精品解析：上海实验学校2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

上海实验学校高一期中数学试卷 一．填空题 1. 计算：__________________ 【答案】 【解析】 【分析】借助对数换底公式将连乘的对数转化为分式形式，通过交叉约分简化运算，结合对数运算性质得到最终结果 【详解】 2. 已知幂函数（为正整数）的图像关于轴对称，且在上为严格减函数，则_________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性确定指数的取值范围，结合为正整数得到候选值，再利用函数图像关于轴对称的性质筛选出符合要求的值. 【详解】因为幂函数在上为严格减函数，所以， 解得，又因为为正整数，因此或或. 当时，函数是奇函数，图像关于原点对称，不符合要求，舍去； 当时，函数是偶函数，图像关于轴对称，且在上严格递减，符合所有条件； 当时，函数是奇函数，图像关于原点对称，不符合要求，舍去. 综上，满足所有条件的值为. 3. 已知集合，，则__________________ 【答案】 【解析】 【分析】通过解一元二次不等式化简集合，求二次函数中的最小值化简集合，再计算交集即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得， 所以， 故. 4. 要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，转化为，即可求解. 【详解】由题意，设， 要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小， 根据二次函数的图象与性质，则满足，即， 即，解得，即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，转化为是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力. 5. 若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】设，进而利用对数性质和换底公式求解即可． 【详解】由题意，正实数a、b、c均不为1， 设， 则，，， 即，，， 由，得， 即，即. 故答案为：1. 6. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________ 【答案】 【解析】 【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可. 【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根， 所以，，所以， 解得或， 又因为，得，所以. 故答案为：3 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________________ 【答案】 【解析】 【分析】分集合A为空集、非空集两种情况，结合子集定义列不等式求解. 【详解】由集合，，且， 当时，则，解得，满足； 当时，因为，所以，，解得. 综上，实数的取值范围为. 8. 在今年的读书节活动中，全校师生、家长与退休教师共捐赠图书册，若每一册书至少由教师、家长、学生中的一方捐赠，且同一册书可由多方重复捐赠，其中由教师捐赠的有册，由家长捐赠的有册，由学生捐赠的有册；既有教师又有家长捐赠的有册，既有家长又有学生捐赠的有册，既有教师又有学生捐赠的有册，则同时由教师、家长、学生三方捐赠的图书共有__________________册. 【答案】 【解析】 【分析】设由教师、家长、学生捐赠的图书组成的集合分别为、、，由教师、家长、学生三方同时捐赠的图书共有册，做韦恩图，由容斥原理求解.. 【详解】设由教师、家长、学生三方同时捐赠的图书共有册， 教师、家长共同捐赠的图书有：； 家长、学生共同捐赠的图书有：； 教师、学生共同捐赠的图书有：； 只有教师捐赠的图书有：； 只有家长捐赠的图书有：； 只有学生捐赠的图书有：； 所以，解得. 所以由教师、家长、学生三方同时捐赠的图书共有57册. 9. 已知，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】化简方程可得，变形并结合对数真数大于0，可利用均值不等式求解. 【详解】易得， 故. 由得，故， 所以，当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，转化思想，属于中档题. 10. 已知正数满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值. 【详解】因为，故. 又， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 【点睛】本题考查在二元不等条件下三元目标代数式的最值，注意根据所求的最值的类型和题设中已知条件的不等式的方向进行合理的放缩，本题属于中档题. 二．选择题 11. 已知，则“”是“关于的不等式的解集为”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】A 【解析】 【分析】先求解二次不等式解集为的等价参数范围，再结合充分条件、必要条件的定义判断两个命题的逻辑关系； 【详解】因为不等式的解集为，所以只需要，解得； “”是“关于的不等式的解集为”的充分非必要条件； 12. 植树节“绿色交换”活动中，只要集齐斤废纸、个塑料瓶或本旧书中的任意一项，即可兑换一盆多肉植物．关于某班的收集情况，有下列四个命题： ①“若该班集齐了斤废纸，则该班能兑换到多肉植物”的逆否命题是“若该班没有兑换到多肉植物，则该班没有集齐斤废纸”； ②“该班集齐了斤废纸”是“该班能兑换到多肉植物”的必要条件； ③若该班集齐了个塑料瓶，则该班一定能兑换到多肉植物； ④若该班能兑换到多肉植物，则该班一定集齐了斤废纸． 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】结合逆否命题的定义、充分必要条件的判定规则，依据题目给出的兑换规则逐一判断即可. 【详解】集齐斤废纸、个塑料瓶或本旧书中的任意一项，即可兑换一盆多肉植物， 记：：集齐斤废纸；：集齐个塑料瓶；：集齐本旧书；：兑换一盆多肉植物，则. 对于①：原命题：若，则，则逆否命题：若，则，故①正确； 对于②：因为兑换多肉还可以靠塑料瓶、旧书，不一定集齐废纸，所以推不出，故②错误； 对于③：因为满足任意一项，即可兑换多肉，所以集齐塑料瓶一定能兑换，故③正确； 对于④：兑换还可以靠塑料瓶或者旧书，不一定是废纸，故④错误. 13. 设，是幂函数，已知命题：若的图象关于轴对称，则在上是严格增函数；命题：若在上单调递增，则的图象一定经过第一象限．下列判断正确的是（ ） A. 真，真 B. 真，假 C. 假，真 D. 假，假 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂函数的奇偶性、单调性与图像特征，通过举反例判断命题的真假，根据幂函数在上递增的参数条件判断命题的真假，进而得出结论. 【详解】由题意，在中，是幂函数， 对于命题，当时，，函数定义域为， ， ∴函数为偶函数，关于轴对称， 设，则， ∴， ∴函数在上单调递减， 故假. 对于命题，在幂函数中， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数为，不单调， 当时，函数在上单调递增， ∴若在上单调递增，则， ∵，∴图象过点， ∴的图象经过第一象限， ∴真. 14. 设，为的子集，为的子集，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析得到，，结合，即可得出. 【详解】因为集合是由集合的子集构成的集合，集合是由集合的子集构成的集合， 所以，，所以， 又，所以在的子集与的子集中，没有非空的公共部分，所以. 三．解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求与； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求解分式不等式得到集合，再代入求出集合，最后根据集合的交集、并集的定义求解即可； （2）先求解含参不等式得到集合，再把充分不必要条件转化为是的真子集，最后列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 解不等式，得，即； 当时，解不等式，得，即， 所以，. 【小问2详解】 解不等式，得，即， 因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得：， 即实数的取值范围是. 16. 已知，记关于的不等式的解集为． （1）当时，求； （2）若非空，求的取值范围，并用表示； （3）若，且的长度不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围为， （3）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）结合绝对值的几何意义转化为，进而求得； （2）令，结合（1）得，进而求得；再根据分段函数，结合函数图象，分，，三种情况求解即可； （3）结合（2）中的，根据集合的关系，区间长度的定义求解即可. 【小问1详解】 解：因为的几何意义是：数轴上点到点和点的距离之和,点和点之间的距离为， 所以，当且仅当时，等号成立. 当时，不等式为 由上述分析可知，的最小值为， 所以，即， 根据绝对值的几何意义，只有当上时（包含端点），到和的距离之和才恰好为. 所以，当时，. 【小问2详解】 解：令， 由（1）知，的最小值为， 所以，要使不等式有解（即非空），必须满足：， 所以的取值范围是. 下面用表示： 因为， 作出函数图象如图： ，即， 所以，由图象知，当时，，解得，即； 当时，恒成立，即； 当时，，解得，即； 综合以上三种情况，的解集为： 【小问3详解】 解：由第(2)问知，，且， 若，则，解得； 要使的长度不超过，则， 综上，当，且的长度不超过时，的取值范围是 17. 为落实“学生每天综合体育活动不少于小时”的要求，学校拟把体育馆内一间面积为平方米的矩形房间改建成“运动角”，房间墙面高米．运动区地面铺设运动地胶，每平方米造价元；四周墙面安装防护软包，每平方米造价元． （1）设该矩形房间的一边长为米，求房间周长（米）关于的表达式，并写出的取值范围； （2）求改建总造价（元）关于的表达式（门窗面积忽略不计）； （3）当为何值时总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】（1），； （2），； （3）当米时总造价最低，最低总造价为72000元. 【解析】 【分析】（1）求出矩形房间的另一边长，即可得出结论； （2）分别求出地面铺设运动地胶价格和墙面安装防护软包价格，即可求出改建总造价的表达式； （3）利用基本不等式即可求出的值和最低总造价. 【小问1详解】 由题意，， 矩形房间面积为平方米，一边长为米，则另一边长为米， ∴，. 【小问2详解】 由题意及（1）得，，房间墙面高米， 总造价由地面铺设运动地胶价格与墙面安装防护软包价格两部分组成， 该矩形房间面积为平方米，一边长为米，另一边长为米， 地面铺设运动地胶价格：（元）， 墙面安装防护软包价格：（元）， ∴元，其中. 【小问3详解】 由题意，（1）及（2）得，， 在中， （元） 当且仅当即时等号成立， ∴当米时总造价最低，最低总造价为72000元. 18. 已知幂函数（为正整数）的图象经过点． （1）求的值； （2）设，若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）设，，且． ①求证：，并指出等号成立的条件； ②设（），判断是否对一切都成立；若成立，请证明；若不成立，请举出一组反例． 【答案】（1） （2） （3）①由，则，， 要证，即证， 即证，即， 不妨设，则，即证， 即证，即证，即证，即证， 由，故，故，即得证， 当且仅当或时等号成立； ②不成立，反例可举：、. 【解析】 【分析】（1）借助幂函数定义与所过点计算即可得； （2）由题意可得对任意恒成立，借助二次函数性质计算即可得； （3）①要证原不等式，等价于证明，不妨设，即证明，显然成立；②原不等式等价于，可举出反例、，可得该不等式不成立. 【小问1详解】 由题意可得， 解得或， 即，又过点，即有，故，即； 【小问2详解】 由题意可得对任意恒成立， 又，故； 【小问3详解】 ①略 ②，， 则等价于， 由，故，即等价于， 该不等式不是对一切都成立， 反例：取、，此时，， 故该不等式不成立，反例可举：、. 19. 若集合满足：中任意两个不同元素之和都不等于，则称为“相容集”． （1）判断集合与是否为相容集，并说明理由； （2）求相容集中元素个数的最大值，并说明理由； （3）求元素个数取得最大值的相容集的个数 【答案】（1）集合是相容集，集合不是相容集． （2） （3） 【解析】 【分析】（）根据相容集的定义求解； （）将集合中的元素按和为配对，计算相容集中元素个数的最大值； （）将元素个数取得最大值的相容集进行列举求解． 【小问1详解】 集合是相容集，集合不是相容集． 集合中任意两个不同元素的和最大为， 不存在任意两个不同元素的和为，符合相容集定义， 集合中，存在两个不同元素的和为，不符合相容集的定义． 【小问2详解】 将按和为配对得，，，，共组， 同一组内两个元素不能同时出现在相容集中，因此每组最多选个元素，最多可选个元素， 且集合是满足条件的相容集，故最大值为． 【小问3详解】 由（）知相容集中元素个数的最大值为， 要达到个元素，前组每组恰好选个，并且必须选，每组种选择， 选或；选或；选或；选或， 所以共个． 20. 设，，，记，，，． （1）对任意实数，，证明：与中的较大者等于，较小者等于； （2）证明：，并由此证明、、、中至少有一个不小于； （3）若、、、都不超过，求的最大值，并写出取到最大值时的所有可能取值． 【答案】（1）证明：，， 若，则，即， 此时， 即，即与中的较大者等于， ， 即，即与中的较小者等于； 若，则，即， 此时， 即，即与中的较大者等于， ， 即，即与中的较小者等于； 综上可得：与中的较大者等于，较小者等于； （2）证明：， ， 则 ； 设、、、中最大值为， 则、、、， 即有，即， 故，故、、、中至少有一个不小于； （3）最大值为，的所有可能情况有：、、、、、 【解析】 【分析】（1），，则与的大小由的正负决定，分、讨论并计算即可得解； （2）计算即可证；设、、、中最大值为，可得，即有，即可得证； （3）由题意可得、、、，即有，即可得；计算可得，，，则有，再分与讨论即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得、、、，故， 即有，故， 当且仅当时等号成立； 即的最大值为； 由，，可得，； 由，，可得，； 由，，可得，； 故，，， 则，即， 由、、、，故， 又，故； 若， 则或或； 若， 则，，， 若， 则，，， 若， 则，，； 若， 则或或； 若， 则，，， 若， 则，，， 若， 则，，； 综上可得：的所有可能取值有、、、、 、. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海实验学校高一期中数学试卷 一．填空题 1. 计算：__________________ 2. 已知幂函数（为正整数）的图像关于轴对称，且在上为严格减函数，则_________________ 3. 已知集合，，则__________________ 4. 要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________． 5. 若正实数a、b、c均不为1，满足，且，则的值为________. 6. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________ 7. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________________ 8. 在今年的读书节活动中，全校师生、家长与退休教师共捐赠图书册，若每一册书至少由教师、家长、学生中的一方捐赠，且同一册书可由多方重复捐赠，其中由教师捐赠的有册，由家长捐赠的有册，由学生捐赠的有册；既有教师又有家长捐赠的有册，既有家长又有学生捐赠的有册，既有教师又有学生捐赠的有册，则同时由教师、家长、学生三方捐赠的图书共有__________________册. 9. 已知，则实数的取值范围是_______. 10. 已知正数满足，则的最小值为________. 二．选择题 11. 已知，则“”是“关于的不等式的解集为”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 12. 植树节“绿色交换”活动中，只要集齐斤废纸、个塑料瓶或本旧书中的任意一项，即可兑换一盆多肉植物．关于某班的收集情况，有下列四个命题： ①“若该班集齐了斤废纸，则该班能兑换到多肉植物”的逆否命题是“若该班没有兑换到多肉植物，则该班没有集齐斤废纸”； ②“该班集齐了斤废纸”是“该班能兑换到多肉植物”的必要条件； ③若该班集齐了个塑料瓶，则该班一定能兑换到多肉植物； ④若该班能兑换到多肉植物，则该班一定集齐了斤废纸． 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①③ 13. 设，是幂函数，已知命题：若的图象关于轴对称，则在上是严格增函数；命题：若在上单调递增，则的图象一定经过第一象限．下列判断正确的是（ ） A. 真，真 B. 真，假 C. 假，真 D. 假，假 14. 设，为的子集，为的子集，那么（ ） A. B. C. D. 三．解答题 15. 已知集合，． （1）当时，求与； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知，记关于的不等式的解集为． （1）当时，求； （2）若非空，求的取值范围，并用表示； （3）若，且的长度不超过，求的取值范围． 17. 为落实“学生每天综合体育活动不少于小时”的要求，学校拟把体育馆内一间面积为平方米的矩形房间改建成“运动角”，房间墙面高米．运动区地面铺设运动地胶，每平方米造价元；四周墙面安装防护软包，每平方米造价元． （1）设该矩形房间的一边长为米，求房间周长（米）关于的表达式，并写出的取值范围； （2）求改建总造价（元）关于的表达式（门窗面积忽略不计）； （3）当为何值时总造价最低？最低总造价为多少元？ 18. 已知幂函数（为正整数）的图象经过点． （1）求的值； （2）设，若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）设，，且． ①求证：，并指出等号成立的条件； ②设（），判断是否对一切都成立；若成立，请证明；若不成立，请举出一组反例． 19. 若集合满足：中任意两个不同元素之和都不等于，则称为“相容集”． （1）判断集合与是否为相容集，并说明理由； （2）求相容集中元素个数的最大值，并说明理由； （3）求元素个数取得最大值的相容集的个数 20. 设，，，记，，，． （1）对任意实数，，证明：与中的较大者等于，较小者等于； （2）证明：，并由此证明、、、中至少有一个不小于； （3）若、、、都不超过，求的最大值，并写出取到最大值时的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $