精品解析：天津市嘉诚中学2024-2025学年高二上学期期中数学试题

天津市嘉诚中学2024-2025学年度期中质量调查 高二年级 数学学科 （考试时长：100分钟 总分：100分） 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 已知直线，与平行，则的值是（　　） A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D. 2. “”是“椭圆离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆，则，则圆M与圆N的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A 13 B. 12 C. 9 D. 6 8. 若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+m＝0的距离为，则m的取值范围是（　　） A B. C. [﹣2，2] D. （﹣2，2） 9. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A B. 3 C. D. 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________. 11. 过点与圆相切的直线方程为____________． 12. 若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________. 13. 已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为__________. 14. 直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________. 15. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为______． 三、解答题（本大题共4小题，共49分） 16. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点， （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 18. 已知椭圆C：（a>b>0)， 直线经过椭圆的上顶点和右焦点. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A， B两点.若的面积为，求直线l的方程. 19. 已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， （1）若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； （2）若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市嘉诚中学2024-2025学年度期中质量调查 高二年级 数学学科 （考试时长：100分钟 总分：100分） 一、单选题（每小题3分，共27分） 1. 已知直线，与平行，则的值是（　　） A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得：或，故选C. 考点：直线平行的充要条件． 2. “”是“椭圆离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析】 椭圆离心率为，可得：时，，或时，，解得m即可判断出结论． 【详解】椭圆离心率为，可得： 时，，； 时，， 总之或．“”是“椭圆离心率为”的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知圆，则，则圆M与圆N的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆圆心之间的距离，与半径之和、半径之差作比较可得出答案. 【详解】圆，即表示以为圆心，半径等于2的圆，圆，表示以为圆心，半径等于1的圆， 两圆圆心的距离等于，小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差的绝对值，故两圆相交，圆M与圆N的公切线条数为2， 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查公切线的条数. 4. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 5. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】如图所示：，， 由椭圆定义得.① 在中，.② 由①②得，则， 所以椭圆C的方程为. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解. 6. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断点在椭圆内，再借助“点差法”求出这条弦所在直线的斜率即可计算作答. 【详解】依题意，点在椭圆内，设这条弦的两个端点， 由得：，又， 于是得弦AB所在直线斜率，方程为：，即， 所以这条弦所在的直线方程是. 故选：B 7. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 8. 若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+m＝0的距离为，则m的取值范围是（　　） A. B. C. [﹣2，2] D. （﹣2，2） 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果. 【详解】因为圆，所以， 因为圆上至少有三个不同点到直线的距离为，所以圆心到直线距离不大于，即，选C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．判断出圆心到直线的距离满足的条件，列出不等式是解题的关键. 9. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据焦点在轴或轴上分类讨论． 【详解】焦点在轴时，，，长轴长为, 焦点在轴时，，，长轴长为, 故答案为：或． 11. 过点与圆相切的直线方程为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线的斜率是否存在，结合直线与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 12. 若椭圆C：的右焦点为F，且与直线l：交于P，Q两点，则的周长为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可． 【详解】 由题得椭圆的左焦点， 所以直线经过左焦点， 的周长， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题. 13. 已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形勾股定理，结合双曲线的定义可得解. 【详解】由已知，分别为双曲线， 设，， 又，，， 则， 则，即，， 又，即， 所以， 则双曲线方程为，其渐近线方程为， 故答案为：. 14. 直线与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程可知直线恒过点，画出图象，先求出切线时，利用圆心到直线距离为半径可求出，再结合图形求出当直线经过点，时，实数的取值，即可的的取值范围． 【详解】解：如图， 由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方， 直线恒过点， 因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得，解得， 由图，当直线经过点时，直线的斜率为， 当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上，实数的取值范围是，或， 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题 15. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，利用已知条件，结合梯形中位线性质得b＝3，再利用a,b,c关系列出方程组转化求解即可． 【详解】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y，即bx﹣ay＝0，F（c，0）， AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形， F是AB的中点，EF3， EFb， 所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得， 可得：，解得a． 则双曲线的方程为：1． 故答案为 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，注意梯形中位线的应用，考查计算能力． 三、解答题（本大题共4小题，共49分） 16. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解， （2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解. 【小问1详解】 由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； 【小问2详解】 若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 17. 已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点， （1）求圆的方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）设点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）或 （3）． 【解析】 【分析】(1)先设出圆心，再根据圆的圆心在直线上且与轴切于点建立方程即可求解. (2)先讨论斜率存在，设出直线方程，根据弦长公式建立方程，求出斜率;再讨论斜率不存在时，求出直线方程，验证是否存在即可. (3)先设点的坐标为，根据相关点法即可求出的轨迹方程. 【小问1详解】 圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则， 解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 点，直线过点， 设直线的斜率为存在）则方程为， 又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距， 故，解得， 所以直线方程为， 即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. 【小问3详解】 设点的坐标为，点的坐标为，． 由于，且为的中点， ， 于是有①， 在圆上运动， ， 将①代入上式得， 即点轨迹方程为． 18. 已知椭圆C：（a>b>0)， 直线经过椭圆的上顶点和右焦点. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A， B两点.若的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或或或. 【解析】 【分析】 （1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出、的值，进而可求出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、 ，于是得出的面积为，将直线 的方程与椭圆的方程联立，将韦达定理代入的面积表达式可求出的值，从而可得出直线的方程． 【详解】（1）由，令可得 ；令可得； 因为直线经过椭圆的上顶点和右焦点， 所以半焦距为，短半轴长为，因此， 所以，椭圆的方程为； （2）由（1）可得， 设过的直线方程为， 由消去 ，整理得， 显然. 设，，则 ，， 从而. 所以，解得 或 所以直线的方程为或， 或. 【点睛】思路点睛： 求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可. 19. 已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点， （1）若为的中点，为坐标原点，，求实数的值； （2）若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析；定点坐标 【解析】 【分析】（1）直曲联立表示出韦达定理，再由中点坐标公式求出，最后结合两点间距离公式求出即可； （2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，由斜率关系求出；当直线的斜率存在时，直曲联立表示出韦达定理，再由斜率的定义结合化简得到和的关系，然后再求出直线所过定点即可； 【小问1详解】 当时，， 设， ，消去可得， ， ， 由中点坐标公式可得，， 又，解得，符合题意； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则， 因为点为椭圆上顶点，所以， 所以，则， 所以， 当直线的斜率存在时，直线方程为， 联立椭圆方程，消去可得， ， ， 则， 将韦达定理代入上式并化简可得， 即，舍，所以， 所以直线，此时直线过定点， 综合以上可知直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $