精品解析：四川成都市郫都区第二中学2026—2027学年度上学期期中定时训练 九年级 数学

郫都二中2026－2027学年度（上）期中定时训练九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷共6页） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号正确填涂在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． A卷（共100） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 4. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（ ） A. 27 B. 36 C. 24 D. 38 7. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，则________． 10. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中黑球有______个． 11. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 12. 采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 13. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，且，，垂直于H，则__________． 三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解下列方程 （1） （2） （3） 15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 16. 某中学举办“探非遗•品蜀韵”成都非遗文化知识竞赛，所有学生的成绩均及格，因此，将竞赛成绩x分为4个等级：A等（），B等（），C等（），D等（）．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有________人，他们成绩的中位数落在________等； （2）若竞赛成绩，学校会授予“非遗文化达人”称号，请估计全校1000名学生中获得“非遗文化达人”称号的人数； （3）九年级1班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校做非遗文化分享小讲座，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 17. 如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． （1）求证：； （2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 18. 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． （2）迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． （3）拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． B卷（50分） 一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则的值为________． 20. 如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______． 21. 若、是方程的两根，则的值为_____． 22. 如图所示，个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设的面积为，的面积为，…，的面积为，则________，________（用含n的式子表）． 23. 如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 25. 如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知，是方程的二根，则 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 26. 在四边形中，点分别是边上的点，连接、并延长，分别交的延长线于点、． （1）如图1，若四边形是正方形，，连接．求证：； （2）如图2，若四边形是菱形，，．设，求与的函数关系式； （3）如图3，若四边形是矩形，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郫都二中2026－2027学年度（上）期中定时训练九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷共6页） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号正确填涂在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． A卷（共100） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一元二次方程，先看是否整式方程；再化简整理，看未知数最高次数是否为2；同时要保证二次项的系数不能等于0． 【详解】解：A、分母含有未知数，不符合； B、未说明，不一定是二次方程，不符合； C、展开得，符合要求； D、整理得，最高次数为3，不符合． 2. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各组线段按长度从小到大排序，若最长与最短线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例，据此逐项验证． 【详解】解：A选项：线段排序为，，成比例，故本选项符合题意； B选项：线段排序为，，不成比例，故本选项不符合题意； C选项：线段排序为，，不成比例，故本选项不符合题意； D选项：线段排序为，，不成比例，故本选项不符合题意； 3. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 4. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 5. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，说法错误符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（ ） A. 27 B. 36 C. 24 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，由面积比得到相似比，推出线段比例，再求出的面积，减去面积得到四边形面积，最后加上面积得到矩形面积． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ∴． ，， ，相似比 ，， ∴， ∴， 与，高的比，底的比， ， ． ． ． 7. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 8. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，得到，根据题意无法证明出． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，故D正确， 根据题意无法证明出，故C错误． 故选：C． II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 10. 一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中黑球有______个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．首先得到摸到白球的概率为0.4，然后求出球的总个数，进而得到黑球的个数． 【详解】∵重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右， ∴估计摸到白球的概率为0.4， ∴袋中球的个数为（个）， ∴袋中黑球的个数为（个）． 故答案为：12． 11. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 12. 采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，及求出，在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，由得到的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，且，，垂直于H，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相平分且垂直得到，再利用勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解下列方程 （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， 解得：， 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， 解得：， 【小问3详解】 解：， ， ， 解得：，． 15. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根的条件，利用判别式列不等式求解m的取值范围； （2）利用根与系数的关系将转化为含m的代数式，结合已知等式列方程求解，再根据（1）中m的范围取舍结果． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， 且， ∴， 整理得， 解得，， 由（1）知， ∴不符合题意，舍去， ∴． 16. 某中学举办“探非遗•品蜀韵”成都非遗文化知识竞赛，所有学生的成绩均及格，因此，将竞赛成绩x分为4个等级：A等（），B等（），C等（），D等（）．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有________人，他们成绩的中位数落在________等； （2）若竞赛成绩，学校会授予“非遗文化达人”称号，请估计全校1000名学生中获得“非遗文化达人”称号的人数； （3）九年级1班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校做非遗文化分享小讲座，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）50，B （2）全校1000名学生中获得“非遗文化达人”的人数大约有320名 （3）恰好抽到的是一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法与树状图法求概率等知识，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法求概率是解题关键． （1）利用等级的人数除以其所占的百分比即可得本次抽取的学生人数；再求出等级的学生人数，再根据中位数的定义即可得； （2）利用全校学生人数乘以等级的学生人数所占的百分比即可得； （3）先画出树状图，从而可得班主任随机抽取两名学生的所有等可能的结果，再找出恰好抽到一名男生和一名女生的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为（名）， 则等级的学生人数为（名）， 将本次抽取的50名学生的成绩按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数落在等级， ∴他们成绩的中位数落在等级， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：样本中竞赛成绩为A等的学生人数为（名）， （名） 答：全校1000名学生中获得“非遗文化达人”的人数大约为名； 【小问3详解】 解：从两男两女中随机抽取2人，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中一男一女的有8种， 则恰好抽到的是一男一女的概率为． 17. 如图，在矩形中，E点在边上，连接，且． （1）求证：； （2）F为延长线上一点，满足，连接交于点G．若，，求矩形面积和的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）矩形的面积为10，的长为 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，因为，所以，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明． （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，求得，所以，则，推导出，再证明，得，求得，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为10，的长为． 18. 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． （2）迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． （3）拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点E作，过点H作，则，根据矩形和正方形的性质得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即可求解． （2）过点E作，过点H作，则，根据矩形的性质和得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即，结合，即可求解． （3）过点C作交的延长线于点F，根据垂直得到，再根据等腰直角三角形的性质，可证，得到，再根据，得到，即，再将代入，即可求证． 【小问1详解】 解：如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 又， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握作辅助线构造全等和相似是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用合比定理即可解题. 【详解】∵， ∴ 根据合比定理,原式===k, ∴k=. 【点睛】本题考查了合比定理,属于简单题,熟悉合比性质运算方法是解题关键. 20. 如图，在正方体的展开图形中，要将﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字互为相反数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数． 二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：将-1、-2、-3分别填入三个空，共有3×2×1=6种情况，其中三组相对的两个面中数字和均为零的情况只有一种，故其概率为. 故答案为. 【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率. 21. 若、是方程的两根，则的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系得到的值，将所求代数式拆分为可整体代入的形式计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵、是方程的两根， ∴根据根与系数的关系，， 22. 如图所示，个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设的面积为，的面积为，…，的面积为，则________，________（用含n的式子表）． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰直角三角形． 连接、、、、点，显然它们共线且平行于，不难得到、、……均为直角边长为1的等腰直角三角形，从而可得到各三角形的面积；接下来证明，于是得到，从而求得，同样的方法可得，于是可求得的值，同理可求得，于是可求得的值． 【详解】∵个边长为1的等腰三角形有一条边在同一直线上， ∴， 连接、、、、点，显然它们共线且平行于， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且边长为1， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， …… ∴． 故答案为：； 23. 如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质，取中点F，连接，证明，得出，则，根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ， 点D在以C为圆心为半径的圆上运动， 取中点F，连接， ， ， ， ， ， 当共线时，最小， ， 的最小值为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】（1）四、五月份销售量平均增长率为； （2）商品降价5元时，商场获利2250元 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，那么四月份的销量为，五月份销量为，根据题意列出方程求出x的值即可； （2）设商品降价m元，那么销量为件，每件的利润为元，利用销量每件商品的利润列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 答：四、五月份销售量平均增长率为． 【小问2详解】 解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 答：商品降价5元时，商场获利2250元． 25. 如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知，是方程的二根，则 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值； （2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值； （3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵，是方程的二根， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴、是方程的解， ∴， ∴， ∵是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数的最小值是； 【小问3详解】 存在，当时，．理由如下： ∵， 由①得：， 由②得：， ∴，即， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 则， ∵和是关于，的方程组的两个不相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法． 26. 在四边形中，点分别是边上的点，连接、并延长，分别交的延长线于点、． （1）如图1，若四边形是正方形，，连接．求证：； （2）如图2，若四边形是菱形，，．设，求与的函数关系式； （3）如图3，若四边形是矩形，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 同理， ，， ，， ∵，， ，， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，求得，同理，根据平行线的性质得到，，等量代换得到，，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，同理，根据相似三角形的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质得出比例式，代入数据计算即可求解； （3）如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接，证明得出，进而根据平行线分线段成比例得出，得出四边形是正方形，由（2）可得：，进而求得，进而求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 同理， ，， ，， ，， ， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：. 【小问3详解】 解：如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接， ， ， ， ∵是中点， ， ，，， ， ， ，， ∴， ， ， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形，且，， 四边形是正方形， ， 四边形是正方形，且，由（）可得：， ， ，， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $