精品解析：天津市双菱中学2026-2027学年高二上学期期中质量检测数学试题

双菱中学2026~2027学年度高二年级期中数学质量检测 一、单选题：本题共9小题，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为. 由，得； 则，又因,则. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 3. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 4. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 5. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 6. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点关于直线对称、两点间距离的问题，利用数形结合，将函数转化为轴上动点到两定点距离之和，借助将军饮马模型求距离和最小值。 【详解】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知 ， 即的最小值为． 7. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 9. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即. 当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为. 故所求直线方程为或. 故答案为：或. 11. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解。 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 所以圆心到直线的距离为， 解得直线的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 故答案为：或． 12. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率. 【详解】如图， 由，得又得是三角形的中位线，即 由,得则,得， 又与都是渐近线，得又，得 又渐近线的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点式求直线的方程； （2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程； （3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程. 【小问1详解】 因为直线经过和两点， 由两点式得的方程为，即 【小问2详解】 ，，为的中点， 点的坐标为， 又边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即 . 【小问3详解】 的斜率，则的垂直平分线的斜率， 由斜截式得直线的方程为，即． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. （1）求证：⊥平面； （2）求二面角余弦值的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明：建立如图所示的直角坐标系， 则、、． 在中，，， ∴． ∴、， ∴，，， ∵，， 即，， 又，平面， ∴⊥平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证； （2）（3）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则，即，故平面的法向量可取为， ∵平面， ∴为平面的一个法向量． 设二面角的大小为，由图易得为锐角， 依题意可得，即二面角余弦值为． 【小问3详解】 由（1）得，， 设平面的法向量为，则， ∴，故可取为． ∵， ∴到平面的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． 【小问1详解】 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设直线l：，设，， 则，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 19. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥底面ABCD，且. （1）求AC与PB所成的角的余弦值； （2）证明：平面⊥平面； （3）设M是PB上一点，且直线与平面夹角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） （2）证明：因为PA⊥底面ABCD， 底面ABCD，所以， 因为，，所以, 因为,平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. （3） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用向量夹角公式求解即可； （2）利用线线垂直证明线面垂直，结合平面与平面垂直的判定定理可证； （3）求出平面的法向量，利用线面角的向量表示可得答案. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ,, ，所以AC与PB所成的角的余弦值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知; , 设平面的一个法向量为，,即， 令，可得， 设，则， , 因为直线与平面夹角的正弦值为， 所以,解得, 即. 20. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． 【小问1详解】 由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线交于，两点，点在椭圆内， ①若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线的方程为， 联立，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ②当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双菱中学2026~2027学年度高二年级期中数学质量检测 一、单选题：本题共9小题，共27分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（ ） A. B. C. 7 D. 7. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 9. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 11. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 12. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为______. 13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 15. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，,则C的离心率为____________． 三、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. （1）求证：⊥平面； （2）求二面角余弦值的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 19. 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，，，PA⊥底面ABCD，且. （1）求AC与PB所成的角的余弦值； （2）证明：平面⊥平面； （3）设M是PB上一点，且直线与平面夹角的正弦值为，求的值. 20. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $