精品解析：重庆市为明学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市为明学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、学校、年级、班级填写在答题卡上，将考号条形码粘贴在指定位置． 2、选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色字迹钢笔或签字笔作答．所有答案须写在答题卡对应区域内． 3．写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域的答案无效．考生必须保持答题卡整洁． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，，，,所以，C正确； 选项D，集合中元素个数比集合中元素个数多，所以集合不能为集合的子集，D错误. 2. 设为全集，，图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】图中阴影部分表示的集合是． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，A选项错误； ，B选项错误； ，所以，C选项正确； ，D选项错误； 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】根据题意可知 “”“”， 反之，“” “”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，需理解定义，属于基础题. 5. 下列图象中，能表示函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，作垂直于轴的直线，与圆有两个交点，即一个对应两个的值，不满足函数的定义，故A错误； 对于B，作垂直于轴的直线（），与图象有两个交点，不满足函数的定义。故B错误； 对于C，图象本身就是一条垂直于轴的直线，对于特定的值，有无数个值与之对应，不满足函数的定义，故C错误； 对于D，作任意垂直于轴的直线，与图象均只有一个交点，满足函数的定义，故D正确. 6. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，，， 所以， 故的取值范围是. 7. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，解得或， 所以函数的定义域为. 8. 已知函数．若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求，分别分析两段函数的单调性，再结合分界点处的函数值衔接条件，求解实数的取值范围. 【详解】当时，，这是开口朝下的二次函数，要求在上单调递增，对称轴： ； 当时，单调递增， ； 再考虑衔接点，或. 结合三个条件可得实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得3分，有错选或未选得0分． 9. 已知幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 在R上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故A正确； 选项B，函数的定义域为，关于原点对称，因为， 所以是偶函数，不是奇函数，故B错误； 选项C，任取，则. 因为，所以， 故， 当且仅当时等号成立，又因为，故， 所以，即，在上单调递增，不是单调递减，故C错误； 选项D，任取，则 . 因为，所以且，故，即，在上单调递增，故D正确. 10. 已知函数则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 方程恰有三个不同的实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围匹配对应解析式进行计算，可判断ABC；分段求解方程的解的个数即可判断选项D. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得， 又因为，得，即，故B错误； 选项C：由，得； 又因为，所以，即，故C正确； 选项D：当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得（不满足，舍去）； 当时，由，得，解得； 综上，方程共有3个不同的实数解，故D正确. 11. 设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，集合的积集 B. 若，集合的积集 C. 若是由5个正实数构成的集合，集合的积集中元素个数最少为7个 D. 存在4个正实数构成的集合，使集合的积集 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义积集，结合集合的概念及集合中元素的特征对选项逐一分析即可 【详解】对于A：因为， 故集合中所有可能的元素有，即， 所以，故A正确； 对于B：因为，故，故B错误； 对于C：因为 所以中元素个数大于等于7个， 如设 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故C正确； 对于D：假设存在4个正实数构成的集合， 使其积集， 不妨设，则集合的积集， 则必有，其4个正实数的乘积， 又或，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其积集，故D错误. 第II卷（解答题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的图像如图所示，其单调递增区间为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】观察图像：在上从左到右图像呈上升走向，说明在这个区间内，随着增大的值不断增大，符合单调递增的定义，故单调递增区间为． 13. 写出一个与表示同一函数的函数：_____________．（写出解析式及定义域） 【答案】 ，定义域为（或等价表述为） 【解析】 【详解】函数的定义域为， 当时，， 所以函数，定义域为与表示同一函数. 14. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数不等式要恒成立，则其两根要相等，否则会有小于0区间，则，再由均值不等式可求解最小值. 【详解】方程有两根，二次函数开口朝上， 要使得在上恒大于等于0，则两个根必须相等，，当且仅当时取等. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集． （1）求和； （2）求． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【小问1详解】 由题意得：，. 【小问2详解】 由题意得：或. 16. 已知二次函数，其中． （1）当时，若图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，求，．设方程的两个根为，求的值． 【答案】（1）； （2），，的值为. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数与轴交点个数对应一元二次方程判别式的符号求解参数范围； （2）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的实根，结合韦达定理求解参数值，再通过代数式变形利用韦达定理计算所求分式的值. 【小问1详解】 当时，， 若图象与轴有两个不同的交点，则， 解得或，即或. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由的解集为， 则的两根为和. 所以，即. 所以. 17. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值. 【详解】（1），，， 当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为； （2）由知. 当或时，； 当时，，由基本不等式可得. 当且仅当，即当时等号成立. 综上，的最大值为. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）在上单调递增；证明：任取， 则 因为，，所以，，， 所以，所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得可得，再结合可得，从而可求解； （2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可； （3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意函数是定义在上的奇函数， 所以，解得； 又因为，解得； 所以，.(经检验，满足题意) 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，即， 又因为为奇函数，所以，则， 由（2）知函数在上的单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解为. 19. 已知幂函数的定义域为，且其图象经过点．函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值，并判断在上的单调性（不需证明）； （2）求的值及函数在时的解析式； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），在上单调递增 （2），当时， （3）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据幂函数图象上的点求解，利用幂函数性质判断单调性； （2）根据奇函数的性质求及在时的解析式； （3） 分离参数后转化为求一次函数的最小值得解. 【小问1详解】 因为 图象过点， 所以， 即，由幂函数性质可得在上单调递增. 【小问2详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 当时，， 设，则， 所以 【小问3详解】 因为， 所以，即对恒成立， 由于，所以可化为对恒成立， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市为明学校2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题 满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、学校、年级、班级填写在答题卡上，将考号条形码粘贴在指定位置． 2、选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色字迹钢笔或签字笔作答．所有答案须写在答题卡对应区域内． 3．写在试卷、草稿纸和答题卡非答题区域的答案无效．考生必须保持答题卡整洁． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设为全集，，图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列图象中，能表示函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得3分，有错选或未选得0分． 9. 已知幂函数，下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 在R上单调递减 D. 在上单调递增 10. 已知函数则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 方程恰有三个不同的实数解 11. 设集合为非空实数集，集合且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，集合的积集 B. 若，集合的积集 C. 若是由5个正实数构成的集合，集合的积集中元素个数最少为7个 D. 存在4个正实数构成的集合，使集合的积集 第II卷（解答题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在上的图像如图所示，其单调递增区间为_____________． 13. 写出一个与表示同一函数的函数：_____________．（写出解析式及定义域） 14. 已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集． （1）求和； （2）求． 16. 已知二次函数，其中． （1）当时，若图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围； （2）若不等式的解集为，求，．设方程的两个根为，求的值． 17. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明； （3）解不等式． 19. 已知幂函数的定义域为，且其图象经过点．函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值，并判断在上的单调性（不需证明）； （2）求的值及函数在时的解析式； （3）若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $