精品解析：广东茂名市2026-2027学年第一学期期中考试高一数学试题

2026—2027学年度第一学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设，为两个非空实数集合，集合，，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，，. 所以当时，或，对应的的值为或； 当时，或，对应的的值为或. 根据集合元素的互异性可知，， 所以中元素的个数为. 2. “”是“关于的函数单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性依次判断充分性和必要性即可. 【详解】若，则函数单调递减，满足充分性；若函数单调递减，则，满足必要性， 故“”是“关于的函数单调递减”的充要条件. 故选：D. 3. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ， 所以． 4. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 则， 因为，所以. 5. 若函数为奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意得，则且； 函数为奇函数，其定义域关于原点对称，. . ，即，解得； ，解得； . 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式以及基本不等式的性质，结合作差法判断各选项． 【详解】因为，可得，因为， 所以，即， 因为， 所以，即， 所以． 7. 若，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式，先求出的最小值，再求解函数的最大值. 【详解】已知，则，. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，函数取得最大值. 8. 已知函数是上的单调函数，其图象经过两点，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，. 因为且，又是上的单调函数，故在上单调递减. 不等式等价于. 由已知条件代入得. 由于在上单调递减，由可知. 整理得. 因此，不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，则下列选项正确的有（ ） A. B. ⫋ C. D. ⫋ 【答案】ABC 【解析】 【详解】， 则，⫋，，故ABC正确，D错误. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特殊值法逐项分析判断即可. 【详解】选项A：若且，则必有，故A为真命题. 选项B：由，得；由，得. 所以，即，故B为假命题. 选项C：由，得；又，所以，即， 所以，故C为真命题. 选项D：取，，满足，但，，此时，故D为假命题. 11. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的有（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合函数的中心对称、轴对称性质，推导函数的奇偶性与周期性，再利用性质计算特殊点函数值与数列求和，逐一判断选项. 【详解】，故关于点中心对称； ，故关于直线对称； 对于A，由，令，变形得， 又关于直线对称，故有， ，， 故，故，故为偶函数，A正确； 对于B，关于点中心对称，故， 由A知为偶函数，故， 有，即，， 两式相减，故，即，周期，B正确； 对于C，由B知周期，故， ，令，， ，令，， 故，C错误； 对于D，由B、C知，周期， ， 又，令，， 故， ， ，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为__________________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数图象可知，抛物线与轴的两个交点横坐标分别为和. 图象开口向上，说明当或时，抛物线位于轴上方. 此时对应的函数值. 由此可得不等式的解集为. 13. 某校高一年级共有名学生，其中参加合唱团的学生有名，参加科技社团的学生有名．在高一年级的学生中，同时参加合唱团和科技社团的学生最多有_______名，最少有________名． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空： 同时参加两个社团的人数的最大值为两个社团人数的较小值，即人数较少的社团全员加入另一社团时取到； 第二空： 同时参加两个社团的人数的最小值可根据容斥原理，令至少参加一个社团的人数不超过年级总人数，列不等式求解得到． 【详解】设同时参加合唱团和科技社团的学生人数为， 1．求的最大值：由于同时参加两个社团的学生需同时属于两个社团，因此不能超过任意一个社团的人数，即，当科技社团的所有学生均同时参加合唱团时，取得最大值； 2．求的最小值：根据容斥原理，至少参加一个社团的学生人数为，该人数不能超过高一年级总人数100，因此列不等式：，解得，当高一年级所有学生均至少参加一个社团时，取得最小值， 综上，的取值范围为， 即同时参加两个社团的学生最多有46名，最少有6名． 14. 函数是定义在上的奇函数，当时，．则不等式的解集为__________________． 【答案】 或  【解析】 【分析】将不等式转化为与同号的两类情形，结合函数的奇偶性、时的解析式与单调性分别求解，取并集得到最终解集. 【详解】函数的定义域为，因此，不等式等价于或， 当时，，在上单调递增，在上单调递增，因此在上为单调递增函数， 令，即，结合的条件，解得，即， 根据单调性可得满足的解为； 由于是定义在上的奇函数，因此在上也为单调递增函数， ， 根据单调性满足的解为； 将上述两个解集取并集，可得原不等式的解集为或 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 或或 【解析】 【小问1详解】 当时，，，所以. 【小问2详解】 由得.根据集合中元素的互异性，，故或. 由得；由得，所以或（舍去）. 以上三个值经检验均符合题意.综上所述，或. 16. 已知函数，若不等式的解集为． （1）求，的值； （2）若，求函数的最值． 【答案】（1）， （2）函数最小值为，最大值为 【解析】 【小问1详解】 由题意得，的两根分别为，， 由韦达定理得，解得. 【小问2详解】 由（1）得，抛物线开口向上，对称轴为， 又，最小值在对称轴处取得，； 又，，故最大值为. 即时，函数的最小值为，最大值为. 17. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于%，而且这个比值越大，采光效果越好． （1）若一所民用住宅的地板面积为，则这所住宅的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？ 【答案】（1）平方米 （2）变好了 【解析】 【小问1详解】 设这所住宅的窗户面积为，则，解得. 答：这所住宅的窗户面积至少为平方米. 【小问2详解】 设这所住宅原来的窗户面积和地板面积分别为和，窗户和地板增加的面积为，则，； ； ，，，； ，得，即. 增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果变好了. 18. 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． （1）求的值； （2）证明在上是增函数； （3）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）任取,且,则. 由条件②知. 又, 所以,即. 故在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）要求,可对条件①中的赋特殊值,令构造关于的方程求解. （2）证明抽象函数的单调性用定义法:任取,把转化为,再用条件②判定其符号. （3）先用条件①把两个函数值合并为一个,再由逐步算出,最后用单调性把函数值不等式化为自变量不等式. 【小问1详解】 因为对任意实数都成立, 所以令,得, 解得. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由得, 所以. 于是原不等式等价于,即. 由得,. 由（2）知在上单调递增, 所以等价于,即, 解得或. 故不等式的解集为. 19. 设二次函数，且的两个实根满足. （1）若函数的图象关于对称，求的解集； （2）若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【答案】（1）当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）由得，则， 得，则； （ii）. 【解析】 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中考试 高一数学 （考试时间：120分钟，总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设，为两个非空实数集合，集合，，，则中元素的个数为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“关于的函数单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为奇函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的单调函数，其图象经过两点，，则的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，则下列选项正确的有（ ） A. B. ⫋ C. D. ⫋ 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法正确的有（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为__________________． 13. 某校高一年级共有名学生，其中参加合唱团的学生有名，参加科技社团的学生有名．在高一年级的学生中，同时参加合唱团和科技社团的学生最多有_______名，最少有________名． 14. 函数是定义在上的奇函数，当时，．则不等式的解集为__________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数，若不等式的解集为． （1）求，的值； （2）若，求函数的最值． 17. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于%，而且这个比值越大，采光效果越好． （1）若一所民用住宅的地板面积为，则这所住宅的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？ 18. 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． （1）求的值； （2）证明在上是增函数； （3）若，解关于的不等式． 19. 设二次函数，且的两个实根满足. （1）若函数的图象关于对称，求的解集； （2）若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $