精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高一上学期12月期中考试数学试题

重庆一中高2028届高一上期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的概念求出. 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数求值，分别代入对应解析式即可得解. 【详解】因为函数， 所以， 故选：B.. 3. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可. 【详解】指数函数在上单调递减，因为， 所以，即； 对数函数在上单调递减，因为， 所以，即， 指数函数在上单调递增，因为，所以，即. 综上，. 故选：D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】因为在定义域上单调递增，在内单调递增， 所以在定义域上单调递增， ，，，， 根据零点存在定理可知，函数的零点所在区间为． 故选：C 5. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】求解出已知不等式的解集，利用充分条件、必要条件的定义进行判断. 【详解】由，得；由，得， 因为可以推出，且不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图像，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，故排除A； 对于B，函数的定义域为，故排除B； 对于D，恒成立，当且仅当时等号成立，故排除D. 故选：C. 7. 已知，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的运算即可求得结果. 【详解】∵，∴，∴ . 故选：B. 8. 设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，定义域为， 所以， 所以，所以为奇函数， 在上单调递增，在上单调递增， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 存在实数a，b（）同时满足，故，且. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故选：. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以，A错误； 对于B： 因为，所以，所以B正确； 对于C： 因为，所以，C正确； 对于D： 因为，所以，所以，D错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，运用含有一个量词的命题的否定书写方法来判断A选项；B选项，运用对数函数恒过定点真数为1来进行判断；C选项，考查抽象函数定义域求法；D选项，考查利用复合函数单调性，求函数值域问题. 【详解】对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确； 对于B：函数（且），令， 解得，， 所以恒过定点为，故B错误； 对于C：已知函数的定义域为，即，即，所以的定义域为, 则对于，由，得，即的定义域为，故C正确； 对于D：令 ，，二次函数开口向下，在上单调递增， 在上单调递减，又因为在定义域上为减函数， 故在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，， 故的值域为，故D错误. 故选：AC 11. 已知关于x的方程（，）恰有三个不同的实数解，，，其中，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项. 【详解】令，则的定义域为， 有， 故为偶函数，则，故A正确； 必有一解为0，则，即， ①当时，因时，， 故，当且仅当时取等号； ②当时，在上递增，， 由可得， 即，解得， 又在上递增，，即，解得，则，故B、D正确，C错误. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的性质建立方程，求解参数即可； 【详解】因为幂函数在上是减函数； 所以； 故答案为： 13. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数，再求，利用复合函数单调性的判断方法求函数的单调递增区间. 【详解】由题意可知 ， 令，则， i因为在定义域内单调递减，若要求函数的单调递增函数， 则需满足 ，解得：， 函数的单调递增区间是. 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件求出函数是周期为4的函数，再根据函数周期性和奇偶性求出的值. 【详解】已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数， 由为偶函数可得：， 令，则，即，函数关于直线对称， 由为奇函数可得： ， 结合，可得， 由，则，故的周期为4， 求，利用周期性， 由，令，得， 已知，则，解得，即， 求，利用周期性， 由为偶函数，令，得，故，即， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知函数的定义域是集合，值域是集合，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的真数大于0求出集合，再根据对数函数的值域求出集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】（1） ； （2）令，解得， 所以， ，则， 所以，即， 所以. 16. 某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． （1）如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； （2）请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【答案】（1）万元 （2）万元 【解析】 【分析】（1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可. 【小问1详解】 小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. 【小问2详解】 设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 17. 已知二次函数的二次项系数为1，函数满足对任意，均有成立． （1）求的解析式； （2）已知函数，若对，使得成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程组即可求出，再检验即可； （2）令，求出的最大值，则问题转化为对，恒成立，再求解一元二次不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意可设， 则， 因，则，即，得， 则， 检验：， 则，符合题意， 故； 【小问2详解】 令，则， 因在上单调递减，则， 因对，使得成立， 则对，， 即对，， 即，即，得， 则，则，得， 则实数t的取值范围为. 18. 对于函数，若存在使得成立，则称为的不动点．若（）， （1）若，，求的不动点； （2）若对任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若，，求函数的不动点． 【答案】（1）和3. （2） （3）和. 【解析】 【分析】（1）解方程即可求解； （2）恒有两个相异实根，即判别式恒大于零，再根据二次函数图像知判别式小于零，解得的取值范围； （3）由条件确定，令，得到，两方程相加得到，由或求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由题意可知，得，  故当时，的不动点为和3. 【小问2详解】 因为恒有两个不动点， 所以，即恒有两个相异实根， 所以恒成立， 于是设，所以恒成立， 所以，解得， 故当，恒有两个相异的不动点时，的取值范围是． 【小问3详解】 当，时， ，则， 则可化为下式： ， 令， 则， 两式相加可得：， 即， 当时，可得，解得或， 当时，可得：， 即，，无解， 所以的解为：或， 即不动点为和. 19. 已知函数为奇函数，且． （1）求，并指出函数在的单调性（不用证明）； （2）若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 【答案】（1），函数在上单调递减，在单调递增. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求出； （2）①通过令，把题目化成二次函数有两个不等的实数根即可求出； ②利用得到，，再利用单调性即可求出. 【小问1详解】 函数为奇函数，，即，解得， 又，，解得， ， 设，， 当，则，，，即函数在是单调递增函数； 当，则，，，即函数在是单调递减函数， 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 ①令，则方程化为， 为奇函数，故图象关于原点对称， 又方程有四个不等实根， 有两个不等的实根，则， 又当时，，当且仅当，即时等号成立，， 为奇函数，故图象关于原点对称，当时，， ， 设，则，解得， 故实数m的取值范围为. ②结合①可知是的两个根，同时注意到， ，，其中， 同时，， 同理，由，可得， 原式 ，显然关于在上单调递增， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2028届高一上期期中考试 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 6. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则可用表示为（ ） A. B. C. D. 8. 设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的值域为 11. 已知关于x的方程（，）恰有三个不同的实数解，，，其中，则下列选项中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数m的值为________． 13. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为________． 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知函数的定义域是集合，值域是集合，求. 16. 某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． （1）如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； （2）请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 17. 已知二次函数的二次项系数为1，函数满足对任意，均有成立． （1）求的解析式； （2）已知函数，若对，使得成立，求实数t的取值范围． 18. 对于函数，若存在使得成立，则称为的不动点．若（）， （1）若，，求的不动点； （2）若对任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）若，，求函数的不动点． 19. 已知函数为奇函数，且． （1）求，并指出函数在的单调性（不用证明）； （2）若方程有四个不等实根， ①求实数m的取值范围； ②求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $