A(4,4), 得16=8p,p=2, ∴抛物线的方程为y2=4x, …3分 抛物线y2=4x的焦点为FL,0), …5分 4=无+号=4+1=5： ……6分 (2)由题意得直线1的斜率不为0， 设直线1的方程为x=my+1,M(x,y),N(x2,y2), …7分 x=my+1, 由 y2=4x, 消去x得y2-4y-4=0, y+y2=4m,yy2=-4,△=16(m2+1)>0恒成立， …………9分 :4+2=2m=2, …10分 2 ∴.m=1,满足△>0， …11分 故直线1的方程为x=y+1即x-y-1=0. …13分 16.(15分) 解：(I):PD⊥平面ABCD,CBC平面ABCD, .PD⊥CB, …2分 DB=V2,DC=-2,∠CDB=牙， 在△DBC中，由余弦定理得BC=V2, .DB2+BC2=DC2, ..DB⊥BC, ……4分 ,PDC平面PDB,DBC平面PDB,PD∩DB=D, .CB⊥平面PDB; …6分 1 (2)以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系， 则D(0,0,0),A1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),，…8分 由(1)知，平面PDB的一个法向量为m=CB=(L,-1,0), …9分 设平面MDB的一个法向量为n=(x,y,z), DB=1,L,0),DM=(0,1,1), n.DB=x+y=0, n·DM=y+z=0, 令x=1, 则y=-1,z=1, ∴.n=(1,-1,1), ……12分 六cos<m,n>= mn2√6 m‖n63 …14分 二面角P-BD-M为锐二面角， 故二面角P-BD-M的余弦值为Y6 …15分 17.(15分) 解：（1)设等差数列{an}的公差为d,d>0, 41+a4=2a1+3d=8,a243=(a1+d)(a1+2d)=a+3a,d+2d2=15,…2分 4-+34-01+2=15, 2 .d2=4,d>0, .d=2,a1=1, …4分 ∴.an=1+(n-1)×2=2n-1,neN*; …5分 2设-京++2， 2” 13.5 ,2n-1 2, 1 11 两式相减得5。=)+22，++2n 2 2n+ ………7分 S,=3-2n+3 2a’n∈N, …9分 2>0,n∈N, .2n-1 ∴Sn为单调递增数列， 当n→+oo时，Sn→3， 2≥3， 故实数的取值范围为[3，+oo); …10分 「2n-1,n为奇数， (3)bn= neN', 22-1,n为偶数， 当n为偶数时， Tn=(6+b3+b+…bn-)+(b2+b4+b6+…+bn) …12分 1+2n-3),81-16) 2 2 1-16 =-+管4-0 …14分 84+ 15 故当n为偶藏时，工-+--名ae …15分 18.(17分) 解：（1)在△ABC中，由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 RsinC,R为△ABC外接圆半径， .asin A+csin C=bsin B+asin C, a.atc.c=b.bt 42R+c2R-2Rtg 2R .a2+c2=b2+ac, …2分 由余弦定理得cosB=a+c2-B心-1 2ac 2ac2' …4分 又：0<B<π， B=π …5分 (2).acosC+ccos A =2R(sin AcosC+sin Ccos A)=2Rsin(A+C)=3, sin(A+C)=sin(-B)=sin B, .2Rsin B=3,2R=2, ……6分 .a+c=2R(sin A+sin C) -sin d+sin( -20sin4+ -cos 4) 2 =√5(W3sinA+cos4) =23sin(A+乃， …………………9分 6 又：0<A<2, 3 元<4+亚<5π 6 66 1<sin(A+<1, 2 6 5<a+c≤2W5, 故a+c的取值范围为(W3,2√3]； …11分 (3)由余弦定理得b2=4+16-8=12, b=25,C=号 ……12分 设∠MBC=,0<x<胥则∠MBA=号-，∠MB=X- 3 6 在△BMC中，BM=2cosx, …13分 在△ABM中，由正弦定理得BM Sinxπ、：5元’BM=8sin(x-) 6 6 6 BM=2cosx=8sin(x-巧， …14分 6 ..cosx=4sin(x-)=23sinx-2cosx, …15分 6 3c0x2sin,tanx= 2 2 …16分 ∴.BM=2cosx= 44W万 故BM的长为4V 7 …17分 19.(17分) 解：(1)f"(x)=2cosx-x(sinx+2), …2分 又xe吃， ∴.cosx≤0，x(sinx+2)>0, .f'(x)<0, …3分 函数f)在区间，利上单调递减， 放/-8 …4分 4 (2)证明： F(x)=f'(x),F'(x)=-3sinx-xcosx-2, 当xe(0,时，F<0, …5分 ∴f(,)在区间(0，上单调递减， 0=2>0,了孕=-50，由零点存在性定理得： 2 3x∈(0，使得f"x,)=0, …6分 函数国在区间0，x)上单调递增，在区间6化，受上单调递减。 又：f(0)=1>0, .f(x)>f0)>0, 故当x∈(0，x)时，fx)>0,f(x)=0无实数根， …7分 当x∈化受时，化)八>0，f孕-8<0，由零点存在性定理得： 存在唯一的实数5∈（爱使得f)=0, 综上，存在唯一的实数x∈(0，使得f(x)=0: …9分 4 (3)函数g)=(x-四cosx+1+sinx)n(π-x),x∈（径，）的图象关于直线x=对称的图象的函数 2 解析式为： h(x)=g(a-x)=xcosx+(l+sinx)x,xe(0), …11分 h(x)=(1+sinx)(xcosx+x), 1+sinx 设k()= xcOSx -+lnx, 1+sinx k(x)=(cosx-xsinx)(l+sinx)-xcosx 1 (1+sinx)2 (cosx-xsin x)(1+sin x)-x(1-sin'x)1 (1+sinx)2 x cosx-xsinx-x(1-sinx)1 十 1+sinx =xcosx+sinx-x2+1 x(1+sinx) f(x) ……13分 x(1+sinx) 由(2)知，当0<x<x时，f(x)>0,k'(x)>0, 当x<x<时，f)<0,k田)<0， 函数()在区间0，)上单调递增，在区间(，爱上单调递减， k5=n>0, 2 )>②>0， 当xe(,时，k)>0, 当x∈(0，x)时，x→0*，(x)→-o,由零点存在性定理得： 存在唯一的实数x∈(0，x),使得k(x)=h(x)=0, …14分 .0<x3<x<5 2 :h()与g(田)的图象关于直线x=兀对称， 2 ..3+x2=元， …16分 .x3=π-2<x1, ..x+x2>π. ……17分 解析： 1.解：：A=1,+0),B=[-2,2],故选A. 2.解：z=1-i,zz=(1-01+)=2,故选C. 3.解：f'(x)=(x-1)e,零点为2，极小值点为1，故选D. 1 4.解：设1a=|b1=|a-b1=1,|a-b2=a2+b2-2ab=1,.a…b= ,所求向量为：bb=b,故 2 2 选B. 5.解：a<0,0<b<1,1<c<2,2<d<3,故选D. 6.解：%t%4=q2=4,g<0,∴g=-2,g=1+g=-7,故选B. a1+a2 7.解：设AB=x,则BC=V3x,BD=x,BE=x ,由cos∠BDB+cos∠CDB=0,得 子+4022+40-0，解得x=106=25,故选C. 3 40x 40x 8.解：a≥1，x≥0，xe≥0，.axe*≥xe*,.f(x)≥xe-x-mx2(在x=0时取等号)，故只需 保证函数g(x)=xe-x-mx2≥0(x≥0)恒成立，g(0)=0,g'(x)=(x+1)e*-1-2mx,g'(0)=0, g"(x)=(x+2)e-2m,由g"(0)=2-2m≥0，得m≤1，又g"(x)=(x+3)e>0,函数 g"(x)=(x+2)e-2m在x=0处取得最小值，m≤1为充要条件，故选A. 9.解：选项A:f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),故A正确； 选项B:-1<x<1关于原点对称，.f(-x)=n(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故B正确； 选项C::f(-x)=e+e=f(x),故C错误： 选项D::f(x)=-sinx tan3x,f(-x)=f(x),故D错误； 故选AB 10.解：选项A:T=2π=2，故A正确： 元 选项B:c0s兮+7=0，故B正确： 61 选项C:函数f)的单调递减区间为[+2k,+2,k∈Z,故C错误： 6 .元、2π +6≥3+4，.9 mπ+ 选项D: π4π mr+二<】 欢，·2≤m<，故D正确； 6 63 故选ABD. 6 11.解：选项A:BD⊥平面ABC,BD,⊥B,C,故A正确； 选项B:将平面BDD,B沿棱BB翻折到与平面BAA,B,重合，当A,M,D三点共线时AM+MD 最小，最小值为√4+2W2,故B错误； 选项C:当平面α与平面4CD平行时与正方体的六个面的夹角都相等，易得cos6=5, 故C 3 正确； 选项D:当两球外切，一个球与过点A的三个面相切，另一个球与过点C的三个面相切时，半径 最大，设两球半径为n则2Wr+2r=5,,-3-V5 4 故D正确： 故选ACD. 12.解：s通x6osy=inr+0+s(x-叨=专 13.解：A中元素1有3种对应方法，元素2有3种对应方法，共有9种对应方法。 14.解：8”=(7+1)=C07+C7m-++C”,除以7的余数为1,28”除以7的余数为2，a=16, a.=2-8,1l0g2a,=3m+1,20×4+61=650. 2 高三年级 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ，则 A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 函数 的零点与极小值点的和为 A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 已知 ，则向量 在向量 上的投影向量为 A. B. C. D. 5. 设 ，，，，则 四个数中最大的是 A. B. C. D. 6. 已知等比数列 是摆动数列，且 ，，数列 的前 项和为 ，则 的值为 A. 7 B. C. 9 D. 7. 成都市望江楼公园内的望江楼气势恢宏，传承悠久，将建筑美体现得淋漓尽致。为测量望江楼的高 ，如图，在与它底部 位于同一高度的共线三点 处分别测得顶点 的仰角为 ，，，且 ，则望江楼的高 约等于（） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，对任意 ，任意 ， 恒成立，则 的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列函数为奇函数的是 A. B. C. D. 10. 已知函数 ，则下列说法正确的是 A. 函数 的最小正周期为 2 B. 函数 的图象关于点 对称 C. 函数 的单调递减区间为 D. 若函数 在区间 上恰有 5 个零点，则实数 的取值范围为 11. 在棱长为 1 的正方体 中，下列结论正确的是 A. 异面直线 与 所成的角为 B. 若 为棱 上的动点，则 的最小值为 C. 若平面 与正方体的六个面的夹角相等且为 ，则 D. 在该正方体内放置两个半径相等的球，则这两个球的半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若 ，，则 ____。 13. 现代数学的开端始于19世纪70年代康托尔集合论的诞生，数学研究转向一般化结构，公理化，无穷理论，抽象空间。在高中数学中，函数通常定义为两个非空数集之间的一种特殊对应关系，已知集合 ，，则从集合 到集合 的不同函数有____个。 14. 将数列 与 中的相同项按从小到大排列构成数列 ，则数列 的前 20 项和为____。（） 四、解答题：共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知抛物线 的焦点为 ，且过点 。 （1）求 ； （2）直线 过点 与该抛物线交于 两点，且 的中点为 ，求直线 的方程。 16.（15分） 如图，在四棱锥 中， 平面 ，，，，， 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值。 17.（15分） 在单调递增的等差数列 中，，。 （1）求 的通项公式； （2）若 对任意正整数 都成立，求实数 的取值范围； （3）若 ，，当 为偶数时，求数列 的前 项和 。 18.（17分） 在 中，角 所对的边分别是 ，且 。 （1）求角 ； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若 ，，点 在 的内部，且 ，，求 的长。 19.（17分） 已知函数 。 （1）求函数 在区间 上的最大值； （2）证明：存在唯一的实数 使得 ； （3）函数 ，且 ，，当 ， 时，比较 与 的大小关系并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $