辽宁省实验中学2026-2027学年上学期高二期中阶段测试数学试题

辽宁省实验中学2026年秋季学期期中阶段测试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人、校对人：高一数学组 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.过点(L,4)的直线的方向向量为m=(1,2),则该直线方程为( A.2x-y+2=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0 D.x+2y-10=0 2.己知三棱锥P-ABC中，设AB=a,AC=b,P=c,O为BC中点，则O=() A.-a-8+c B.a+b+ 3.直线x+2y+1=0被圆(x-2)2+(y-)?=25所截得的弦长等于( A.25 B.3W5 C.4W5 D.55 4.在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=1,M=反，则异面直线AD,与DB所成角 的余弦值为() A. 6 B.-5 c.5 D.- 6 5.己知A(山，-2)，B(2,),直线1：x-2ay-2a=0上存在点P,满足P小+PB=而，则1 的倾斜角的取值范围是( A[别B.([经c.匠 .[] 6.己知AB是圆0：x2+y2=4的直径，M,N是圆O上两点，且∠MON=120,则 (OM+OW)-AB的最小值为( A.-45 B.-4 C.-85 D.-8 7.如图，己知AB和CD是圆O的两条互相垂直的直径，将平面ABC沿AB翻折至平面 ABC,使得平面ABC⊥平面ABD,此时直线AB与平面CBD所成角的余弦值为() 数学试卷，共4页，第1页 A. B. 3 c. D. 5 2 8.已知点P是圆C:(x-2)'+y2=4上一点，直线1：x-y-k+1=0与圆C相交于A,B 两点，则PA+P的最大值为( A.2+V2 B.2+25 C.4+√2 D.4+2W2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.己知P,乃分别是椭圆C:亡+上=1的左，右焦点，P为椭圆c上的动点，则下列 95 结论正确的是( A.△PFF的周长为10 B.△PFF2面积的最大值为2√5 C.IPFI的最小值为1 D.椭圆C的焦距为6 10.己知直线：mx-y+2+m=0和圆C:(x-1)2+y-2)2=9相交于M,N,下列说法正 确的是（) A.直线1过定点(-1,2) B.若圆C关于I对称，则m=1 C.CM.CN的最小值为-9D.因C上到直线！的距离为的点拾好有三个则m=3 11.已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为4，E为CC的中点，P是B,C上的动点，则() A.AD,⊥B,C B.平面AD,E截正方体ABCD-AB,CD的截面面积为36 C.AP+C,P的最小值为4V2+√互 D.过AE作正方体ABCD-48CD的外接球的截面所得截面圆的面积的最小值为100m 数学试卷，共4页，第2页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在空间直角坐标系中，己知a=(2,2-),b=(-1,3,1),则a、b夹角的余弦值是 13.设万，乃分别为椭圆二+上=1的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段P听的中点在y 95 轴上，则 的值为 PF 14.圆M的方程为(x-2-5cos'+(y-5sin日)=1(0eR),圆C的方程为 (x-2'+y=4,过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF,切点分别为E、 F,则PE.PF的最小值为 四、解答题（本愿共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)己知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求： (I)BC边上中线AD所在直线的方程： (2)BC边的垂直平分线DE的方程 16.(15分)如图所示，在直三棱柱BC-4B,C中，AB1AC,AB=AC=2, M=4,点D是BC的中点. (1)求异面直线AB与C,D所成角的余弦值： (2)求平面ADC与平面ABA夹角的正弦值. 数学试卷，共4页，第3页 17.(15分)已知圆C:(x-2)2+y-)2=4. (I)过点P(6,3)向圆C作切线1，求切线1的方程： (2)若2为直线：x-y+6=0上的动点，过2向圆C作切线，切点为M,求2M的最小值. 18.(17分)己知等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2D=2CD=4,P为AB的中 点，AC与DP交于点O(如图1).将AACD沿AC折起到△ACD位置，使得二面角 D-AC-P为直角（如图2）. (I)求平面ABD'与平面BDC所成角的余弦值 (2)设点2为线段PD'上的动点（包含端点）， 图1 图2 直线C2与平面ABD'所成角为B,求sin8的取值范围. 19.(17分)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内 到两个定点瓜B的距离之比为定值1（1>0且1≠1)的点所形成的图形是圆.后来， 人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.己知在平面直角坐标 系xOy中A(-1,0),B(4,0),点P满足P=2PA. (I)求点P的轨迹方程CG (2)过点A作直线/交轨迹C于点N交y轴于点卫. ①若MM=2AW,求直线/的方程： ②若QM=2MA,QN=μNA,试探究1+μ是否为定值，若是，求出该定值：若不是， 请说明理由 数学试卷，共4页，第4页辽宁省实验中学2026年秋季学期期中阶段测试 高二年级数学试卷答案 1.A2.C3.C4.A5.B6.D7.A8.D 9.ABC 10.AC.11.ACD 12. v11 11 13. 5 14.6 15.(1)B(2,1),C(-2,3),D为BC的中点，.点D的坐标为(0,2)， 又BC边的中线AD过点A(-3,0),D(0,2)两点， (3分) 由截距式得AD所在直线方程为+)=1，即2x-3y+6=0. (6分) -32 、(2)BC的斜率k三)二2=-，则BC的垂直平分线DE的斜率飞=2， (9分) 由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0. (13分) 16.(1)由题意AA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以A4⊥AB,A4⊥AC,AB1AC, 如图，以A为坐标原点，AB,AC,A4所在直线分别为x轴，y轴，二轴建系.(2分) C 由题意容易写出以下点的坐标：A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,4),A(0,0,4),D(1,1,0). 所以AB=(2,0,-4),GD=(1,-1,-4)所以cos(4B,C1D)= AB.CD 183W10 A5C可2W5x3W510 因为异面直线所成角的范围是 所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 310 (7分) 10 (2)AC=(0,2,4),AD=(11,0),设面ADC1的一个法向量为i=(x,y,z) i:AC1=0m「2y+4z=0 由 x+y=0，令：=1，得x=2,y=-2, ,得 (9分) AD=0 数学试卷，共4页，第1页 则i=(2,-2,1).又平面ABA的一个法向量是AC=(0,2,0), (11分) 设平面ADC与平面ABA夹角的大小为B, 所以c0s6=kos(4C, Ac列_-4 所以so= (15分) 3 所以平面ADC,与平面ABA夹角的正弦值为y 3 17.(1)圆C:(c-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2, 若直线l的斜率不存在，则直线1：x=6,圆心到直线1的距离为4≠r,不合题意： 若直线1的斜率存在，设直线：y-3=k(x-6),即x-y+3-6=0, 2-4k 由题意可得： Vk2+1 2,整理可得32-4h=0,解得k=0或k=4 则直线1的方程为y=3或4x-3y-15=0: 综上所述：切线l的方程为y=3或4x-3y-15=0. (8分) e国心c2到直袋my46-e更d方，则p行 因为-图4：厘.所的小位为 (15分) 2 2 18.(1)如图1，连接PC,由已知AP/CD且AP=CD,所以APCD是平行四边形， 而AD=CD,从而APCD是菱形，所以AC⊥DP, 同理DPBC是平行四边形，所以DP=BC=AD=AP，,△APD是等边三角形， D0=OP=1,AO=√3=OC,图2中，DO⊥AC,PO1AC, 又因为平面DAC⊥平面PAC,平面DAC∩平面PAC=AC,DOC平面DAC, 所以D'O⊥平面PAC,因为OPc平面PAC,D01OP, (4分) 以O为原点，OA,OP,OD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(3,0,0),P0,1,0),C(√3,0,0)，B(√3,2,0)，D(0,0,1 AP=(←5,10)，PD=(0,-1,1),BD=(5,-2,1),BC=(0,-2,0), 数学试卷，共4页，第2页 设平面ABD的一个法向量是m=(:,片，)， 则 mAP=-√3x+y=0 mD二-y+0,取5，则m=0V5V3 (6分) 设平面BCD的一个法向量是=(：，%，)， 则 mBD=5-2+名=0，取飞-=1，则n=.0,一3)， (8分) i-BC=-2y2=0 <元元>一票=局-一号所以面4BD与平面8DC所成角的余弦值为 (10分) ZA D P B P 图1 图2 (2)设P9=kPD=(0,-k,(0≤k≤1)，CP=(W3,1,0), CO=CP+PO=(3,1-k,, √6 9m0=as<0,m- 2W3 7 V7.√2k2-2k+4 (14分) 因为0≤k≤1，所以子k-+子≤2，所以sm0≤25 (17分) 19.(1)设P(x,),因为PB到=2PA,所以Vx+4)2+y2=2Vx+1)2+y2, 化简得点P的轨迹方程C:x2+y=4. (4分) (2)因为过点A(-1,0)的直线与y轴有交点，所以直线1的斜率存在， x2+y2=4 设直线1的方程为y=k(x+1),由 y=k(x+1) 数学试卷，共4页，第3页 消去y得1+k2)x2+22x+2-4=0,△=4k4-41+k2)(k-4)=12k2+16>0, 设M(x,y),N(s,), 2k2 圆+5仁M=(,AN=(化+山 (6分) ①因为AM=2AW,所以M=24N,所以-1-=2(2+1)，即x+2x2=-3, 2k2 =3-2 +X2= 1+k2 代入，》 2-4 3+k2） k2-4 由 1+得 3+2 1+K2, X1+2x3=-3 x2= 1+K2 解得及=+5此时直线方程：士5(：-小 (10分) ②2(0，k),则QM=(,4-),MA=(-1-x,-y),N=(5,乃-)，NA=(-1-5,-), 因为OM=MA,ON=uWA, 1+x 所以 x=(-1-x) x3=(-1-x2) ,解得 U=- 1+x2 为-x,=-1+x)+1+x)_2xx+(x+x) +业=1+1+X (1+x)1+x3) Xx2+(1+x2)+1 2.2-4 2k2 2i+e+ 1+k2 k2-4 2k2】 F4e号-为定做 2(k2-4）-2k2 -8 (17分) 1+k2 1+k2 +1 数学试卷，共4页，第4页