辽宁沈阳市第二中学2026-2027学年上学期高二期中考试数学试题

2026-2027学年高二上学期期中考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.C8.B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.ACD 10.AC 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2x+2y-3=0 14.√5 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.(13分) (1)证明：设圆上动点P(x,y), 则AP=(x-x,y-),BP=(x-xy-)…2分 ,AB为直径 AP.BP=0…4分 ∴.(x-)(x-x3)+(y-y)y-y2)=0…6分 (2)解：设P(x,),则Vx-1)+y2=+1…7分 .x2-2x+1+y2=x2+2x+1 y2=2x+2x…9分 当x≥0时，y2=4x…11分 当x<0时，y2=0即y=0…12分 .P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)，y=0(x<0)…13分 16.(15分) (1)证明：因为a=(x1,h,z),b=(2,2,) 所以a=x1e1+ye2+z1e3,b=x2e1+e2+2e3…1分 第1页共6页 因为e1e1=ezez=ege3=1,e1e2=e2e3=ege1=0 所以ab=(xe1+yhe2+z1e3)(e1+e2+z2e3)…2分 =xix2e1eitvivze2eztzze3e3+(xvz+x2v)e1e2+(vizztyaz)eze3+(xiz+x2z)e3e1..4 =x1x2+yy2+Z122…5分 (2)(i) 由题设可知：B,C1⊥平面ABBA…6分 BEC平面ABBA B .BC1⊥BE…7分 又：BE⊥EC1,BC1∩EC1=C1 .BE⊥平面EBC…8分 (ii)由(i)可知∠BEB,=90°…9分 设可知：Rt△ABE≌RtA4BE∴∠ABB=∠4EB=180°-90)E4 ∴.Rt△ABE,Rt△ABE为等腰直角三角形 AE=AB,A41=2AB…10分 以D为坐标原点，DA方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xz· 设DA=1 则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1) B ∴.CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2)…11分 设元=(：，，22)为平面BEC的一个法向量 则4c西=0 即 (5,4,5)(1,0,0)=0 CE=0 (,4,51)(1,-1,1)=0 x1=0 不妨设=1,31=1则元=(0,1,1)…12分 x-片+31=0 同理可得：平面C1C的一个法向量%=(1,1,0)…13分 第2页共6页 设二面角B-EC-C,的平面角为O 则lcos=cos(元，元= 元011)-0,1.0=1…14分 ,√0+1+1×1+1+02 sino=v-coso=3 :0∈0，列]二面角B-BC-C的正弦值为5.…15分 2 17.(15分) (1)证明：设P(x,y), 因为P=V(x+c'+y2,P=x-c}+y22分 所以Vx+c)}2+y2+Vx-c2+y2=2a 当x≠0时，√c+c+y≠Vx-c)+y，得： (x+c2+y2-(x-c)2+y2 =2a…3分 Vx+c)}2+y2-Vx-c)2+ 整理得 Vx+c)2+2--c0)2+y=2x. …4分 a 两式相加整理得 Vx+o)+y-atex …5分 平方，整理得 ￡+y=i-c.6分 d心 当x=0时， 由可知2Vc2+y=2a …7分 上式也成立. 因为a2-c2=b2 所以点P线蓬方程是若+芳=a>0y-…8分 (2)设A(,),B(,),则A=(c-1,-4),2FB=2(x-c,y) .C-x1=2x3-2c;-y1=2y2 话若-1cbj4w0-w01n分 y=√3(x-c) 第3页共6页 设m=y+y2 -2√3b2c 3a2+6,n=4 ~3b4 3a2+b :-4=241∴.4=-2y3.m=1+y2=-y3n=y3=-2y .n=-2(-m）=-2m2 -3b4 3am+67s-2. -2V3bc)2 …13分 3a+b2 9c2=4a c=2 …15分 a 3 18.(17分) 解法一： (1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行 因为在△PBC中，E,F分别为BC,PB的中点 所以EF刚PC.…2分 又EF丈平面AC,而PCC平面PAC, 所以EF/平面PAC.…4分 (2)因为PA⊥平面ABCD,BEC平面ABCD, 所以EB1PA.…5分 又EB⊥AB,AB∩AP=A,ABC平面PAB,APC平面PAB, 所以EB⊥平面PAB.…6分 因为AFC平面PAB, 所以AF⊥BE.…7分 又PA=AB=1,点F是PB的中点， 所以AF⊥PB.…8分 因为PB∩BE=B,PBC平面PBE,BEC平面PBE, 所以AF⊥平面PBE.…9分 因为PEC平面PBE, 所以AF⊥PE…10分 (3)如下图所示，过A作AG⊥DE于G,连接PG. 因为DE⊥PA, 则DE⊥平面PAG,…11分 于是平面PAG⊥平面PDE,它们的交线是PG. 过A作AM⊥PG,垂足为M, 则AM⊥平面PDE,…12分 即PA在平面PDE上的射影是PM, 所以PA与平面PDE所成的角是∠APG.…13分 由题意，∠APG=45°. 在Rt△PAG中，PA=AG=1, 所以DG=√2.…14分 设BE=x,因为△AGE=△ABE, 则GB=x,CE=√3-x.…15分 第4页共6页 在Rt△DCE中，(W2+x)2=(W3-x)2+12,得BE=x=√5-√2， 即当BB=√3-√2时，PA与平面PDE所成角的大小为45°...17分 解法二： （1)同解法一.…4分 (2)建立下图所示空间直角坐标系， p 则aaa10Fa5007分 设BE=x,则E(x,1,O),…8分 。11 所以P匠A=c1-00220,9分 即无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE…10分 (3)设BE=x,平面PDE的法向量为m=(P,q,). 由 m.PD=0, 得： …12分 m.P亚=0， 而AP=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°， 所以sim45°-V2_uAp 1 即 ,…14分 2mAP 3 +1 解得 BE=x=V3-2或BE=x=V3+V2(舍).…I6分 BE=x=√3-√2…17分 19.(17分) 山解横坐标变为原米的一半：子+y-12分 整个图象向右平移1个单位： (x-1 -+y2=1…2分 4 纵坐标变为原来的2倍：(x-1)+y2=4 C:(x-1)2+y2=4…6分 (2)C2:x2+y2=4是圆…7分 第5页共6页 设P列为融线C上在意一点，园-k,4-发P四 PB (x-m'+(y-n°=k2(x-s)2+(y-p)） x+y2-m,-2p-,m+m2+p】 1V= k2-1 k2-1 k2-1 …9分 ∴点P的轨迹是圆 ,P为曲线C,上任意一点 .两圆必为同一圆…11分 「-2(k2s-m） =0 k2-1 -2(kp-m-0 k2-1 (m2+r）R(s2+p）4 k2-1 .k2s=,k2p=n…12分 (m2+2)-2(2+p2） k2-1 +6+p）.26+p4…13分 k2-1 S,p∈N' s2≥1，p2≥1 .2=4 ≤2…14分 52+p2 k>1k2>1 5=p=1k2=2 .m=n=2…15分 A(2,2),B(1,1)…16分 2=32- 1=31- t=…17分 3 第6页共6页2026-2027学年高二上学期期中考试 数学试题 说明：1.测试时间：120分钟总分：150分 2客观题涂在答题卡上，主观题答在答题卡的相应位置上 第I卷(58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.经过A(-3,-6),B(-3,5)两点的直线的倾斜角是() A.-30 B.60 C.90 D.120 2.如图，在空间四边形P-ABC中，PA+AB-CB=（) A.PA B.PC C.AB D.AC 3.两平行直线1：x-2y-V10=0,l2:4y-2x-3M0=0之间的距离为() A.2√2 B.3 C.5 D.52 2 4.如图，在平行六面体ABCD-ABCD'中，AB=3,AD=2,AA'=3, ∠BAD=∠BAA'=∠DAA=60°，则|AC'I的长为() A.V43 B.V134 2 C.V22+21V3 D.V130 2 5.“点M到两坐标轴距离相等”是“点M在曲线y=x上”的() A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件 6.如图，在正三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M是线段PG上的一点，且 PM=3MG,记PA=a,PB=b,PC=c,则AM=() A.3a+26+c 1x1 3.11 B.-二a+。b+d 444 434 111 M C.4ā+4b+49 b+-c A---4 7.圆C:x2+(y-3)2=5与圆C2：x2+y2-8x+10=0的位置关系为() A.相交 B.外切 C.外离D.内切 第1页共4页 8.已知空间向量a=(0,2,1),=(m,n,-2),若a∥b,则m+n=() A.-2 B.-4 C.2 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. x2,22 9.已知曲线C:g二大十3+k=1k∈)，则下列命题错误的是(） A.若-3<k<9,则C为椭圆 B.若k<-3或k>9,则Ck表示双曲线 C若C为椭圆，则C与椭圆。+？三1有相向的焦距 D.若Cs为双曲线，则C与双曲线 x y -=1有相同的焦距 93 10.下列说法正确的是() A.直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2,4) B.直线3x-y-1=0在y轴上的截距为1 C.过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0 D.直线x+√3y+1=0的倾斜角为120 11.在正方体ABCD-AB,CD,中，下列结论正确的有() A.AA是平面AB,CD的一个法向量 B.ACAC是平面BDDB,的一个法向量 C.AC⊥BC D.AC⊥BD 第Ⅱ卷(92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知精圆方程为号+y=1,且椭圆内有一条以点P,司为中点的弦B,则弦仙 所在的直线1的方程是 第2页共4页 3 13.已知双曲线的渐近线方程为y=士二x,则此双曲线的离心率的是 14.已知直线AB过点A(-1,2,3),它的一个方向向量为m=(1,2,1),则点C(1,3,5)到直 线AB的距离为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)求证： 以A(x,),B(2,y2)为直径端点的圆的方程是：（x-x)(x-2)+(y-片)y-y2)=0. (2)在平面直角坐标系内，动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求点P的 轨迹方程. 16.(15分) (1)在空间直角坐标系中，点M的坐标(x,y,z),即为向量OM的坐标，设空间中两个 向量a,b满足a=(1,h,z1),b=(x2,2,22).求证：ab=x1x2+yy+z122 (2)如图，长方体ABCD-AB,C,D的底面ABCD是正方形，点E在棱A4上，BE⊥EC (i)证明：BE⊥平面EB,C: D (i)若AE=AE,求二面角B-EC-C的正弦值. A 17.(15分) 平面直角坐标系中，F(-c,0),F(c,0),，动点P满足PF+PF=2a,其中a>c>0. 设a2-c2=.(1)求证：点P的轨迹方程是二+ +6 =1(a>b>0) ⊙设曲线C兰茶-o>6>0,过点5e0的直线7与南线C相交于4，日两点 直线1的倾斜角为60°，A=2F,B.求9 a 第3页共4页 18.(17分) 厅半中形举品于华了S0S-6C0 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=√5， 点F是PB的中点，点E在边BC上移动. (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF; (3)当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°. 小8共醒本：酸战， 的东要目醒含研显 19.(17分) 平面直角坐标系中，将曲线二+y-1上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半。 16 然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线C· (1)求C的方程. (2)C的图象向左平移1个单位得到曲线C2,曲线C:y=3x-t，A(m,n), B(s,p)(m,n,S,p∈N)为曲线C上的两点，使得曲线C2上任意一点到点A的距离与到点B 的距离之比为定值(k>),求t. 第4页共4页