精品解析：江苏省苏州市姑苏区三校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年江苏省苏州市姑苏区三校九年级（上）期中 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】中位数：， 众数：7 故选：C． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得． 【详解】解：， 其中：，，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线． 3. 在6张相同的卡片上分别写有数，将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率，根据事件的概率等于所求事件数与总情况数之比即可求解． 【详解】解：由题可知：，中奇数有共3个， 抽到卡片上的数是奇数的概率为， 故选：B． 4. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 5. 在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ） A. 3 B. 4或6 C. 2或3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 6. 如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，，过作于，交于，由切线的性质推出，，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出，求出的面积，判定，推出，即可求出的面积． 关键是判定，推出． 【详解】解：连接，，过作于交于，如图： 两圆的外公切线切于点，切于点， ，， 四边形是矩形， ，， 和的半径分别是和， ，， ，， ， 的面积， 是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故选：C． 7. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了用代数式表示实际意义，根据年平均增长率，先计算2011年和2012年的产量，然后求2012年比2011年的增加量即可，掌握实际问题中各个量的关系是解决此题的关键． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为， ∴ 2011年产量为，2012年产量为， ∴2012年平均每公顷比2011年增加的产量为： ， 故选：C． 8. 如图是二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法： ①； ②； ③； ④，（m为实数）； ⑤当时，， 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，． 【详解】解：①对称轴在轴右侧， 、异号， ，故正确； ②对称轴， ，故正确； ③， ， 当时，， ，故错误； ④根据图示知，当时，有最大值； 即：， 所以为实数），故正确； ⑤如图，当时，不只是大于0，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，则这组数据的平均数为_____． 【答案】86.2 【解析】 【分析】给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．首先根据众数和中位数确定x，y的值，再根据平均数的定义即可求解． 【详解】解：∵一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85， ∴这组数据未知的两个数是81，85， ∴这组数据的平均数为＝86.2． 故答案为：86.2． 【点睛】本题考查了算术平均数、中位数、众数的求法，熟练中位数、平均数的运算方法是解题的关键． 10. 若点，，都在二次函数图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的函数值计算，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求出对应函数值，再比较大小． 将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的，再比较数值大小． 【详解】解：由二次函数， 当时，； 当时，； 当时，． 因为，所以． 故答案为：． 11. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案． 【详解】解：∵甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米， （米），（米）， ∴， ∴两名男生中成绩较稳定的是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 12. 已知，m、n是一元二次方程的两个根，则_________． 【答案】2010 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义得，变形为，然后把题目整体代入计算即可求解． 【详解】解：m、n是一元二次方程的两个根， ， ， ， 故答案为：2010． 13. 如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径画弧，得到阴影部分的扇形，由这个扇形围成的圆锥的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的母线，高和底面圆半径之间的关系，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径是解题的关键． 先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长，求出圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】解：如图， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为r，圆锥的高为h ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 【答案】②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：， ， ， ，故此选项错误； ②由对称知，当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ③当时，；当时，， ，即， ，故此选项错误； ④当时，y的值最大．此时，， 而当时，， ∴， 故，即，故此选项正确．故②④正确． 故答案为：②④． 15. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握． 16. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线向上平移， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得，， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 解方程： （1）； （2）（配方法） ； （3）； （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法解答即可求解； （）利用配方法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； （）移项，利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， 配方得，， 即， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：移项得，， 因式分解得，， 即， ∴或， ∴，． 四、解答题：本题共10小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； （2）证明∶对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），方程的另一根为 （2） 证明：， 因为对于任意实数，， 所以， 所以对于任意的实数，这个方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． （1）设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，，然后解两个方程即可； （2）计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断对于任意实数，这个一元二次方程都有两个不相等的实数根． 【小问1详解】 解：设方程的另一根为， 根据题意得，， 解得，， 即，方程的另一根为； 【小问2详解】 略 19. 端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． （1）该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是__________ ； （2）该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：小玲从这七项活动中随机选择一项，共有种等结果， ∴她选择的是包粽子的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中婷婷选择的是包粽子和做香包的结果有种， ∴婷婷选择的是包粽子和做香包的概率是． 20. 用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）如图①，作出的外接圆； （2）如图②，作出的内切圆； （3）如图③，点是上一点，过点作的切线； （4）如图④，切于点，作出直线，使与相切，且； （5）如图⑤，切于点，作出一条直线，使与相切，且与的夹角中有一个角为． 【答案】（1） 如图： （2） 如图： （3） 如图： （4） 如图： （5） 如图： 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，三角形的外接圆及内切圆，线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； （2）作的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； （3）连接并延长至，使得，作的垂直平分线，则直线即为所求； （4）作直线交于点，过点作直线，则直线即为所求； （5）连接，以点为圆心，为半径作，交于点，以点为圆心，（即）为半径作，交于点，则为等边三角形，所以，连接，过点作直线，交直线于点，则，故直线即为所求． 【小问1详解】 解：作的垂直平分线，交于点，连接，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； 【小问2详解】 解：作的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径作圆，则即为所求； 【小问3详解】 解：连接并延长至，使得，作的垂直平分线，则直线即为所求； 【小问4详解】 解：作直线交于点，过点作直线，则直线即为所求； 【小问5详解】 解：连接，以点为圆心，为半径作，交于点，以点为圆心，（即）为半径作，交于点，则为等边三角形，所以，连接，过点作直线，交直线于点，则，故直线即为所求 21. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：40； 任务2：6； 任务3：①； 任务4：乙园的柑橘品质更优， 理由如下：甲园样本数据的一级率为：， 乙园样本数据的一级率为： ， ∵乙园样本数据的一级率高于甲园样本数据的一级率， ∴乙园的柑橘品质更优． 【解析】 【分析】题目主要考查统计表及频数分布直方图，平均数、中位数及众数的求法，根据图标获取相关信息是解题关键． 任务1：直接根据总数减去各部分的数据即可； 任务2：根据加权平均数的计算方法求解即可； 任务3：根据中位数、众数的定义及样本中的数据求解即可； 任务4：分别计算甲和乙的一级率，比较即可． 【详解】解：任务1：； 任务2：， 乙园样本数据的平均数为6； 任务3：①∵， ∴甲园样本数据的中位数在C组， ∵， ∴乙园样本数据的中位数在C组，故①正确； ②由样本数据频数直方图得，甲园样本数据的众数均在B组，乙园样本数据的众数均在C组，故②错误； ③无法判断两园样本数据的最大数与最小数的差是否相等，故③错误； 故答案为：①； 任务4：略 22. 如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C． （1）用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） （2）设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【答案】（1） 分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心； （2） 【解析】 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接,交于, ∵ ， ， 在 中, ， 设的半径为， 在 中, ， 即， ， 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用． 23. 二次三项式， 方程可以这样解：，或， ，． （1）方程的根是： ； （2）对于实数，，定义运算“”：例如因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ； （3）已知实数满足．求代数式的值． 【答案】（1）， （2）3或 （3）代数式的值为 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）将原方程变形为，进而求出结论即可； （2）先利用因式分解法解方程可得，，再分两种情况：①当，时，②当，时，根据新运算的定义代入计算即可得． （3）设，则原方程变形为，解出或，再分情况：①当时，原式；②当时，此方程无实数根，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 原方程变为， 或， ，； 【小问2详解】 解： ， ，， 根据“”运算的定义分情况讨论： ①若，，则， ②若，，则； 综上所述，的值为3或； 【小问3详解】 解：设，则原方程变形为． 分解因式得， 解得或， 或． 代数式可变形为， ①当时，原式， ②当时，， ， ，此方程无实数根， 代数式的值为． 24. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【答案】（1）双 （2）元 （3）每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 【小问1详解】 解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子． 【小问2详解】 设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． 【小问3详解】 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 25. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150）进行测试，测得数据如表： 车速 0 30 60 90 120 150 刹车距离 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 （1）以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 【答案】（1） 如图， （2） （3）该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为 【解析】 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数的函数值求自变量的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）根据表格数据描点连线，即可解题； （2）设与的关系式为，把和代入关系式中求解，即可解题； （3）由（2）得到解析式，再把代入解析式求解，可得车速． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，设与的关系式为， 把和代入得， 与的关系式为． 【小问3详解】 解：由（2）得． 令，则． 解得或（负值舍去）， 该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为． 26. 【数学认识】 数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（不写作法，保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 （）如图所示，点、即为所求； （）的最大值为，理由： 如图，当点为优弧的中点时，连接并延长至，使得， ∴， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴为定角， ∴为定角， ∴点的运动轨迹为一个圆， 当点为优弧的中点时，点即为外接圆的圆心，长为半径，连接并延长交下点，连接， 由垂径定理可得：垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴为直径时最长， ∴，即的最大值为； （）如图： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作一条边等于已知边即可； （）当点为优弧的中点时，连接并延长至，使得，则，点的运动轨迹为一个圆，当点为优弧的中点时，点即为外接圆的圆心，长为半径，连接并延长交下点，连接，由垂径定理得，在中，，则，则为直径时最长； （）作的垂直平分线交于点；以点为圆心，为半径作；以为圆心，以的长为半径画弧，交于点，；连接交于点，连接交于点，则点，均为所求． 由垂径定理可得：垂直平分， 【详解】解：（）当点在的延长线上时：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，则点即为所求； 当点在的延长线上时：以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，连接，则即为所求； （）略 （）第步：作的垂直平分线交于点； 第步：以点为圆心，为半径作； 第步：以为圆心，以的长为半径画弧，交于点，， 第步：连接交于点，连接交于点，则点，均为满足条件的点． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线上方抛物线上一动点； ①连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点D作，垂足为点F，连接，是否存在点D，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，代入，于是得到结论； （2）①如图1，令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论； ②根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，求得，得到，过作轴的平行线交轴于，交的延线于，情况一：，情况二，，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 抛物线经过．两点， ， ，， ； 【小问2详解】 解：①如图1，令， ， ，， ， 过作轴交于，过作轴交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ， ∴， ， ， ∴， ∴； 当时，有最大值，最大值是； ②，，， ，，， ， ∴是以为直角的直角三角形， 取的中点， ∴， ， ，， ， 过作轴的平行线交轴于，交的延长线于，则， 设， ，， 分以下两种情况： 情况一：当时，如图2， ∵， ， ， 即， ∴， （舍去），， ， 情况二：当时， ， 设， ，， ∵， ， ，， ∵，， ，， ∴， ， （舍去），， 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数，解直角三角形，勾股定理等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省苏州市姑苏区三校九年级（上）期中 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ） A. 5，4 B. 6，5 C. 6，7 D. 7，7 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 在6张相同的卡片上分别写有数，将卡片的背面朝上并洗匀，从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率（ ） A. B. C. D. 1 4. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 5. 在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（ ） A. 3 B. 4或6 C. 2或3 D. 6 6. 如图，已知半径分别等于和的，外切于点．两圆的一条外公切线切于点，切于点，过作的垂线与的中垂线交于点，是的中点．则的面积等于（ ）． A. B. C. D. 7. 青山村种的水稻2010年平均每公顷产，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则2012年平均每公顷比2011年增加的产量是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法： ①； ②； ③； ④，（m为实数）； ⑤当时，， 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④⑤ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，则这组数据的平均数为_____． 10. 若点，，都在二次函数图象上，则______． 11. 在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是米，方差分别是（米），（米），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是_____． 12. 已知，m、n是一元二次方程的两个根，则_________． 13. 如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径画弧，得到阴影部分的扇形，由这个扇形围成的圆锥的高为________． 14. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④的实数其中正确的结论有______． 15. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为____________． 16. 如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 17. 解方程： （1）； （2）（配方法） ； （3）； （4） 四、解答题：本题共10小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； （2）证明∶对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 19. 端午节是中国四大传统节日之一．为了让学生进一步了解端午节民俗，学校在端午节前的某天开展了以下七项活动（上午四项，下午三项）．由于参加活动的人数较多，每位参加活动的学生最多只能选择其中两项活动，且每项活动被选择的可能性均相同． （1）该校的小玲从这七项活动中随机选择一项，则她选择的是包粽子的概率是__________ ； （2）该校的婷婷先从上午的四项活动中随机选择一项，再从下午的三项活动中随机选择一项，请用列表或画树状图的方法，求婷婷选择的是包粽子和做香包的概率． 20. 用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）如图①，作出的外接圆； （2）如图②，作出的内切圆； （3）如图③，点是上一点，过点作的切线； （4）如图④，切于点，作出直线，使与相切，且； （5）如图⑤，切于点，作出一条直线，使与相切，且与的夹角中有一个角为． 21. 综合与实践 【项目背景】 无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考． 【数据收集与整理】 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示． 将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x 整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下： 任务1 求图1中a的值． 【数据分析与运用】 任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数． 任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两园样本数据的中位数均在C组； ②两园样本数据的众数均在C组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 22. 如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C． （1）用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） （2）设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 23. 二次三项式， 方程可以这样解：，或， ，． （1）方程的根是： ； （2）对于实数，，定义运算“”：例如因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则的值为 ； （3）已知实数满足．求代数式的值． 24. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 25. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150）进行测试，测得数据如表： 车速 0 30 60 90 120 150 刹车距离 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 （1）以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度． 26. 【数学认识】 数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系． 【构造模型】 （1）如图，已知，在直线上用直尺与圆规作点，使得：．（不写作法，保留作图痕迹） 【应用模型】 已知是的内接三角形． （2）如图，若的半径，，求的最大值并说明理由． （3）如图，已知线段，为的弦，用直尺与圆规作点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线上方抛物线上一动点； ①连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点D作，垂足为点F，连接，是否存在点D，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $