精品解析：重庆市第七中学校2026-2027学年度高一上学期期中考试数学试题

重庆市第七中学校2026-2027学年度上期 高2029届半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以；故选D． 考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算． 2. 已知函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由被开方数大于或等于0且分母不等于0，可得结果. 【详解】的定义域内满足 ，可得且 故选：D 【点睛】本题考查了求函数定义域，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题. 3. 设函数，则的表达式是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，知，令，则，先求出，由此能求出. 【详解】， ， 令，则， ， ，故选B. 【点睛】本题考查函数解折式的求解及常用方法，解题时要认真审题,仔细解答，注意合理地进行等价转化. 4. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知一元一次不等式的解集确定的符号及与的等量关系，再将目标分式不等式等价转化为整式不等式求解. 【详解】由不等式的解集为，可得，即，且， 等价于，即， 可简化为，解得或， 即解集为. 5. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：根据分段函数的两段单调递增和两段的端点值之间的大小关系列式可求出结果. 方法二：先分别根据两段上的单调性限制参数，再比较分界点处的函数值与左段函数值的上界，确定衔接条件；注意只属于右段． 【详解】方法一：因为函数是定义在上的增函数， 所以，解得. 所以的取值范围为． 方法二：当时，． 因，左段严格递增当且仅当． 当时，有， 所以右段严格递增当且仅当，即． 当时，由得，左段函数的值域为，其中上界不能取到； 而右段从处的函数值开始递增． 因此，要使任意均满足，必须且只需，即，解得． 综上，的取值范围为． 6. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 令，则，解得或， 函数在闭区间上最小值为，最大值为， 要取到最小值，需对称轴落在区间内，即， 要保证最大值不超过，区间右端点不能大于，即， 解得， 故的取值范围是. 7. 已知定义在上的偶函数，若对当时，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据为偶函数，将不等式化为；根据得到在上单调递增，进而得到；两边平方整理得到一元二次不等式，求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 则不等式等价于不等式. 因为对且时，都满足， 所以与同号，故在上单调递增， 所以，即， 整理得，即， 解得或. 故不等式的解集为. 8. 已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】条件中与的积可由基本不等式求得最小值为，而两者之和恰为，因此把所求的写成，用一元二次不等式求出的最小值即可. 【详解】令,，由,得,，且. 又. 由基本不等式得，故，当且仅当，即时等号成立. 于是，即，解得. 所以；当且，即,时，，满足，等号可以取到. 因此的最小值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．） 9. 已知、，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A,取,,,,满足且. 此时,不成立,A错误. 对于B,由知,且,所以,B正确. 对于C,若,则,与矛盾,故. 在两边同除以,得,C正确. 对于D,取,,,则,D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的一个必要不充分条件； B. 若集合中只有一个元素，则或； C. 已知：，，则：，； D. 若集合恰有15个真子集，则的取值范围是． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：验证推出关系，举反例判充分性即可；B：按是否为二次方程分两类；一次情形直接看有无实根，二次情形利用判别式求唯一解，筛选参数；C：依据全称命题否定规则转换量词与结论即可判断；D：用真子集公式，结合二次不等式分类求参数. 【详解】选项A：若，则，即可推出； 反之，若，例如取，，满足， 但，即无法推出. 因此“”是“”的必要不充分条件，A正确； 选项B：集合只有一个元素，分情况讨论： ①当时，方程化为，无实根，此时，元素个数为0，不符合要求； ②当时，方程为一元二次方程，判别式，解得或（舍去）， 综上，满足条件的只有4，B错误； 选项C：原命题：，， 其否定为：，，C正确； 选项D：集合恰有15个真子集，即中含有4个整数元素. ， 对应一元二次方程的两根为 ，分情况讨论： ①当即时，不等式解集为，区间内整数为（共4个）， 因此需满足，解得； ②当即时，不等式解集为，区间内整数为（共4个）， 因此需满足，解得； 综上，则的取值范围是.D正确. 11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，令，即可求得；对B，先令得，再以代，得：，二者联立，即可判断函数的奇偶性；对C，根据定义证明即可；对D，根据单调性可以判断． 【详解】对于A，令，得，故A正确； 对于B，令得：（1）， 再以代，得：（2）， （1）（2）得：， ， 定义在上的函数为奇函数，故B正确； 对于C，函数为定义在上的奇函数，且当时，， 不妨设，则， 因为，所以且 因此， 所以， 则，即， 故函数在上为增函数，C错误； 对于D，令，因为， 则，即， 因为，且函数在上为增函数， 所以， 即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．） 12. 已知函数，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】，  ，因此. 13. 若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】将存在性命题为假的条件转化为全称不等式恒成立问题，通过参变分离结合对勾函数的单调性求解参数范围. 【详解】原命题为假命题，则其否定“对任意，都有恒成立”为真命题， 由于，即，可得对任意恒成立， 因为，当且仅当时取等号， 因此在上的最小值在处取得，计算得， 要使对所有恒成立，需满足， 即实数的取值范围为. 14. 已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 【答案】16 【解析】 【分析】利用值域为可得，从而可得的解集，再结合已知的解集可求实数的值. 【详解】因为函数（，）的值域为， 所以判别式，故． 不等式即为，其解集为， 因为的解集为， 所以，故即. 故答案为：16． 【点睛】本题考查一元二次函数的值域以及一元二次不等式的解．注意根据值域得到的解析式为完全平方式，从而方便地求出不等式的解集，本题属于基础题. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤．） 15. 已知，，. （1）求及； （2）若，求． 【答案】（1）， 或 ； （2）或 . 【解析】 【分析】先求出集合A，，C，再根据集合的交并补的运算即可求得结果. 【详解】由已知或， ， ， （1），或； （2）， 或， 所以或. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集.（结果用表示） 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由不等式 的解集为 ，可知 是对应方程 的两个根且 ，利用韦达定理可解； （2）代入 后因式分解得 ，抓住两根 与 1 的大小关系，分 三种情况分类讨论，再结合 时开口向上写出对应的解集. 【小问1详解】 的解集为，1和3是方程的两个根，且， ，解得； ； 【小问2详解】 ，， ， 令，得，则，， ，， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上所述，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）；（2）在上单调递增；（3）或. 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，解不等式组即可； （2）将a，b的值代入中，利用定义证明的单调性即可； （3）根据的单调性和，可得，解不等式即可. 【详解】（1）由题可知，函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得； （2）由（1）可知当时，， 当时， 任取，且， 且，则 于是，所以在上单调递增. （3）由函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增， 所以的解为， 解得或， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定与证明，以及函数性质的应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，合理利用函数的单调性转化不等关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18. 已知函数， （1）若方程有两等根，且，求的解析式； （2）在（1）的条件下，已知集合，其中为实数参数，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由重根条件确定，再将化为的关系，计算求解即可； （2）先求出，分集合和两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 方程可化为． 由题意可得且，解得． 由，得． 因为不恒成立，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 集合 关于的方程的判别式为． ①当时，，解得，此时成立． ②当时，，即或， 设上述方程的两根为，且，则． 由，得，所以，即． 由求根公式得，． 所以且，即且． 解得且，结合，得． 综上，的取值范围为． 19. ，分别用和表示，中的较大者和较小者，记为， （1）若函数，． ①求的值； ②已知函数，求的解析式及值域． （2）已知函数，当时，恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）①2；②，值域为； （2） 【解析】 【分析】（1）①分别计算，时，，的取值，结合题意即可求解； ②对，的函数值大小进行分类讨论，结合题意化简，再由的解析式，分段求解函数值域即可； （2）令，解方程组求得，，即可转化，则当时，恒成立，可变形为在上恒成立， 先分析在的最值情况，即可得到的取值要求，分离参数后即可求解． 【小问1详解】 ①因为，， 所以， ， 所以； ②当时，； 当时，， 故． 由，解得， 由，解得或， 故． 当时，单调递增，，则； 当时，单调递增，则； 当时，单调递减，，则， 故的值域为； 【小问2详解】 令，解得，． 故． 因为，所以． 因为，所以在上恒成立． 又因为在上恒成立， 所以在上恒成立，所以在上恒成立． 又因为在上单调递减，最大值为2，所以， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2026-2027学年度上期 高2029届半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，则 A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则的表达式是 A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，若对当时，都满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．） 9. 已知、，那么下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的一个必要不充分条件； B. 若集合中只有一个元素，则或； C. 已知：，，则：，； D. 若集合恰有15个真子集，则的取值范围是． 11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 为奇函数 C. 为减函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．） 12. 已知函数，则_____． 13. 若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是__________ 14. 已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤．） 15. 已知，，. （1）求及； （2）若，求． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求函数的解析式； （2）若，，求关于的不等式的解集.（结果用表示） 17. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于的不等式． 18. 已知函数， （1）若方程有两等根，且，求的解析式； （2）在（1）的条件下，已知集合，其中为实数参数，若，求的取值范围． 19. ，分别用和表示，中的较大者和较小者，记为， （1）若函数，． ①求的值； ②已知函数，求的解析式及值域． （2）已知函数，当时，恒成立．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $