精品解析：江苏省苏州市景范中学校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

苏州市景范中学2026-2027学年第一学期 初三数学期中考试试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一组数据：6，7，7，8，12，它们的众数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数的求解．众数是一组数据中出现次数最多的数值．根据定义即可求解． 【详解】解：∵7出现了两次， ∴该组数据的众数为7 故选：B 2. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】锐角三角函数的定义． 【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A． 3. 下列不是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项、C选项、D选项（其中）均符合反比例函数形式，是反比例函数； B选项是正比例函数，不是反比例函数． 4. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：令，则， ∴ 该二次函数图象与轴的交点坐标为． 5. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与不等式． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围得到不等式的解集，即可解答． 【详解】∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与x轴的另一交点坐标为， ∵由图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 故选：C 6. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ） 同学 甲 乙 丙 放出风筝线长 线与地面交角 A. 甲的最高 B. 丙的最高 C. 乙的最高 D. 丙的最低 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，，再分别比较即可． 【详解】解：根据题意，三人风筝的高度分别为，，， 化简得，， ∵ ， ∴ ，即， ∵ ，，， ∴ ，即， ∴ 乙的风筝最高． 7. 如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长BD交AC于点E，先证明，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，得用勾股定理求出CD，最后求出的正切． 【详解】解：延长BD交AC于点E，如图， ∵DC平分，于点D， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴BD=ED=1， ∵， ∴AE=BE=2， ∵AC=7 ∴CE=AC-AE=5， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定是解决本题的关键． 8. 如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，其对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，，的坐标，证明为等腰直角三角形，利用平行线性质得出 ，结合已知条件得到，通过构造全等三角形和角平分线性质建立关于的方程求解． 【详解】解：在中， 当时， ， 解得， ， 点在点的左侧，且， ， ， 当时， ， ， ，， ， ， ， 对称轴为直线，为对称轴与轴交点， 轴， 轴轴， 轴，即， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 二次函数图象的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式直接得出对称轴． 【详解】解：二次函数图象的对称轴是． 10. 已知一列数据：149，150，153，154，156，157，163，168，170，170，171，172，则该列数据的第二四分位数为______． 【答案】160 【解析】 【分析】数据已经从小到大排好，第二四分位数就是分位数，也就是中位数，总数为偶数，取中间两个数的平均数． 【详解】解法一： 数据已经从小到大排序：149，150，153，154，156，157，163，168，170，170，171，172， 数据总数 ， 第二四分位数是分位数， 位置：，取第项、第项的平均数， ， 第二四分位数为160； 解法二： 第二四分位数就是中位数， 一共有12个数据，为偶数个， 中位数等于排序后第个和第个数据的平均数， ， 第二四分位数为160． 11. 有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲、乙两组数据的方差分别为，，则______（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解：=×（11+12+13+14+15）=13， s甲2= [（11-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（15-13）2]=2， =×（12+12+13+14+14）=13， s乙2= [（12-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（14-13）2]=0.8， ∵2＞0.8， ∴s甲2＞s乙2； 故答案为：＞． 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 12. 如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时（指向边界则重转次），指针指向小于的数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，先统计出全部情况的总数；再统计出小于的情况数，代入概率公式即可求解，解题的关键是根据题意统计出事件发生的情况数． 【详解】∵共个数，小于的有个， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 14. 如图，在中，，，，为中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干条件 ，，， 为中点，可知；要求，需构造直角三角形，过点作 于点，利用相似三角形性质求出和的长，进而求出，最后根据正切定义求解． 【详解】解：过点 作 于点 ． 在 中，，， ， ． 为 中点 ， ． ， ． ． 又 ， ． ． ． ，． ． 在 中，． 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为三倍点，若二次函数（c为常数）在的范围内的图象上存在两个三倍点，则c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据“三倍点”的定义，纵坐标是横坐标的3倍，因此所有三倍点都在直线上． ∵二次函数在的范围内的图象上存在两个三倍点 ∴二次函数与直线在的范围内有两个不同的交点 联立两个函数的解析式，令 整理得一元二次方程 设该方程对应的二次函数为，函数开口向上，对称轴为直线，且在内． 要使方程在内有两个不相等的实数根，需满足以下条件： 1．判别式大于0，保证存在两个不相等的实根 解得 2．左端点处的函数值大于0，保证左侧的根在的右侧 此时 解得 3．右端点处的函数值大于0，保证右侧的根在的左侧 此时 解得 综上可得的取值范围为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的交点与坐标原点重合，点E是y轴上一点，连接，若平分，反比例函数的图象经过A、F、C三点，且F为中点，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形性质和角平分线证得，利用平行线间距离相等得出；结合为中点及反比例函数性质，建立面积与的关系式求解即可． 【详解】解：四边形是矩形      平分      ，即    为中点，      设，则  ∵点在y轴上，设  为中点    点在反比例函数图象上                ， ∵函数图象过二四象限， ∴  ． 三、解答题（本大题共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 某中学准备从九年级唱功最好的甲、乙两位同学中选出一位参加市电视台举办的“庆六一”晚会，为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位同学的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 众数 甲 8.8 a 8和9 乙 8.8 9 b 根据以上信息，解决下列问题： （1）表格中的______，______； （2）若演唱比赛规定：在所有评委给出分数后，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，请你通过计算说明选谁更合适． 【答案】（1），； （2）选乙参加比赛更合适． 【解析】 【分析】（1）从折线图与条形图中分别读出甲、乙的5个得分，排序求中位数、找出现次数最多的众数． （2）按规则去掉一个最高分和一个最低分，分别计算甲、乙剩余3个分数的平均分，比较大小后作决策． 【小问1详解】 解：由甲得分折线统计图可知，甲的5个得分为8，10，8，9，9， 排序为8，8，9，9，10， ∴中位数， 且平均数为，众数为8和9，与统计表一致， 由乙得分条形统计图可知，乙的5个得分为7，9，9，10，9， 平均数为，中位数为9，与统计表一致， 其中9出现了3次，出现次数最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：甲：去掉一个最高分10和一个最低分8， 剩余的3个得分为9，9，8， 剩余分数的平均分为， 乙：去掉一个最高分10和一个最低分7， 剩余的3个得分为9，9，9， 剩余分数的平均分为， ∵， ∴乙剩余分数的平均分大于甲剩余分数的平均分， ∴选乙参加比赛更合适． 19. 九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 乙 甲 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 20. 如图，在中，于点，，，，求： （1）的长； （2）的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴． 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）这个二次函数的顶点坐标为______； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）结合列表，请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】()根据抛物线的对称性求得对称轴，进一步即可求得顶点坐标； ()根据表格数据即可求解； ()根据表格中的数据，可以得到二次函数图象过点，，进而即可求得不等式 的解集； 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 由抛物线的对称性得，对称轴为直线 ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵时，，时，， ∴当时，的取值范围是 ； 【小问3详解】 由表格可得，当时，函数有最小值， ∴抛物线开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象过点，， ∴关于的不等式的解集为． 22. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D． （1）求a的值及反比例函数的表达式； （2）当直线在A点右侧，且时，求的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）把代入即得，用待定系数法可得反比例函数解析式为； （2）设，则，，根据，得，故的面积为． 【小问1详解】 解：把代入得： ，解得， ， 把代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由在直线上，设，则，， ， ， 解得，（，舍去）， ，， 的面积为． 23. 图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到米） 参考数据：，，，，， 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用， （1）过作于，根据正弦的定义计算，得到答案； （2）根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可； 熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：过作于， 根据题意，得：，， 在中，， ∴（米）． 答：真空管上端到水平线的距离约为米； 【小问2详解】 在中， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与AB，CB交于点和点E，且D为AB的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式，的解集； （3）x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 【答案】（1），； （2）； （3）存在，点的坐标为、、、． 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得轴、轴，由及为中点定出、、，再用待定系数法求反比例函数解析式，令求点． （2）由两交点、的横坐标，结合图象判断一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，直接写出解集． （3）设，先用两点间距离公式求，再按等腰三角形分三类：、、，列方程求，注意检验共线的情况要舍去． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，点、分别在轴、轴上， ∴轴，轴， ∵点在上， ∴， 设， ∵为的中点， ∴，解得， ∴， ∴，所在直线的解析式为， 设反比例函数的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以这个反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴． 【小问2详解】 解：， 由（1）知两个交点分别为、， 观察图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 设点的坐标为， ∵，， ∴， 分三种情况讨论， ①若， ∴， ∴， ∴， ∴； ②若， ∴， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 令得，， ∴当时，点恰好在直线上，此时、、三点共线，不能构成三角形，舍去， ∴； ③若， ∴， ∴或， ∴或，均符合题意， 综上所述，轴上存在满足条件的点，其坐标为、、、． 25. 如图，二次函数图像与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，其中点B位于x轴的正半轴． （1）______（用含c的代数式表示）； （2）若的面积为6，点P，Q为二次函数图像上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． ①求该二次函数的表达式； ②若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）① ； ② 是定值，定值为2． 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解． （2）①当时，可求出，由三角形的面积列出关于的方程，即可求解． ②由、都在点右侧的轴上，则，故条件与例题中同构，同法：过作轴，作关于的对称点，可得，从而、、三点共线，用待定系数法求出直线的解析式并联立抛物线，可求点的坐标，再用待定系数法求出直线、的解析式，得、的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ∴． 【小问2详解】 ①解：当时，， ∵， ∴， 因式分解得， 解得，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 所以这个二次函数的解析式为． ②解：是定值，理由如下， 如图，过作轴，作关于的对称点，连接、， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴射线与射线重合，即、、三点共线， ∵点的横坐标为， ∴， ∵与关于直线（即直线）对称， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， 故的定值为2． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点E，M为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M，N为顶点的四边形是以为对角线的矩形，请直接写出N点坐标：______． 【答案】（1）； （2）存在，； （3）点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）已知顶点，设顶点式，用待定系数法代入点求，即可求解． （2）先求出、直线的解析式、点，过作轴交对称轴于点，过作轴交直线于点，设，由铅垂法分别表示与，由建立方程求解，注意的取值范围检验． （3）由折叠得为等腰直角三角形，确定；以为对角线的矩形中，设，用勾股定理建立方程求，再由矩形对角线互相平分求出． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入， 可得， 解得， 所以这个抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：存在，理由如下， 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得，解得， 所以直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴对称轴为直线， 把代入得，， ∴， ∵顶点， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点， 如图所示， 设点的坐标为， 则，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）知，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，连接、， 则，， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴，即， ∵点在轴上， ∴轴，即与等高， 把代入得， ， 解得（即点），， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是以、、、为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵矩形的对角线互相平分， ∴线段的中点与线段的中点重合， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市景范中学2026-2027学年第一学期 初三数学期中考试试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一组数据：6，7，7，8，12，它们的众数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 12 2. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 3. 下列不是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（ ） 同学 甲 乙 丙 放出风筝线长 线与地面交角 A. 甲的最高 B. 丙的最高 C. 乙的最高 D. 丙的最低 7. 如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 8. 如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，其对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 二次函数图象的对称轴是直线______． 10. 已知一列数据：149，150，153，154，156，157，163，168，170，170，171，172，则该列数据的第二四分位数为______． 11. 有甲、乙两组数据，如下表所示： 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲、乙两组数据的方差分别为，，则______（填“＞”，“＜”或“＝”） 12. 如图，转盘中个扇形的面积都相等，任意转动转盘次，当转盘停止转动时（指向边界则重转次），指针指向小于的数的概率是______． 13. 如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则______． 14. 如图，在中，，，，为中点，则______． 15. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为三倍点，若二次函数（c为常数）在的范围内的图象上存在两个三倍点，则c的取值范围是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的交点与坐标原点重合，点E是y轴上一点，连接，若平分，反比例函数的图象经过A、F、C三点，且F为中点，，则k的值为______． 三、解答题（本大题共82分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某中学准备从九年级唱功最好的甲、乙两位同学中选出一位参加市电视台举办的“庆六一”晚会，为此邀请五位评委进行现场打分，将甲、乙两位同学的得分数据整理成下列统计图与统计表． 平均数 中位数 众数 甲 8.8 a 8和9 乙 8.8 9 b 根据以上信息，解决下列问题： （1）表格中的______，______； （2）若演唱比赛规定：在所有评委给出分数后，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，请你通过计算说明选谁更合适． 19. 九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 20. 如图，在中，于点，，，，求： （1）的长； （2）的值． 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … … … … （1）这个二次函数的顶点坐标为______； （2）当时，请直接写出的取值范围； （3）结合列表，请直接写出关于的不等式的解集． 22. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D． （1）求a的值及反比例函数的表达式； （2）当直线在A点右侧，且时，求的面积． 23. 图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米． （1）真空管上端到水平线的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管的长度．（结果精确到米） 参考数据：，，，，， 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与AB，CB交于点和点E，且D为AB的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式，的解集； （3）x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由． 25. 如图，二次函数图像与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，其中点B位于x轴的正半轴． （1）______（用含c的代数式表示）； （2）若的面积为6，点P，Q为二次函数图像上的两点，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，直线，分别与y轴交于点M，N． ①求该二次函数的表达式； ②若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点H． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点E，M为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点N，使得以B、E、M，N为顶点的四边形是以为对角线的矩形，请直接写出N点坐标：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $