四川省成都市第七中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

2026-2027学年度上期高2027届期中试卷 数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1. 2-i=() 1+2i A.-i B.4-i +i 5 2.已知集合A=5,B=xx≤0；，则(CA)∩B=() x-6 A.[0,5)U(5,6] B.[0,5)U(5,6) C.{0,1,2,3,4,6 D.{0,1,2,3,4} 3.样本数据120,150,180,200,220,250,300,350的第一四分位数为() A.150 B.165 C.180 D.200 4.已知向量a,方满足12a+6=3,a-26=1,则a2+6=() A.10 B.2 C.4 5.(1+x)1-x)7展开式中x3的系数为() A.-14 B.14 C.-56 D.56 6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为3，则该四棱台的体积为() 4.28 B.28V7 C.56v2 D.28 3 3 7.为得到函数y=cosx的图象，只需要将y=sin2x的图象() A.横坐标先缩短为原来的倍，再右移”个单位 B.先右移π个单位，横坐标再缩短为原来的倍 C.横坐标先伸长为原来的2倍，再左移”个单位 D.先左移工个单位，横坐标再伸长为原来的2倍 8.已知圆C:(x+2)2+y2=1与圆C2:(x-2)2+y2=1,过x轴上点P作两条垂直直线分别与圆C和圆 C2相切，满足条件的P点个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 共4页第1页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。 9.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A(x1,1),B(x2,y2)是抛物线C上两点，下列说法正确的有() A.F到抛物线C准线的距离为4 B.设K(-4,0),则|AK≥4 C.若x1x2=4,则1y2=8 D.若|AF|+|BF=6,则线段AB中点横坐标为2 10.在△ABC中，a,b,c分别为A,B,C所对边，c=kbcos A(化∈R),下列说法正确的有() A若=山，则B号 B.若k∈(0,1)，则a2+c2>b C.若C-元，则tanB= 1 2 k-1 D若C=2A,则k=2simA sin 3A 11.己知偶函数f(x)的导函数为g(x),f(x)和g(x)均定义在R上，且g(4-x)=g(x),则一定有() Ag(x)是奇函数 B.g(2027)=81) C.f(x)存在极值 D.f(x)存在最值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设8n为等差数列{a)的前n项和，若a6=-3，S4=16,则4=一· 13设，R是双曲线B:x-y =1的左、右焦点，点M在E上，且有|M=4,则|M,= 3 14.已知函数f(x)=are-ex-2enx有两个零点，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 、15已知椭圆c号+a>b>0)经过点P,),且离心率为2 2 (1)求椭圆C的方程： ②直线：y=x+m与椭圆C交于A,B两点，且AB,求m的值 共4页第2页 16.如图，在三棱锥C-OAB中，OA=OB=OC=BC=2,OA⊥OB. (1)若OA⊥BC,证明：平面OBC⊥平面OAB; (②)设二面角C-OB-A的大小为0. (1)用0表示AC; (1)若日=刀，求AC与平面OBC所成线面角的正弦值。 6 1, 17.已知数列{a}满足a= n=1, 3×2m-1-a-1,n22. (1)证明马-1}为等比数列，并求{a,}的通项公式： ②记工=上+上+上++1，对任意neN,恒有T<m成立，求正整数m的最小值 4434a2n-1 共4页第3页 18.某供应商向工厂供应精密零件，每箱10件.按产线不同，到货的箱子分为两类：A类箱每箱恰有 1件次品，B类箱每箱恰有3件次品。长期统计表明：到货的一箱来自A类的概率为乙，来自B 10 类的概率为3 10 (1)检验员从到货的一箱中随机抽取1件零件检验，若抽到的是次品，求该箱为B类箱的概率： (2)现已知检验的一箱为B类箱，检验员从这箱10件零件中不放回地随机抽取5件逐一检验， 设抽到的次品件数为X,求X的分布列和期望： (3)现已知检验的一箱为B类箱，在第(2)问抽检方案中，检出的每一件次品都需更换1个专 用配件进行返修.车间当天事先准备了m个该配件（∈{1,2,3）：若次品件数X>,缺货部分 需紧急调货，每个额外支出α元(a>0);若X<,剩余配件作报废处理，每个损失200元. 以总损失（紧急调货支出与报废损失之和）的期望为决策依据，若当天最优备货量为=2，求 a的取值范围. 19.已知函数f(x)=(6+x2)sinx-6x. (1)求曲线在y=f(x)在x=元处的切线斜率； ②)求证：当x∈(0，时，f()<0; 国：0-g2a0多-时品 6 共4页第4页 2026-2027学年度上期高2027届期中试卷 数学答案 一、 单项选择题 2 3 4 5 6 7 P D B B A B D C 二、多项选择题 9 10 11 BD ACD ABD 11.提示 C.若f(x)为常值函数，则f(x)无极值： D.一方面，若g(x)有对称轴，则f(x)有对称中心，若f(x)具有两类对称性，则f(x)具有周期性.另 一方面，若g(x)定义在R上，f(x)的图象为一条连续不断的曲线，f(x)在一个周期内（如[0,8]）必 有最值，而f()在R上最值与一个周期内的最值等价. 三、填空题 12.7 13.2或6 14.a>0且a≠1 14.提示 fm=0÷r2e=ecx+2n0)台aet2hr=e'(r+2lh)台-e+2nr, a x+2Inx 可令8)- 四、解答题 2云*1，-85 15.解：(1)由题设知3+1= a 2 解得a=2,=1,即椭圆C的方程为号+少=1 …5分 ②)联立 之+广=1与y=x+m,消去)，可得32+4mr+2m2-2=0, 共4页第1页 其中△=(4m)2-43·(2m2-2)=8(3-m2)>0, 面8=F音6-m-5 …10分 解得m2=1,满足△>0， 故m=士1. …13分 16.解：(1)因为OA⊥OB,OA⊥BC,OB、BCc平面COB,且OB∩BC=B, 所以OA⊥平面OBC, 因为OA⊥平面OBC,OAc平面OAB, 所以平面OAB⊥平面OBC. …5分 (2)以O为坐标原点，以OA、OB为x轴、y轴正方向， z轴垂直平面OAB,建系如图， (i)由A(2,0,0)、C(V3cos0,l,V3sin0),可得 4C=3cos0-2)2+(1-0)2+(3sin0)2=8-43cos0=22-3cos0: …9分 G)设平面08c的法向量为=化9.0丽=020，由0-君有C-9. 6 有-0丽=0即2y=0 取z=-3,则n=1,0,-3), …12分 n.0C=0,3x+2y+V5z=0, 设4C与平面08C所成线面角的大小为a,元=（身。 则sinacos<n,Ac光ln:AC=2V2 1n4C2.√2=2 …15分 以解0由图设知当22时、会号岩+号即经-1=-，当1时号-1-分 2 2” 故学-号是以-为首项、)为公比的等比数列， 则有会-1=（分(，即a,=2+(- …7分 共4页第2页 (2)一方面，由T=1=1<m且m∈N,可知m≥2： …8分 a 另一方面，42n-1=22m-1-1=2m-2+22m-2-1=22m-2+(22-2-1)≥22m-2=4 a40+4++=4 则有=1+1++1 1.1 +-0-2 …14分 a a3 故正整数m的最小值为2. …15分 18.解：(1)设”到货的一箱为A类箱”为事件A,“为B类箱”为事件B,“抽到的1件是次品”为 事件C。由全概率公式： P(C)=PAP(C1A)+P(B)P(C1B)=10×10+i0×i0F100=25 7.1,3.3164 “抽到次品”发生的条件下，该箱为B类箱，由条件概率： 33 P(BIC)= P(BC)_0×0=9 P(C) 16 161 ….6分 100 (2)X服从超几何分布，可能取值为0,1,2,3， P(X=0)= %2流拉以=)-祭-多 C211 C3C41055 C3C31055 3C号211 P(X=2)= =252=12,P(X=3)= C 252=12 分布列为 X 0 1 2 3 1 S 1 12 12 12 12 5 5 1183 B0W=0×2+1×2+2×2+3×2-12=2 ….12分 (3)记总损失为F(m),按期望的定义，逐一求出三个方案的总损失期望： 1 5 5 150,7 E[F(1]=200×2+0×i2+a×2+2a×12=3+12a F2】=400×2+200x5 2+ox51350 x2+ax123+立a, 1 5 5 1600+2000+1000 E[F(3)=600×12+400×2+200×2+0×i2 =300. 12 “最优备货量为m=2”即”m=2时的期望损失严格小于其余两个方案”，可得 E[F(2]<EF(1)小： 13507.50 12a+ 3<12a+3 1350 E[F(2]<E[F(3)I: 2a+3<300, 共4页第3页 解得200<a<2200. .…17分 19.解：(1)由题设知f'(x)=2 xsinx+(6+x2)cosx-6, f'(π)=-（π2+12），曲线在y=f(x)在x=元处的切线斜率为-（π2+12） …4分 (2)f(x)=2xsinx+(6+x2)cosx-6,f"(x)=4xcosx-(4+x2)sinx,f"(x)=-x(6sinx+xcosx), 当x∈(0，时，f(x)<0,fx)单减：f"()<f"0)=0,f'()单减： f'(x)<f'(0)=0,f(x)单减：故f(x)<f(0)=0. …10分 (3)由(2)知f白)<0，ieN, 即6+宁sm}-6<0,不等式两边同乘- 1 ,经整理， i 6 得2-+sin2>0,经累和，可得2-∑c+马sim>0 6 6 即0<a+2n+D-之心+名sin片，原不等式左边获证： …13分 6 6 令g(x)=x- -sinx,g)=1 6 -2-cosx,g"(x)=sinx-x,g"(x)=cosx-1, 当x∈0，时，g"(x)<0,g()单减：g()<8"0)=0,8单减： x3 g'(x)<g'(0)=0,g(x)单减：故g(x)<g(0)=0,即sinx>x- 6 取x=},ieN, 则有2-+名sin<-0+X-=1<11-1 +66)36182i-21+: 当n=1时，1-2sin1< 15 ,原不等式右边成立， 6 36108 当n≥2时，经累和，可得2-2e+之sim+-,1 6i361832n+110⊙， 原不等式右边获证. …17分 共4页第4页