精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州部分学校2026-2027学年高二上学期11月期中质量监测数学试题

2026–2027学年第一学期期中质量监测 高二数学 （分值：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，所以， ， 得：. 2. 已知直线过点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将点代入直线，可得， 设直线的倾斜角为，而，故， 解得，即. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 外离 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心距，再根据与、的关系来判断两圆的位置关系. 【详解】已知圆，；圆，， 圆心距，，那么， 所以圆与圆内含. 4. 已知长方体中，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用长方体同一顶点出发的三条棱对应的向量两两垂直的性质，结合向量数量积的运算律展开计算即可. 【详解】在长方体中，从顶点出发的三条棱、、两两互相垂直， 因此对应的向量、、满足两两垂直，即，， 所以，故C正确. 5. 已知直线恰好平分圆，则在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线平分圆的几何性质，结合圆的标准方程求出圆心坐标，代入直线方程求解参数，再根据截距定义得到结果. 【详解】将圆化为标准形式，可得，因此该圆的圆心为，半径为， 根据题意，直线过圆心，代入直线的方程，可得，解得， 所以，令，得，所以直线在轴上的截距为，故D正确. 6. 郑国渠是著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点，分别在堤坝斜面与底面上，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则将 表示为 ，结合向量数量积的定义及运算律求解模长即可. 【详解】由题意可知，，，且 ， 所以 ，，即 ，， 因为二面角 的大小为 ，且 ， 分别在二面角的两个面内且垂直于棱 ， 所以向量 与 的夹角为 ， 则向量与 的夹角为， 而，， 所以 ， 所以 . 7. 已知直线，当点到的距离最大时，（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，利用点到过定点的动直线距离的最大值对应直线与定点和已知点连线垂直的几何性质，结合两直线垂直的斜率关系求解参数. 【详解】将直线的方程变形为，令，则，解得因此直线恒过定点. 当且仅当时，取得最大值. ，将直线的方程整理为斜截式，可得直线的斜率. 当时，有，代入表达式得，解得，验证：当时，直线的斜率为，与的斜率乘积为，满足垂直条件，此时点到的距离取得最大值. 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，，，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定动点的轨迹，再求出数量积的函数关系，进而求出范围. 【详解】由平面，， 以为原点，为轴，为轴， 过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系. 由，，得，，，. 由，知为上靠近的三等分点，故. 因为在内（含边界），在平面上，设. 设平面的一个法向量为，已知，， 由，得，即，令，则 由平面，得，则. 由的边界约束，知动点的轨迹是内线段， 因此，而，， 则， 故的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，下列命题中正确的有（ ） A. 当时，与重合 B. 若，则 C. 过定点 D. 一定不与坐标轴平行 【答案】AC 【解析】 【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D． 【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确； 当时，有且，解得，故B错误； 因为，所以直线过定点，故C正确； 当时，直线与x轴平行，故D错误； 故选：AC． 10. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平行的一个单位向量是 D. 平面的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的定义判断A，利用空间向量减法的坐标运算并结合模长公式判断B，利用单位向量的定义判断C，利用平面法向量的定义判断D即可. 【详解】由，，， 可得，，. 选项A，题意得，因此与不垂直，故A错误， 选项B，题意得， 且模长为，故B正确； 选项C，由题意得， 因此与平行的一个单位向量是，故C正确； 选项D，由题意得，，且，， 可得平面的一个法向量是，故D正确. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（ ） A. 轨迹的方程为 B. 的最大值为 C. 在上存在点，使得 D. 在上不存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再逐一分析选项：将斜率最值问题转化为直线与圆相切的条件求解，将存在性问题转化为两圆位置关系，通过圆心距与半径的大小关系判断是否存在满足条件的点 【详解】选项A：设，由得， 两边平方得，展开化简得， 配方为，即轨迹的方程为，故A正确； 选项B：表示圆上的点与点连线的斜率， 设过的直线方程为，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径4， 即，解得，故的最大值为，不是，B错误； 选项C：设满足，代入坐标得， 化简得，即的轨迹是以为圆心、半径1的圆， 该圆与圆的圆心距为，两圆半径分别为1和4，满足， 即两圆内切，存在公共点，故圆上存在这样的点，C正确； 选项D：设满足，代入坐标得， 化简得，即的轨迹是以为圆心、半径的圆， 该圆与圆的圆心距为，圆的半径为4，满足， 即两圆内含、无公共点，故圆上不存在这样的点，D正确; 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则以为直径的圆的方程_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过求出线段的中点作为圆心、长度的一半作为半径，代入圆的标准方程即可得到所求圆的方程 【详解】已知，，由平面直角坐标系的中点坐标公式，可得圆心坐标为. 由两点间距离公式，线段AB的长度为， 因此圆的半径，对应的半径平方. 所以所求圆的方程为. 13. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【详解】 因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则_______；_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将用基底表示，结合四点共面的充要条件求解； 【详解】因为且，所以．又， 且点是棱的中点，即，所以． 在中，． 因为点在棱上，设，则． 又已知，所以． 因为点在平面内，即四点共面， 根据空间向量共面定理的推论，有．即，解得． 所以，且． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线方程； （2）若，分别为，的中点，与交于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 点的坐标为 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率，边上的高与垂直，故高所在直线的斜率为，且高过顶点，由点斜式得直线方程为，整理为.  【小问2详解】 由中点坐标公式得，中点，中点，直线的斜率为，方程为，直线上所有点纵坐标为，方程为，联立两方程解得，即点的坐标为. 16. 在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图： 可得 , 所以，， 所以， 因此， 即. （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求出和的坐标，通过计算两个向量的数量积即可判断垂直关系； （2）分别求出平面和平面的法向量，所以利用向量夹角公式计算法向量夹角的余弦值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知， 设 为平面的一个法向量， 则 ，令，得， 即, 又易知，则 ，， 设平面的法向量， 可得 ，令，得， 即， 设平面和平面的夹角为，， 可得， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程； （3）若圆与圆相切，点坐标为，求圆的方程． 【答案】（1） 圆的标准方程为； （2） 直线的方程为或； （3） 圆的方程为或。 【解析】 【分析】（1）中垂线与直线的交点为圆圆心，据此可得圆半径与方程； （2）分切线方程斜率存在与不存在两种情况，结合切线过与切线到圆心距离等于圆半径可得切线方程； （3）圆与圆内切时，两圆圆心距为两圆半径之差，两圆外切时，两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得圆方程. 【小问1详解】 因为，，所以线段的中点坐标为  ，   ，垂直平分线的斜率为. 因此的垂直平分线方程为：  . 联立垂直平分线方程与已知直线方程： ，  即圆心的坐标为. 从而圆的半径满足：  . 因此，圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为  ，故点在圆外. 当切线的斜率不存在时，切线方程为，其到圆心距离为，则满足题设； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，由其到圆心距离为， 可得，则切线方程为.  综上，切线的方程为或. 【小问3详解】   . 设圆的半径为，当两圆外切时，， 则此时圆的标准方程为； 当两圆内切时，或(舍去)， 则此时圆的标准方程为； 综上，圆的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （i）求点到平面的距离； （ii）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角正弦值的取值范围． 【答案】（1）因为底面是边长为6的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而得到线线垂直，进而可证明线面垂直； （2）（i）建系，设，利用公式计算平面与平面的夹角，得出，再利用点到平面的距离公式计算； （ii）利用空间向量法来求线面角的正弦值，再通过二次函数值域即可求线面角正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知平面，又，平面， 所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设，则． 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），则，， 则点到平面的距离为； （ii）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则， 即，取，则， 设与平面所成角为， 则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为、． （1）当时，求点坐标； （2）若的外接圆为圆，当运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）求线段长度的最小值． 【答案】（1）或 （2）圆过定点，定点为和， 理由如下：由题意可知，四点共圆，故为的中点， 设圆上任意一点为， 则， 即， 则， 由，得或， 故圆过定点和； （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据计算； （2）圆上任意一点为，根据得出方程，化简使得前的系数为即可求出； （3）求出两圆相交所在直线，求出直线的定点，当时线段最短，即可求出弦长. 【小问1详解】 圆，则圆心，半径， 若，则，则， 设，则，得或， 故或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 与作差得， ，即， 由得，则直线恒过点， 则， 当时点到直线的距离最大，此时线段最短， 则线段长度的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026–2027学年第一学期期中质量监测 高二数学 （分值：150分 时长：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内含 D. 外离 4. 已知长方体中，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线恰好平分圆，则在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 6. 郑国渠是著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点，分别在堤坝斜面与底面上，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，若，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知直线，当点到的距离最大时，（ ） A. B. 0 C. D. 1 8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，，，是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，下列命题中正确的有（ ） A. 当时，与重合 B. 若，则 C. 过定点 D. 一定不与坐标轴平行 10. 已知，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平行的一个单位向量是 D. 平面的一个法向量是 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（ ） A. 轨迹的方程为 B. 的最大值为 C. 在上存在点，使得 D. 在上不存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则以为直径的圆的方程_______． 13. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为_____ 14. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则_______；_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的高所在直线方程； （2）若，分别为，的中点，与交于点，求点的坐标． 16. 在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点，分别在棱和棱上，且． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求直线的方程； （3）若圆与圆相切，点坐标为，求圆的方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （i）求点到平面的距离； （ii）记平面交于点，点在平面上，求与平面所成角正弦值的取值范围． 19. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为、． （1）当时，求点坐标； （2）若的外接圆为圆，当运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由； （3）求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $