精品解析：广东茂名市第一中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

茂名市第一中学2026－2027学年度第一学期第一次期中考试 高一数学试卷 考试试卷：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，所以集合， 对于A选项，因为，所以，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，集合与集合之间是包含关系，元素与集合之间是属于关系，是一个集合，应为，故C错误； 对于D选项，因为，所以，即集合中的元素都在集合中，故，故D正确. 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，A错误； ，B错误，C正确；，D错误. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式和不等式的性质求解. 【详解】A选项，，，所以，所以A选项正确； B选项，，则不一定成立，例如，，但，所以B选项错误； C选项，，则，所以，所以C选项错误； D选项，，则不一定成立，例如：，，但，所以D选项错误； 4. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】要使函数式有意义，需，解得且，故定义域为且. 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得： 6. “关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若不等式在上恒成立，令，得． 当时，该不等式在上恒成立的充要条件是判别式，即，结合，解得． 由可推出，但当时，虽然，取却有，不满足原不等式，故是所求的必要不充分条件． 7. 若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】值域为，等价于两段函数各自的值域之并恰好覆盖全体实数，再分与两类讨论. 【详解】当时，在上单调递增， 故当时，该段值域为， 在上单调递减，取得最大值为， 故该段值域为， 取并集得值域为，与题意矛盾，故不符合要求； 当时，在上单调递减， 当时，该段值域为， 另一段的值域仍为，要使并集为，则， 得，即，解得或， 结合，得， 所以的取值范围是. 8. 对于任意的，记集合，集合．若集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质，则下列命题中为假命题的是（ ） A. 具有性质 B. 中有9个元素 C. 中有16个元素 D. 当时，不具有性质 【答案】C 【解析】 【分析】理解集合的取值原则，按照要求写出各选项对应的集合，结合性质意为集合中任意两个不同的元素相加都不等于某个自然数的平方，逐项验证. 【详解】对于A，，， 所有不同元素之和：， 均不等于自然数的平方，符合性质，A正确； 对于B，， 共9个元素，B正确; 对于C，,计算如下： ， 故， 共14个元素，C错误； 对于D，当时，，，存在不同元素之和等于自然数平方，不满足性质，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求． 9. 已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 是偶函数 D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得，故. 对于A选项，由上述计算可知，故A正确； 对于B选项，要使函数有意义，需，即定义域为，故B正确； 对于C选项，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故C错误； 对于D选项，因为，根据幂函数的性质可知，在上单调递减，故D正确. 10. 已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，用基本不等式求解； B选项，用1的代换结合基本不等式求解； C选项，用二次函数的思想求解； D选项，用换元法结合基本不等式求解. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，此时，所以，所以A选项正确； B选项，， 当且仅当，即：时等号成立，此时，所以B选项正确； C选项，， 所以当时，，所以C选项错误； D选项，，所以，则令，易得， ， 所以， 当且仅当，即：时等号成立，此时，所以D选项正确. 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则具有性质 B. 若函数为奇函数，则它一定具有性质 C. 函数具有性质 D. 若函数具有性质，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A：，具有性质，正确； 对于选项B：因为为奇函数，所以， 若函数具有性质，则对定义域内所有成立， 举反例，函数是奇函数，但，矛盾，B错误； 对于选项C： ， 由基本不等式，可得对任意，，所以C正确； 对于选项D ：，由绝对值三角不等式，对任意该式的最大值为， 要使该式对所有满足，需最大值，即， 因此实数的取值范围是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简求值：_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，，所以原式． 13. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知对任意，，不等式恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】令，则原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算. 【详解】因为，，则，所以， 又不等式恒成立，且，可得， 令，则原题意等价于对一切，恒成立， 当时，， 故实数的取值范围是， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由得，且，故， 因为，所以，所以． 【小问3详解】 因为，所以， 所以． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）画出函数在上的大致图象； （2）求函数的解析式； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为1，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数图象关于原点对称，通过五点法画出图象. （2）根据奇函数定义求解析式. （3）利用二次函数的性质求最值 【小问1详解】 如图，作图分析如下： ①为奇函数，图象关于原点中心对称． ②当时，．这是一段开口向下的抛物线，顶点为，且过原点和点． ③根据中心对称，当时，图象过点，顶点为．只需画出关于原点对称的草图，标出、以及与坐标轴的交点即可. 【小问2详解】 设，则，因为时，， 所以． 由是上的奇函数得， 即当时，， 又，符合的解析式， 所以的解析式为. 【小问3详解】 当时，， 对称轴，所以当时，函数取得最大值， 比较区间两端点的函数值；， ，所以当时，函数取得最小值． 综上所述，函数在区间上的最大值为1，最小值为． 17. 某市准备建一个如图所示的综合性休闲广场.已知矩形广场的总面积为2000平方米，其中阴影部分为通道，通道的宽为1米，中间的两个小矩形完全相同. （1）用矩形的宽（米）表示中间的三个矩形的总面积（平方米）的函数关系式，并给出定义域； （2）当矩形的宽为何值时，取得最大值，并求出最大值. 【答案】（1） （2）时，取得最大值1805平方米. 【解析】 【分析】（1）根据条件表示各个矩形长与宽，再根据面积公式得结果，最后根据实际意义求定义域，（2）根据基本不等式求最值. 【详解】（1）因为矩形广场的总面积为2000平方米，所以，即. 因为，所以， 则 . （2）， 当且仅当，即时，等号成立，此时，取得最大值1805平方米. 【点睛】本题考查函数解析式与基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 18. 已知指数函数，其中且． （1）求的解析式； （2）设 （i）判断的奇偶性，并说明理由； （ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）为奇函数，理由如下： 由（1）知，则． 的定义域为，关于原点对称． ， 所以是奇函数． （ii）． 【解析】 【分析】（1）根据指数函数定义求解. （2） （i）利用奇偶性定义判断. （ii）先根据的奇偶性和单调性，将不等式转化为； 方法一：参变分离后转化为恒成立，设，根据求实数的取值范围． 方法二：令，结合二次函数判别式，对称轴及区间端点函数值列不等式组求实数的取值范围． 【小问1详解】 因为是指数函数，所以其系数必须为1，即：， 所以，解得或． 又因为且，所以． 此时． 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为是奇函数，所以． 原不等式可化为：， 即． 判断的单调性：． 在上递增，所以递增，递减，从而在上单调递增， 又因为在上单调递增，所以脱去函数符号得：． 即对任意恒成立． 方法一：分离参数法（推荐） 因为，所以将不等式变形为：，即， 令，． 因为和在上均单调递减，所以在上单调递减． 因此，当时，， 要使恒成立，只需，即， 即实数的取值范围是． 方法二：构造函数法 令，对称轴为， 要使在恒成立，需满足：或或 解得： ①当即时，，所以． ②当即时，，矛盾，无解． ③当即时，无解． 综上，． 19. 阅读下面材料，解决问题： 材料一：已知函数有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增． 材料二：当时，若与单调性相同，则在区间上单调递增；若与单调性不同，则在区间上单调递减． （1）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （2）已知，，求的单调递减区间和值域； （3）对于（2）中的函数，设函数，．若对，总，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）根据材料一，对于，，则， 函数在上单调递减． 证明（定义法）：任取，，且，则 ． 因为，所以，且，故． 所以即，所以函数在上单调递减． （2）单调递减区间为，值域为． （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用材料一的结论判断单调性，再用定义法（作差法）证明即可； （2）对的解析式进行配凑变形，利用换元法转化为对勾函数的形式，结合材料二的复合函数同增异减原则求解单调区间与值域； （3）将问题转化为“在区间上的值域是在区间上值域的子集”，根据二次函数对称轴的位置分类讨论，列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 令，因为，则，在上单调递增． 在时单调递减，此时，复合函数单调递减， 在时单调递增，此时，复合函数单调递增． 由此可得即时，取得最小值， 比较端点函数值，，所以． 所以的单调递减区间为，值域为． 【小问3详解】 由题意的值域是值域的子集，由（2）知的值域为， 下面求在上的值域，的对称轴为，分类讨论如下： ①当时，在上单调递增， ，． 由得，所以． ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，最大值在端点处取得，， 当时，在上的值域为． 所以，无解． 当时，在上的值域为， 所以，无解． ③当时，在上单调递减， ，， 由得，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市第一中学2026－2027学年度第一学期第一次期中考试 高一数学试卷 考试试卷：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 函数的定义域为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 5. 已知函数，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. “关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数（且）的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的，记集合，集合．若集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质，则下列命题中为假命题的是（ ） A. 具有性质 B. 中有9个元素 C. 中有16个元素 D. 当时，不具有性质 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求． 9. 已知幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的定义域为 C. 是偶函数 D. 在上单调递减 10. 已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 11. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则具有性质 B. 若函数为奇函数，则它一定具有性质 C. 函数具有性质 D. 若函数具有性质，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简求值：_________． 13. 不等式的解集是________． 14. 已知对任意，，不等式恒成立，则实数的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）画出函数在上的大致图象； （2）求函数的解析式； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 17. 某市准备建一个如图所示的综合性休闲广场.已知矩形广场的总面积为2000平方米，其中阴影部分为通道，通道的宽为1米，中间的两个小矩形完全相同. （1）用矩形的宽（米）表示中间的三个矩形的总面积（平方米）的函数关系式，并给出定义域； （2）当矩形的宽为何值时，取得最大值，并求出最大值. 18. 已知指数函数，其中且． （1）求的解析式； （2）设 （i）判断的奇偶性，并说明理由； （ii）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 阅读下面材料，解决问题： 材料一：已知函数有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增． 材料二：当时，若与单调性相同，则在区间上单调递增；若与单调性不同，则在区间上单调递减． （1）判断函数在上的单调性，并利用定义法证明； （2）已知，，求的单调递减区间和值域； （3）对于（2）中的函数，设函数，．若对，总，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $