精品解析：广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2025-2026学年第一学期第一次月考高一数学试题

惠阳华附 2025—2026 学年度第一学期第一次月考 高一数学试题 试卷满分 150 分　　考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，且，则的最小值是（　） A. 6 B. C. D. 6. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 7. 集合，，定义，则的非空真子集的个数为（ ） A. 62 B. 31 C. 63 D. 30 8. 已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≥4 C. m≥6 D. m≥8 二、多选题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9. 下列各组函数中不是相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 若正数x，满足，则的最小值为9 C. 时，的最小值为2 D. 若，则 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合，若，则__________. 13. 已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______. 14. 如图，设矩形的周长为，把三角形沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）求； （2）求. 16. 已知集合 ． （1）是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 解下列问题： （1）若不等式 的解集为，求 a，b 的值； （2）已知，，求代数式 和的取值范围； （3）已知，则 的最小值． 18. 如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2900元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），AD长为（单位：）. （1）当时，求草坪面积； （2）当为何值时，最小?并求出这个最小值. 19. （1）当时，解不等式； （2）已知不等式 对一切实数 x 恒成立．求a的取值范围； （3）在(2)的条件下，解关于 x的不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳华附 2025—2026 学年度第一学期第一次月考 高一数学试题 试卷满分 150 分　　考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2. 作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3. 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得 0 分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求，从而可得正确的选项. 【详解】因为，故， 故选：B. 2. 命题“，”的否定为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可得到答案. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题“”的否定为“”. 故选：A. 3. “”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答. 【详解】解不等式得：或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的定义域满足，解得且，故函数定义域为． 5. 已知实数，且，则的最小值是（　） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知， 当且仅当，即时取得等号. 6. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 7. 集合，，定义，则的非空真子集的个数为（ ） A. 62 B. 31 C. 63 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】由新定义确定集合，再由非空真子集的计算公式求解. 【详解】由新定义知，， 所以的非空真子集的个数为， 故选：A 8. 已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≥4 C. m≥6 D. m≥8 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围. 【详解】不等式可化为，又，， 所以， 令，则， 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又已知在上恒成立，所以 因为，当且仅当时等号成立， 所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立， 所以m的取值范围是， 故选：D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题满分 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9. 下列各组函数中不是相等函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相等函数的要求一一判定即可. 【详解】对于A，，，对应法则不同，不是相等函数，故A符合题意； 对于B，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是相等函数，故B符合题意； 对于C，，，两函数的定义域和对应法则都相同，是相等函数，故C不符合题意； 对于D，的定义域为R，的定义域为，两函数定义域不同，不是相等函数，故D符合题意． 故选：ABD． 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明正确选项，再利用特殊值法排除错误选项即可. 【详解】对于A，易知，则，即，故由得，即，故A正确； 对于B，不妨令，易知，但，故B错误； 对于C，易知，故，即，故C正确； 对于D，不妨令，易知，但，故D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 若正数x，满足，则的最小值为9 C. 时，的最小值为2 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由时，，可判定A错误；由，结合一元二次不等式的解法，可判定B正确；由，结合基本不等式，可判定C错误；由，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，，当且仅当即时等号成立， 当时，，当且仅当即时等号成立， 故A错误； 对于B中，若，则，当且仅当时等号成立， 设，则，所以，所以， 当且仅当时等号成立，则的最小值为9，故B正确； 对于C中，由， 当时，可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，故C错误； 对于D中，由， 由，可得，当且仅当时，取得等号，则， 故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合，若，则__________. 【答案】1或2； 【解析】 【分析】由，可得或，注意要满足集合元素的互异性，即可得解. 【详解】由，， 若，，， 此时，符合题意； 若，则，， 当时，，不符题意， 当时，，符合题意， 综上可得：或. 故答案为：1或2. 13. 已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】因为命题，是真命题， 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，设矩形的周长为，把三角形沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可得与全等，从而可得，再设，，，利用勾股定理计算可用、表示，最后表示出的面积后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由折叠性质可得，，又， 故与全等，故， 设，，，则，且， 在直角中，有， 即，整理得， ， 由，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最大面积为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）求； （2）求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合. （1）根据交集的概念和运算求得. （2）先求得，然后求得. 【详解】或. （1）； （2） 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 16. 已知集合 ． （1）是否存在实数使是的充要条件？若存在，求出的值； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在 （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合后，由题意可得，该方程组无解，即可得不存在相应的实数； （2）由题意可得是的真子集，再分与计算即可得. 【小问1详解】 由，可得，解得，故， 若存在实数使是的充要条件，即有，该方程组无解， 故不存在这样的实数； 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，故是的真子集； 若，则，解得； 若，则有且与不能同时成立， 解得； 综上可得：. 17. 解下列问题： （1）若不等式 的解集为，求 a，b 的值； （2）已知，，求代数式 和的取值范围； （3）已知，则 的最小值． 【答案】（1）， （2）的取值范围为，的取值范围为 （3）代数式的最小值为 【解析】 【小问1详解】 不等式 的解集为， 即方程的解为或， 由韦达定理得：，解得， 所以，. 【小问2详解】 ，， 所以， 所以，， 所以， 所以的取值范围为，的取值范围为. 【小问3详解】 ， 根据基本不等式，， 当且仅当时，即时，等号成立，满足要求， 所以的最小值为. 18. 如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为2900元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），AD长为（单位：）. （1）当时，求草坪面积； （2）当为何值时，最小?并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）故m时，最小，最小值为65000元. 【解析】 【分析】（1）求出等腰直角三角形的直角边长为m，得到草坪面积； （2）表达出，利用基本不等式求出最小值及m. 【小问1详解】 四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为， 当时，m，故草坪面积为； 【小问2详解】 花坛的造价为元，四个相同的矩形总造价为元， 四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为， 故草坪的总造价为元， 故 元， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，最小，最小值为65000元. 19. （1）当时，解不等式； （2）已知不等式 对一切实数 x 恒成立．求a的取值范围； （3）在(2)的条件下，解关于 x的不等式． 【答案】（1）不等式的解集为； （2）实数的取值范围是； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【小问1详解】 当时，不等式为， 即， 解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式 对一切实数 x 恒成立， 当时，，对一切实数 x 恒成立，符合题意； 当时，二次函数，开口向下， 所以不等式对一切实数 x 不可能恒成立，不合题意舍去； 当时，要使不等式对一切实数 x 恒成立， 即判别式， 解得. 综上所述，实数的取值范围是； 【小问3详解】 由(2)可知，， 不等式， 对于方程， 解得，， 当时，即， 所以不等式，解得， 当时，即， 所以不等式，解得， 当时，， 此时不等式无解. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $