精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区疏勒县部分校2026-2027学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

2026年秋季学期11月质量检测 高二数学试题 考生须知： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷由试题卷和答题卷两部分组成，其中试题卷共4页，答题卷共4页.要求在答题卷上答题，在试题卷上答题无效. 3.答题前，请先在答题卷上认真填写姓名、考号、班级、学校.要求字体工整、笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称时，其坐标保持不变，坐标和坐标变为相反数， 因此，点关于轴对称的点坐标为. 2. 设，向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，则， ，解得. 所以. 计算. 3. 已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是，则该正方体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体内切球直径等于正方体棱长的性质，结合球的体积公式求出棱长，再计算正方体表面积即可. 【详解】设正方体的棱长为，由正方体内切球的性质可知， 内切球的直径等于正方体的棱长，因此内切球半径， 根据球的体积公式，代入已知体积可得： ，解得， 根据正方体表面积公式可得：. 4. 直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将直线化为斜截式：， 所以直线的斜率. 因为， 两边同乘，得. 5. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的系数等价关系列方程求解的值可得. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，，解得. 因此. 6. 已知圆关于直线对称，则的值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由圆关于直线对称，得到圆心是上的点，将圆心代入直线，通过计算得到所求. 【详解】因为圆关于直线对称， 所以圆心是上的点， 则，解得， 则. 7. 已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ） A. 5 B. 10 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，进而可求解. 【详解】由椭圆方程可知，如图： 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为. 8. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答． 【详解】由题意得，，， 当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值． 设点关于直线的对称点为， 则，解得，， 则， 当时，椭圆有最大离心率，此时，． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A,利用得到，从而得到结论；选项B，利用得到与不垂直，从而得到结论；选项C，由，，得到与不平行，从而得到结论；选项D，求出，，计算，得到，计算，得到，从而得到结论； 【详解】选项A，因为，，所以，则， 因为直线的方向向量为，直线的方向向量为， 所以与垂直，则选项A正确； 选项B，因为，，所以， 则与不垂直， 因为直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以与不平行，故选项B错误； 选项C，因为，，所以与不平行， 因为平面，的法向量分别为，，所以与不平行；故选项C错误； 选项D，，，，，， 因为，所以， 因为，所以， 因为平面经过三点，，， 所以向量是平面的法向量，故选项D正确. 10. 已知实数，满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 点到原点的距离的最小值为 C. 圆与直线相交 D. 圆上的点到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由实数，满足方程，得是以为圆心，半径的圆周上的点. 对于A，圆心到直线的距离，则直线被圆截得的弦长，故A正确； 对于B，原点到圆心的距离，由，得原点在圆外；则圆上的点到原点的距离的最小值，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离，则直线与圆相离，非相交，故C错误； 对于D，由直线与圆相离，则圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加上半径， 即；即圆上的点到直线的距离的最大值为，故D正确. 11. 已知椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的离心率为 B. 若的离心率为，则 C. 若，分别为的两个焦点，直线过点且与交于点，，则的周长为 D. 若，分别为的左、右顶点，为上异于点，的任意一点，则，的斜率之积为 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A,若,则,所以椭圆的离心率,A错误. 对于B,若椭圆的离心率,则,即. 于是,又,所以,B正确. 对于C,如图所示,直线经过焦点且与椭圆交于两点,由椭圆的定义得,. 又,所以的周长为,C正确. 对于D,设,其中,则,即. 又,,所以,D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【解析】 【详解】，，，四点共面，，，共面，即存在实数，使得. ，，， ，则，解得. 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 【答案】28 【解析】 【分析】根据题意先求出棱台的高，然后利用棱台体积公式求解. 【详解】如图所示，为正四棱台，连接， 由，得， 过作，为垂足；过作，为垂足， 则，， 又，在中，得， 所以正四棱台的高，正四棱台上下底面积分别为4和16， 体积. 故答案为：28 14. 已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0，求直线的斜率. （2）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，求圆的方程： 【答案】 （1）直线的斜率为 （2）圆的方程为 【解析】 【分析】（1）利用截距式确定直线的斜率，并检验截距非零； （2）由弦的垂直平分线与圆心所在直线的交点确定圆心，再求半径并写出圆的方程． 【详解】设直线在轴、轴上的截距分别为、（）． 由截距式，得即，所以直线的斜率为． 又直线经过点，代入，得，满足题意． （2）因为、，所以线段的中点为，且平行于轴． 圆心在弦的垂直平分线上，因此圆心的横坐标为． 又圆心在直线上，所以圆心为． 半径的平方为，所以圆的方程为 16. 如图，在四面体中，，，，，，，，，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. （1）求； （2）当时，用向量，，表示； （3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在.假设在线段上存在一点，使得，则， 由（2）知， 又， 所以 ， 因为在线段上，所以，则，不可能等于， 因此，假设不成立，在线段上不存在一点，使得. 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，即，利用已知的模长与夹角求出数量积和 ，代入即可求得结果： （2）利用中点公式求出，再结合确定，将用与 线性表示，代入和基底向量即可； （3）假设存在点，由得，将两向量用基底表示并代入已知数量积化简即可. 【小问1详解】 由已知得： ， ， ， 因为，且， 所以； 【小问2详解】 因为是的中点，所以， 因为在线段上，且，即， 所以， 因为在线段上，且，所以， ， 当时，； 【小问3详解】 略. 17. 已知圆过二次函数的图象与轴的两个交点，同时圆过椭圆的上焦点. （1）求圆的方程： （2）若过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求弦的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解二次函数与轴的交点，椭圆的上焦点坐标，设圆的一般方程，将点代入求出参数，转化为标准方程即可；（2）先写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算弦长. 【小问1详解】 令，解得：或，设点， 由椭圆知：，所以， 又椭圆焦点在轴上，所以上焦点为， 设圆的一般方程为：， 将代入方程中得：，解得：， 所以圆方程为：即. 【小问2详解】 由题意得直线方程为：， 联立直线与椭圆的方程：，消去整理得：， 由， 设，由韦达定理得：， 所以弦的长度为：. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若棱上一点，满足，求点到平面的距离. 【答案】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以，所以， 所以平面平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系求出两平面的法向量，证明其数量积为0即可得出面面垂直； （2）直接取平面的法向量，代入空间向量面面角余弦公式计算求解； （3）利用空间向量的线性运算求出坐标，代入点面距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 易知平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 已知，，, 因为在上且，所以点靠近点，满足， 所以，所以，则， 由（1）知平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. . 19. 已知椭圆：的焦距为，短轴两端点分别为，，点为椭圆上一点，直线与直线的斜率都存在，且乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质结合解出即可求出椭圆的方程. （2）（ⅰ）先由直线与圆相切得出之间的关系，然后由韦达定理得出， 再构造出即可求出. （ⅱ）设，结合（ⅰ）中可以求出为定值，再利用基本不等式及“1的妙用”即可求出的最小值. 【小问1详解】 不妨设在的上方，则，， 由可得① 又为椭圆上一点，且，则② 由①，②消去，可得③ 由椭圆：的焦距为，得④ 由③、④可得，， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图所示； （ⅰ）由题知圆的半径为，设过原点作圆的切线方程为， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得：， 若，则有圆与轴相切，此时、至少有一个不存在，故， 又直线均与圆相切， 则，是方程的两个不相等的实数根， 故且， 由点在椭圆上，可得，即， 所以． （ⅱ）设，由（ⅰ）中得，则⑤ 因为、在椭圆上， 故有，，代入⑤得：，化简得， 故， 则有， 当且仅当时等号成立，此时直线与关于轴对称， 因此，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期11月质量检测 高二数学试题 考生须知： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.本卷由试题卷和答题卷两部分组成，其中试题卷共4页，答题卷共4页.要求在答题卷上答题，在试题卷上答题无效. 3.答题前，请先在答题卷上认真填写姓名、考号、班级、学校.要求字体工整、笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 已知正方体的内切球（球与正方体的六个面都相切）的体积是，则该正方体的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知圆关于直线对称，则的值为（ ） A. B. 9 C. 4 D. 8 7. 已知椭圆的焦点分别为与，为椭圆上一点，则的周长等于（ ） A. 5 B. 10 C. 3 D. 6 8. 已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量 10. 已知实数，满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 点到原点的距离的最小值为 C. 圆与直线相交 D. 圆上的点到直线的距离的最大值为 11. 已知椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的离心率为 B. 若的离心率为，则 C. 若，分别为的两个焦点，直线过点且与交于点，，则的周长为 D. 若，分别为的左、右顶点，为上异于点，的任意一点，则，的斜率之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若，，，四点共面，则______. 13. 已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为__________． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0，求直线的斜率. （2）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，求圆的方程： 16. 如图，在四面体中，，，，，，，，，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. （1）求； （2）当时，用向量，，表示； （3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17. 已知圆过二次函数的图象与轴的两个交点，同时圆过椭圆的上焦点. （1）求圆的方程： （2）若过点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求弦的长度. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，.为的中点，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若棱上一点，满足，求点到平面的距离. 19. 已知椭圆：的焦距为，短轴两端点分别为，，点为椭圆上一点，直线与直线的斜率都存在，且乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $