精品解析：江苏省南京市中华中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

南京市中华中学 2026—2027 学年第一学期期中考试高一数学 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 设集合，若，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 0或 2. 已知，，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. 或 D. 或 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列式子中正确的是（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 8. 已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（　　） A. 的定义域为 B. 函数 与 是同一函数 C. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 D. 若函数 是一次函数，且满足 ，则 或 10. 设，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于轴对称 B. （） C. 的值域为 D. 在上单调递增 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.如：，.又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用.以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. ______． 13. 当时，函数的最小值为______． 14. 若函数在上单调，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）记全集，求. 16. 已知a，b为正实数，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 18. 已知偶函数和奇函数的定义域均为R，且． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学 2026—2027 学年第一学期期中考试高一数学 考试时间：120 分钟　　满分：150 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 设集合，若，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 0或 【答案】B 【解析】 【详解】，又， ，解得或， 时，的元素为，符合题意； 时，的元素为，不符合集合的互异性，故（舍去）； 综上，的值为． 2. 已知，，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件； 当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件； 故选：D. 3. 不等式的解集为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，解得， 因此原不等式的解集为． 4. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故其图象为C中的图象. 5. 如果，那么下列式子中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 6. 已知函数的值域为，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式得出在上有，由题意可得，然后求解即可. 【详解】当时，单调递增，所以在上有， 所以要使函数的值域为， 则需，解得. 故选：C 7. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式 的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，求出的值，根据偶函数的对称性，得函数的单调性，据此由，可得，即可求解. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，解得，所以函数的定义域为， 当时，单调递减，在时，单调递增， 所以由，得， 即，所以， 所以或，且，解得. 故原不等式的解集为. 8. 已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，集合中的元素恰有2个整数， 故，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得， 当时，， 此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 给出以下四个判断，其中正确的是（　　） A. 的定义域为 B. 函数 与 是同一函数 C. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 D. 若函数 是一次函数，且满足 ，则 或 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：根式内部为非负数、分母不为0，联立求出定义域；B：两函数定义域不一样，不是同一个函数；C：解不等式得到新函数定义域；D：设一次函数，复合后对比系数，求出两组解. 【详解】A 项，要使得函数有意义，则，且，得 且 ，定义域为 ，正确； B 项，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，不是同一函数，错误； C 项，由，得，所以 的定义域为 ，正确； D 项，设 ，其中 ，则， 又 ，比较对应项系数，得， 由 得 或 ， 当 时，，得 ，此时 ； 当 时，，得 ，此时 ；D 正确. 10. 设，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于轴对称 B. （） C. 的值域为 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A：∵的定义域为, 且， ∴为偶函数，即图像关于轴对称，A正确. 对于B：∵，∴，B正确. 对于C：∵， 又，∴， 即， ∴，即的值域为，C正确. 对于D：∵在上单调递减， ∴在上单调递增， ∴在上单调递减，即在上单调递减，D错误. 11. 高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.如：，.又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用.以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A. ， B. ， C. 函数的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由高斯函数的定义，可判定A正确；取，可判定B错误；由，可判定C正确；根据不等式的解法，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，由高斯函数的定义得：，，所以A正确； 对于B，取，可得，所以，所以B错误； 对于C，由高斯函数的定义，可得，则， 所以函数的值域为，所以C正确； 对于D，由不等式，可得，所以， 即不等式的解集为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. ______． 【答案】## 【解析】 【详解】 ． 13. 当时，函数的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【详解】由于，故， 所以， 当时等号成立，因此的最小值为4． 14. 若函数在上单调，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，问题转化为在上单调且或恒成立，再分类讨论求实数的取值范围. 【详解】设， 函数在上单调，则在上单调且或恒成立. 又，所以在上单调且恒成立. 下面分情况研究： ①若在上单调递增，且恒成立， 则； ②若在上单调递减，且恒成立， 则. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）记全集，求. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得集合，再由交集及并集的定义计算可得； （2）先求集合的补集，再由并集的定义计算可得. 【小问1详解】 解不等式，得，所以. 解不等式，得，所以， 又因为，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 由补集的定义，或，或， 所以或. 16. 已知a，b为正实数，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； 【小问2详解】 ， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； 17. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）35（台），最大利润为2050（万元）． 【解析】 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果. 【小问1详解】 由题意可得， 所以． 【小问2详解】 当时，，对称轴方程， 且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，即（万元）， 因为， 故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）． 18. 已知偶函数和奇函数的定义域均为R，且． （1）求函数和的解析式； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1），； （2） （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性替换x得到另一等式，联立方程组求解解析式； （2）代入解析式转化为一元二次不等式恒成立，利用判别式小于等于0求m范围； （3）代入化简因式分解，根据两根m与2的大小关系分类讨论求解不等式． 【小问1详解】 为偶函数，为奇函数，故，； 用代替得，解得，． 【小问2详解】 即恒成立， 所以，得． 【小问3详解】 不等式即，即； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”. （1）证明：函数在定义域里存在“完美区间”； （2）如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b； （3）是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在与上均为增函数， 若存在完美区间， 则有，即为的两根． 即的根，故，即存在“完美区间”. （2），. （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）根据完美区间的定义，结合的单调性与区间端点值证明即可； （2）设定义域为，值域为，再列方程组求解即可； （3）作出的图像，讨论与1，2的关系，去绝对值后列式消元求得范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为 当时，易得在区间上单调递减， 则，两式相减可得，得， 则，即，因为，解得，. 【小问3详解】 ，图象如图所示，令，解得或， （ⅰ）当时，，由，两式相除，， ， ，可得，与a，b范围矛盾，即实数不存在 （ⅱ）当时，，由可得，，即， ，由，即，解得， 又，，， 由，可得， 综上，符合条件的k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分类讨论，最后分离出结合二次函数的性质即可求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $