精品解析：上海市徐汇中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

徐汇中学 2026 学年高一年级第一学期 期中考试　数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 小题，第 1-8 题每题 3 分，第 9-12 题每题 4 分，满分 40 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若，则的值为______. 2. 已知集合，，则_______． 3. 已知 ，化简 __________． 4. 用反证法证明命题：“设x，．若，则或”时，假设的内容应该是__________． 5. 不等式 的解集为__________． 6. 满足条件的集合的个数为______. 7. 已知幂函数，且，则_______． 8. 已知 ，，用含 、 的代数式表示 ___． 9. 设 ，则方程 的解集是_____． 10. 已知一元二次不等式的解集为，则一元二次不等式的解集是___________． 11. 已知正数 、 满足 ，则 的最小值为___． 12. 若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______. 二、选择题（本大题共有 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用 2B 铅笔涂黑． 13. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）. A. B. C. D. 14. 设命题 ，命题，则是的（　　）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 16. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 三、解答题（本大题共 5 题，满分 44 分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、． （1）若、满足，求实数的值； （2）求的最小值． 19. 设命题p：，不等式恒成立，q：， （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 20. Labubu 公司拟在年初推出智能机器人系列玩偶（单位：套）．根据以往经验，其中一条生产线每月生产套玩具的成本由两部分费用（单位：元）构成： （i）固定成本（与生产玩具套数无关），总计元； （ii）每生产套需另投入的生产成本元，其中． （1）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，问：该生产线每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？ （2）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，但随着的增大，每月生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着的增大而适当增加．设每套玩具的售价为元，．若当月产量为套时利润最大，此时每套售价为元，试求、的值．（利润销售收入成本费用） 21. 设集合A为非空数集，定义． （1）若，写出集合； （2）若，且，求证：； （3）若，且，求集合A元素个数的最大值． 【附加题】本大题共有 2 小题，每题 5 分，满分 10 分． 22. 设集合，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元集和集”．若的“3元集和集”为，则集合________________． 23. 已知函数 ，其中 且 ，曲线 经过 、 两点．设 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（　　）． A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学 2026 学年高一年级第一学期 期中考试　数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 小题，第 1-8 题每题 3 分，第 9-12 题每题 4 分，满分 40 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值. 【详解】因为，所以分两种情况讨论： 若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去. 若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件. 故答案为： 2. 已知集合，，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】把代入得， 所以两条直线交于点， 即． 3. 已知 ，化简 __________． 【答案】 【解析】 【详解】 . 4. 用反证法证明命题：“设x，．若，则或”时，假设的内容应该是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据给定条件，利用反证法直接写出结论的否定即可. 【详解】依题意，假设的内容应该是：且. 故答案为：且 5. 不等式 的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由分母不为0，得，移项并通分得． 上式等价于且，解得或． 故解集为． 6. 满足条件的集合的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合包含的关系分析集合的元素的情况，从而将问题转化为求集合的非空子集的个数，由此得解. 【详解】因为， 所以集合必含有元素，且至少含有元素中的一个， 则集合的个数与集合的非空子集的个数一样， 所以集合的个数为. 故答案为：. 7. 已知幂函数，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的定义要求“形如”，系数为、底数为自变量、指数为常数，因此先由系数定出，再由定出指数． 【详解】幂函数的系数必须为，所以，得． 又，故，即． 所以． 8. 已知 ，，用含 、 的代数式表示 ___． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，. 9. 设 ，则方程 的解集是_____． 【答案】 【解析】 【详解】由，故原方程可化为， 又， 由三角不等式， 当且仅当 等号成立. 解得，故原方程的解集为. 10. 已知一元二次不等式的解集为，则一元二次不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由的解集，确定的值代入所求不等式求解即得. 【详解】因为的解集为， 则方程的两根为和， 则有，即， 则等价于， 得，得 解得， 故不等式的解集为. 故答案为： 11. 已知正数 、 满足 ，则 的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】将条件转化为两个分母的加权和为定值，再利用基本不等式求下界，并检验等号能否成立． 【详解】令，，则，，且． 因为，，由基本不等式得，所以． 当且仅当，即时等号成立，与联立得，． 此时，，且，满足题设，所以下界可以取得． 因此，的最小值为． 12. 若关于的不等式共有2025个整数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过分类讨论解绝对值不等式，结合整数解个数的边界分析，利用不等式的参数范围求解， 【详解】显然， 当时，由可得， 解得，所以 当时，由可得， 所以 当时，由可得， 解得，所以 综上：不等式的解集为 因为共有2025个整数解，所以， 解得，所以， 故这2025个整数解只能为254，255，…，2278， 所以，解得； 所以的取值范围是． 故答案为： 二、选择题（本大题共有 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用 2B 铅笔涂黑． 13. 若，则下列不等式中不成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】ABD选项，由不等式的性质得到；C选项，可举出反例. 【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同加上得，故A正确； B选项，因为，所以，不等式两边同除以， 则，B正确； C选项，不妨设，则，故，C错误； D选项，因为，所以，即，D正确. 故选：C 14. 设命题 ，命题，则是的（　　）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义得到答案. 【详解】且；． 充分性：当且时，，所以； 必要性：当时，若，此时不成立，即 所以是的充分不必要条件． 15. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数图象得到，再结合指数函数图象与平移即可解题. 【详解】由题意得，所以在定义域上单调递减． ，，故B符合题意． 故选：B． 16. 设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值. 【详解】因为为正实数，所以， 当且仅当时等号成立， 从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以， 所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，， 同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得， 若取，则，即，假设成立，C正确，D错误. 故选：. 三、解答题（本大题共 5 题，满分 44 分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知集合，. （1）若，求； （2）设：，：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）明确集合，，根据并集的概念求. （2）根据条件，确定集合，的关系，进一步求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为：. 所以. 当时，，所以. 所以. 【小问2详解】 因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集. 因为. 所以且 “”不能同时成立，解得. 故实数的取值范围为：. 18. 已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、． （1）若、满足，求实数的值； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理写出两根之和、两根之积，结合条件列式求解，再用判别式筛选出符合有实根要求的m； （2）借助立方和公式将转化为关于m的函数，再利用二次函数性质即可求出最值. 【小问1详解】 由韦达定理，，且方程有两个实根要求 ，即． 由得，即，解得或． 时，，舍去； 时，符合． 故． 【小问2详解】 ， 函数开口向下，对称轴为， 故． 19. 设命题p：，不等式恒成立，q：， （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，按分类，结合一元二次不等式恒成立列式求解. （2）利用对数函数单调性化简命题，再结合（1）的结论，按真假、假真分类求解. 【小问1详解】 由p为真命题，得，不等式恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得，因此， 所以实数m的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，解得， 因此命题，由（1）得命题， 而命题p，q有且只有一个是真命题，则当真假时，；当假真时，， 所以实数m的取值范围是或. 20. Labubu 公司拟在年初推出智能机器人系列玩偶（单位：套）．根据以往经验，其中一条生产线每月生产套玩具的成本由两部分费用（单位：元）构成： （i）固定成本（与生产玩具套数无关），总计元； （ii）每生产套需另投入的生产成本元，其中． （1）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，问：该生产线每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？ （2）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，但随着的增大，每月生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着的增大而适当增加．设每套玩具的售价为元，．若当月产量为套时利润最大，此时每套售价为元，试求、的值．（利润销售收入成本费用） 【答案】（1）每月生产套时平均每套成本最少，为元； （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意写出生产成本，利用基本不等式计算平均每套成本的最小值，并且求出对应的值； （2）利用利润函数，结合题意列方程求得、的值． 【小问1详解】 每月总成本， 平均每套成本为． 等号成立当且仅当时，即时，等号成立， 所以每月生产套时平均每套成本最少，此时每套成本为元． 【小问2详解】 利润． 要在处取得最大值，需，且对称轴为， 故，即． 又． 令，则，代入上式： ，解得，即； 再由，所以，． 21. 设集合A为非空数集，定义． （1）若，写出集合； （2）若，且，求证：； （3）若，且，求集合A元素个数的最大值． 【答案】（1），； （2）证明：由，且， 所以也有4个元素，且都是非负数， 其中，易知， 且，故， 对于其它元素，有，且， 从而有，得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，直接得到集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）设，根据定义求得，再设且，进而求得、，并确定中元素最多时对应的m值，即可得答案. 【小问1详解】 由，则，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设， 由， 所以中的元素个数大于等于， 由， 所以中的元素个数大于等于， 由，所以的元素个数大于等于， 且最小元素为0，最大元素为，故的元素个数小于等于， 所以且，即， 当满足题设，证明如下： 设且， 则，， 由上分析，有，故最小值为， 所以时，中元素最多，即满足题意， 综上，中元素个数最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问集合中元素的个数最多时，满足中的最大值小于中的最小值，应用容斥原理确定中元素个数的范围是解题的关键. 【附加题】本大题共有 2 小题，每题 5 分，满分 10 分． 22. 设集合，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元集和集”．若的“3元集和集”为，则集合________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，写出的“3元集和集”，再由集合相等列式求解. 【详解】集合 的元子集共有个：， 集合， 不妨令，则， 而，因此，相加化简可得：， 解得，所以. 23. 已知函数 ，其中 且 ，曲线 经过 、 两点．设 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入已知点求出对数函数解析式，通过换元将原函数转化为关于的二次函数，借助绝对值相等拆分方程，得到四个实数解并排列，利用指数运算配对化简与，把目标式转化为单变量函数，借助函数单调性求值域，进而得到目标式取值范围. 【详解】由 ， 得 ，故 ， . 于是 . 令 ，则 ，图象是开口向上、对称轴为 的抛物线． 设 ，且， 令，则方程有四个解； 所以方程 与 ，有四个不同的实数解， 所以，， ，，，． 又 单调递增，故 、、、． 记 ， 则，． 所以 ． 函数 在 上严格递增，值域为，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $