福建福州市部分学校2026-2027学年第一学期期中适应性练习高二数学试卷

2026 - 2027 学年度第一学期期中适应性练习 高二 数学试卷 【完卷时间：120 分钟 试卷满分：150 分】 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 直线在轴上的截距为( ) A. B. C. D. 2. 设 ，向量，且，则( ) A. B. C. D. 3. 已知直线是圆的一条对称轴，则 的值是( ) A. B. C. D. 4. 如图，在三棱台中，，分别为的中点， 设，，，则可用表示为 ( ) A. B. C. D. 5. 已知直线 与，则直线与圆的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与 的取值有关6. 直线与圆交于两点，其中点在第三象限，为原点，则( ) A. B. C. D. 7. 已知四点是平面四边形的四个顶点，是平面外一点. 若，则 ( ) A. B. C. D. 与 的取值有关 8. 已知圆 及两点，若圆 上任一点，都满足 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. ·高二数学 —第1页—（共4页) · 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，，则下列选项正确的是 ( ) A. 当直线 与直线 平行时， B. 当直线 与直线 垂直时， C. 当 时，直线 的倾斜角为 135° D. 原点到直线 的距离最大值为 10. 已知圆 ，直线，则 ( ) A. 直线 与圆 必相交 B. 直线 被圆 截得的最小弦长为 C. 当时，圆 C 上恰有三个点到直线 的距离等于 D. 若圆 C 与圆 恰有三条公切线，则 11. 棱长为 的正方体中，为棱的中点，为棱 的中点，点为侧面内的一个动点 (含边界)，则下列说法正确的是 ( ) A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 存在点，使得 C. 三棱锥的体积的取值范围为 D. 若，则 的轨迹长度为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 两平行直线 与 之间的距离为 . 13. 已知二面角 为 60° , 是棱 上的两点， 分别在半平面内，，， 且，，则 的长为 . 14.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 • 闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 的曼哈顿距离 . 已知，点在圆上运动， 若点满足 ，则的最大值为 . ·高二数学 —第2页—（共4页) · 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13 分) 在平面直角坐标系 中，的顶点，，关于原点对称. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)已知过点的直线平分的面积，求直线的方程. 16. (本题满分 15 分) 已知圆与直线切于点，且过点. (1)求圆 的方程； (2)求过点的直线被圆截得的弦长为的直线方程. 17. (本题满分 15 分) 如图，在四棱锥中，，,∥， 且,． (1)设点 是棱上的一点且 ， 证明：∥平面； (2)若为 的中点， 求直线与平面所成角的正弦值． 18. (本题满分 17 分) 已知动点到点的距离与它到点的距离之比为. (1)试证明动点的轨迹是一个圆，并求出其圆心的坐标； (2)设点，若曲线上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为的直线与曲线相交于，两点(不与原点 重合)，直线，斜率分别为 ，且 ，证明：直线恒过定点. ·高二数学 —第3页—（共4页) · 19. (本题满分 17 分) 如图，在平面四边形中，，30°,120°，将 沿翻折至. (1)当时，证明：平面平面； (2)在(1)的条件下，设三棱锥的各个顶点都在球的球面上， 试求球的半径； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最小值. ( B )A C V ·高二数学 —第4 页—（共4 页) · 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度第一学期期中适应性练习 高二数学试卷答案及评分标准 【完卷时间：120分钟试卷满分：150分】 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 答案 A 义 D C B B D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BCD AB ACD 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 122 13.2 14.15 四、解答题（本题共5小题，共7分） 15.解答：（本题满分13分） (1) 因为B,C关于原点O对称， 所以c-1.-2ae-- 2-（-2) =2,…2分 3C边上高所在直线的斜率为号， 因为A(-3,4), 所以BC边上高所在直线的方程为y-4=号红+3)， 故BC边上高所在直线的一般式方程为x+2y-5=0. …6分 (2) 法一： 由过点B的直线l平分△ABC的面积可知， B 直线l经过边AC的中点D(-2,1), …10分 又B(1,2), 所以直线1的方程为兰 .=D+2 Γ-1+2 即x-3y+5=0. …13分 ·高二数学期中适应性练习参考答案及评分标准一第1页一（共6页）· 法二： 当斜率不存在时，l方程为x=1,此时直线l在△ABC之外，不满足题意；…7分 当斜率存在时，设l:y-2=k(x-1)即kx-y-k+2=0 ……8分 依题意可知点A到直线l的距离等于点C到直线l的距离 故有-3-4-+2=k+2-k42引 …10分 √1+k √1+k 解得为=-3或太=青 ……11分 又由己知可知直线l与线段AC必相交 面u=与号-子ke=2 放7≤k≤2 k=青 …12分 综上可知，直线1的方程为划-2-号位-1即x-3测+5=0 …13分 (（i.0et,B%。a2x9⑦， 16.解答：（本题满分15分） 是G表任上m5伦1方 (1)设圆的方程为(x-a)P+(y-b)2=(r>0)…1分 b-5=√3 a-1 由题意 A这也代入 (0-a)2+(-2-b)}=m2’ 4分 (2-a)2+b2=r2 解得 a=b=0 r=2 ……6分 所以圆T的方程为x2+y=4. ……7分 (如考生采用其他解法，请酌情给分) (2) ①当U垂直于x轴时， 将x=-1代入圆的方程得y=3,解得1=√5，y=-√3， 此时截得的弦长为-y=2W3,满足条件： …9分 当1不垂直于x轴时， 设l的方程为y-3=(x十1)即kx-y十3十k=0,…10分 圆心(0.0)到直线1的距离d=V-(分×2W5)=1, 由点到直线的距离公式得1= 3+A ……12分 √2+1 解得=一专 13分 此时直线1的方程为y-3=-专(c+1)即41z+3g-5=0. ……14分 所以直线1的方程为x=-1和4x+3y-5=0. …15分 高二数学期中适应性练习参考答案及评分标准一第2页一（共6页)· 17.解答：（本题满分15分） (1) 解法1： 是☑及b'PA-和P.LAD违 建立如图所示的空间直角坐标系D一xyz, ……1分 由已知条件可知 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2), 则AC=(2,2,0),B2=(-2,0,2), 由励=2，可知Q号》 B ·应=0子号) …C…3分 2 设平面ACE的法向量为元=(x1,1,乙)， i·AC=2c1+2=0 则 mA面=青头+寺=0 令01=1，则=-1,21=1， 所以平面BDE的一个法向量为元=（1，一1,1) …5分 可得BP.i=-2×1+0×(-1)+2×1=0 ………………… 6分 又因为BP中平面ACE 所以BP∥平面ACE ……7分 解法2： 如图所示，连接BD交AC于点G,连接EG, …1分 .AD=2BC,AD∥BC, 教 ∴.且G=2GB 由题意可知，DB=2PE, B 所以BP∥EG, ………5分 又因为EGC平面BDE,BP寸平面BDE, 所以BP∥平面BDE.… …7分 (2)由(1)知BC=(0,2,0),BP=(-2,0,2), 由F为PD的中点可得 F F(0,2,1),CF=(-2,0,1) 4。…4444 …9分 设平面PBC的法向量为7=(x,y2,z), 则ai时=-2+2z=0, 元·BC=2y2=0, 令z2=1,得c2=1,y2=0, 所以元=(1,0,1) 11分 高二数学期中适应性练习参考答案及评分标准一第3页一（共6页）· 12 设直线CF与平面PAB所成角为O, 所以 sin0=cos<元，Cf> …13分 C c列 √5×√2 =四 +0 所以直线BE与平面PAB所成角的正弦值是YD 10 …15分 18.解答：（本题满分17分） (1)由题意可得， V(x-6)'+y =2 …1分 √x-3)P+y 化简，并配方得(x-2)2+y=4 …3分 故动点P的轨迹E是一个圆，其圆心Q坐标为(2,0).…4分 (2)设P(x,y), 因为PA2+PC2=t, 所以(x-6)2+y2+(c+3)2+(y-V3)2=t, 化简得(g-号+(g-g了-青-21. 所以t>42,且点P在以M(号，号)为圆心，√号-21为半径的圆上…-6分 依题意，⊙M与⊙Q有两个交点，即两圆相交.…7分 又M@=√(3-2+(-0=1，则W-21-2<1<√告-21+2 解得44<1<60. ………9分 (3)设直线l的方程为y=kx+m,E(c1,y1),F(x2,y2),c1c2≠0 …11分 由好g=4传++2hm-2+m=0 2(km-2) 则心十= ,c=m2 ①…12分 1+k2 1+k2 所以 =h坐= (kx1+m)(kx2+m) kcic+km(c1+)+m2 二2 …14分 TTo 1C2 Wo 2km(2-m 1+k -+m2 2m(2-km) +m2 将①代入上式，得2+ =k2+ 1+2 =1+46=2, m2 m m 1+k2 1+k2 高二数学期中适应性练习参考答案及评分标准一第4页一（共6页）· 所以m=4k ……16分 所以直线U方程为y=k(x+4), 令+A=0,解得=4 (y=0 (y=0 即直线l过定点(-4,0). …17分 19.解答：（本题满分17分） (1)证明： 在△ACD中，由AC=CD=2,∠ADC=30° 得∠CAD=∠ADC=30°， .∠BAC=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°， 即AB⊥AC .…1分 又.VC⊥AB,VC∩AC=C, .∴.AB⊥平面VAC …3分 又ABC平面ABC B .平面/AC⊥平面ABC…4分 (2)由(1)可以A为原点，AB,AC分别为x轴和y轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系A一xy2, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0)V(0,3,√3) …么……5分 设球心O(a,b,c),半径R, 则AO=BO=CO=VO=R, a2+b2+c2=R (a-2)P+b+c2=R2 则有 a2+(b-2)2+c2=R2 a2+(b-3)2+(c-√3=R 解得a=1,b=1,c=√5，R=√5 …以…8分 所以球O的半径为√5； 有单串来来来米年与海海来事帝中华市。。。季华年事年中。专专年华年中车中传年华有来电单中园了个 (3) 物缺。 m 在平面VAC中，过V作VG⊥AC 、=2 R22- 在平面ABC中，过G作GM⊥AC, 因GM∩VG=G,GM,VGc平面VGM, 则AC⊥平面VGM. y 以G为原点，GM,CG分别为c轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz, B M 则点V在平面xGz内， …10分 由(1)可知AG=2W3cos30°=3，VG=2√3sin30°=√5， 高二数学期中适应性练习参考答案及评分标准一第5页一（共6页)· 则G(0,0,0),A(0,-3,0),B(2,-3,0),C(0,-1,0), 设V(√3cos0,0,3sin0), 则CA=(0,-2,0),C2=(2,-2,0), CV=(√3cos6,1,√3sin0), 设平面VAC一个法向量为元=(x1,1,z1),， 则m1C i⊥C7 即/m-C=-2h-0 mCV-V3C1cos0+y+v3zsin0=0 取c1=sin0,则得元=(sin0,0,-cos8); 时理可得平面VBC的一个法向最为方-1,1，-)力 …12分 V3sin0 所以 sin+ (v3cos0+1)cos0 cos(i,元)= i元 V3sin0 cos0+√3 …13分 V-) √-3cos'0+2W3cos0+7 令t=cos0+√5，则由0°<0<180°得t∈（√5-1，√5+1）， 则(，1为 2/1 于是co(m,= √3(t-√3P+2√3(t-√3)+7√-3t+8/3t-8 1 1 y1- V-8(t)a 9， 当且仪当}-9即=23时等号成立 3 …16分 所以平面VAC与平面VBC的夹角的余弦值的最小值为 3 …17分 (.0etB%。aE90,补 题偏伍年量绣虑敷式，伦%相应畅州瓶 便5兔及卷 高二数学期中适应性练习参考答案及评分标准一第6页一（共6页）·