精品解析：天津市红桥区2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程化为斜截式，可求出直线的斜率，从而可求直线的倾斜角. 【详解】化为， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又因为，所以， 故选：B 2. 若时，方程表示的曲线为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线 【答案】A 【解析】 【详解】因为,所以,. 方程两边同除以,得. 其中,,即两个分母均为正数; 又当时(二者相等需),两个分母不相等, 所以该方程表示的曲线为椭圆. 3. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【详解】两条直线与平行（不重合）的必要条件为,于是. 整理得,分解得,所以或.下面验证两直线不重合. 当时,,,两直线平行且不重合. 当时,,,两直线平行且不重合. 所以的值为或. 4. 若直线与圆交于、两点，则弦长（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将圆的方程化为标准方程，得， 所以圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 5. 若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，进而根据离心率求出k，而后得到b,最后求出答案. 【详解】由题意，，则，双曲线的离心率，所以，，即虚轴长为8. 故选：B. 6. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，可求得，以及，求出、的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知， 由于是等边三角形，则，所以， 由题意可得，解得， 因此该双曲线的标准方程为. 故选：C 7. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点斜式写出直线的方程，与抛物线联立方程组，求得两点，再结合焦点坐标，得向量坐标，应用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】根据题意，过点且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立，消元整理得：. 解得，又， 所以， 从而可以求得. 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两点坐标得到，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可. 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，则. 点P在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离. 故点P到直线的距离的范围为. 则. 【点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 9. 如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由点到双曲线右焦点的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是，故点到轴的距离是． 10. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. 2 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的对称性可得在直线上，故求解，进而根据勾股定理即可求解. 【详解】的圆心为，根据对称可知在直线上，故，所以， 故，. 11. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值． 解答：解：由题设知知线段AB的中点到准线的距离为4， 设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2， 由抛物线的定义知： |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8． 故选C． 12. 设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得点为靠近的三等分点，故设，得到，再根据焦半径公式得，再将点的坐标代入抛物线方程即可求得. 【详解】由题知抛物线的焦点，准线为， 设，由可知点为靠近的三等分点， 所以， 因为点到抛物线准线的距离为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，， 将点代入抛物线方程得，解得， 所以点的纵坐标为. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 已知直线与直线相互垂直，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，即， 整理得，即，解得. 14. 圆心为点，且过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】圆心为点，且过点,故圆的半径为， 故圆的标准方程为. 15. 椭圆上一点到其两个焦点，的距离之和为20，则椭圆的离心率__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】结合椭圆的定义与基本参数的几何意义，求出长半轴长和半焦距，代入离心率公式计算即可. 【详解】根据椭圆的定义，椭圆的长轴长为20，因此长半轴长， 由两焦点坐标可知，椭圆的半焦距，所以椭圆的离心率. 16. 圆在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求过圆心和点P的直线斜率，然后可得切线斜率，再由点斜式可得. 【详解】圆心为，，所以切线斜率为， 所以直线方程为，即 故答案为： 17. 过点的直线与圆交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断点与圆的位置关系，再分析出当直线过圆心时，弦最大，然后根据直线方程的两点式求解即可. 【详解】将圆化为标准方程为，可知圆心坐标，半径. 因为点与圆心的距离，所以点在圆外， 要使过点的直线被圆所截得的弦取最大值，则直线必过圆心. 所以直线的方程为 ，即. 18. 过双曲线（，）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，另一个焦点为， 设l与垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 由双曲线和渐近线的对称性可知：， 所以有，因此， 故答案为：2 19. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 20. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，求出的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答案； 【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为， 从而得到，所以直线的倾斜角为或， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立，求得，， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角、双曲线渐近线方程、两点间的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 圆经过点和. （1）若圆的面积最小，求圆的方程； （2）若圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）根据当为圆的直径时，圆的面积最小，于此可求出圆心（即线段的中点）坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程； （2）解法1：求出线段的中垂线方程，将该中垂线方程与直线得出圆心的坐标，根据两点间的公式计算圆心到点（或点）的距离作为半径，于此可得出圆的方程； 解法2：设所求圆的标准方程为，将点、的坐标代入圆的方程得出两个等式，将圆心坐标代入直线，得出第三个等式，联立方程组解出、、的值，于是可得出所求圆的方程． 【小问1详解】 要使圆的面积最小，则为圆的直径，则圆心为线段的中点， 圆的半径为， 因此，所求圆的方程为； 【小问2详解】 解法1：因为，线段中点为， 所以中垂线方程为，即， 解方程组，得， 所以圆心为，根据两点间的距离公式，得半径， 因此，所求的圆的方程为； 解法2：所求圆的方程为， 根据已知条得，得， 因此，所求圆的方程为. 22. 已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为1的直线交双曲线于、两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）先由椭圆的长轴端点确定双曲线的半焦距，结合渐近线方程求解双曲线的基本参数得到标准方程； （2）再设斜率为1的直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理结合中点横坐标求解直线截距，得到直线方程. 【小问1详解】 椭圆的长轴位于轴上，长半轴长为3，因此长轴两端点坐标为. 由题意，该两点为双曲线的焦点，故双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为（）， 由，所以. 由双曲线的渐近线方程为，且，渐近线方程为，因此，即. 将代入，得，即，解得.. 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设斜率为1的直线的方程为，设直线与双曲线的交点为、. 联立得方程组： 消去并整理得：. . 所以.由中点坐标公式，线段的中点横坐标为.又中点横坐标为，可得： . 将代入，得，解得. 因此直线的方程为，整理为一般式为. 23. 已知椭圆（）的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同两点、，与圆相切于点．证明：（为坐标原点） 【答案】（1） （2）因为直线与相切，所以圆心到直线的距离，即； 联立，消去得，且成立， 设， 则， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列关于的方程组，解方程组求即可得到椭圆的方程； （2）根据直线与圆相切得到，再将直线与椭圆联立消元得到韦达定理，利用韦达定理得到即可证得结论. 【小问1详解】 依题意，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 24. 已知椭圆（）的离心率为，短轴为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于、两个不同点，为坐标原点，求：的面积． 【答案】（1） 椭圆的标准方程为 （2） 的面积为 【解析】 【分析】（1）结合椭圆的短轴长、离心率，利用椭圆中的基本关系求解标准方程； （2）先求出过右焦点的直线方程，与椭圆联立后借助韦达定理计算纵坐标差的绝对值，结合三角形面积公式求解的面积. 【小问1详解】 由题短轴长为，因此，即. 已知椭圆离心率，故.  根据椭圆中的关系，将、代入得： ， 整理得，解得. 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）的结果，椭圆的右焦点坐标为. 直线的倾斜角为，故斜率，由点斜式可得直线的方程为. 联立直线与椭圆的方程：， 消去并整理得： . .  设交点、，由韦达定理可得，. 由于，，因此纵坐标差的绝对值为： . 其中，代入得. 因此面积为： . 25. 已知椭圆（）经过点，离心率为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线（）与椭圆交于、两点，与以为直径的圆交于、两点，且满足，求直线的方程． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率，点和，求出，，得到椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，由弦长公式求出，由垂径定理可得，从而得到方程，求出，得到直线方程 【小问1详解】 由题意得，，又，解得，， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 联立与得， ，又，解得， 设，则， 故， 以为直径的圆的方程为， 则原点到直线距离为， 故， 因为，所以， 又，解得， 直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12题，每小题3分，共36分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若时，方程表示的曲线为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线 3. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 4. 若直线与圆交于、两点，则弦长（ ） A. 3 B. C. D. 5. 若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 6. 已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 A. B. C. D. 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（　　） A. B. C. D. 10. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. 2 B. 7 C. D. 11. 过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 12. 设抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 13. 已知直线与直线相互垂直，则实数__________． 14. 圆心为点，且过点的圆的标准方程为__________． 15. 椭圆上一点到其两个焦点，的距离之和为20，则椭圆的离心率__________． 16. 圆在点处的切线方程为________． 17. 过点的直线与圆交于，两点，当弦取最大值时，直线的方程为__________． 18. 过双曲线（，）的一个焦点F作一条渐近线的垂线l，垂足为点A，垂线l与另一条渐近线相交于点B.若A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为__________. 19. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 20. 已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若为直角三角形，则______. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 圆经过点和. （1）若圆的面积最小，求圆的方程； （2）若圆心在直线上，求圆的方程. 22. 已知椭圆的长轴两端点为双曲线的焦点，且双曲线的渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为1的直线交双曲线于、两点，线段的中点的横坐标为，求直线的方程． 23. 已知椭圆（）的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同两点、，与圆相切于点．证明：（为坐标原点） 24. 已知椭圆（）的离心率为，短轴为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于、两个不同点，为坐标原点，求：的面积． 25. 已知椭圆（）经过点，离心率为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线（）与椭圆交于、两点，与以为直径的圆交于、两点，且满足，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $