精品解析：湖北部分学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

高二数学试卷 考试时间：2025年11月13日 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【详解】，平行于轴，倾斜角为. 2. 已知，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的几何性质求解． 【详解】由得，得， 则，而，得，得， 故椭圆的离心率为． 4. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 5. 有2个人在一座9层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，两人从9层大楼的底层进入电梯，自第二层开始在各层离开，因此每人可选择的离开楼层为第2层至第9层，共8个楼层， 由于两人选择离开楼层的行为相互独立，所有等可能的基本事件总数为种， 记事件为“两人在不同层离开电梯”，其对立事件为“两人在同一层离开电梯”， 事件包含的基本事件为两人共同选择第2层至第9层中的任意一层，共8种情况，因此， 根据对立事件的概率公式，可得. 6. 如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】以为坐标原点，以的正方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点到平面的距离． 7. 台风中心从地以每小时 的速度向西北方向移动，离台风中心 内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）小时． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设台风移动路线为射线，台风移动方向与正西方向的夹角为，， 点到直线的距离：， 危险半径， 台风路线在危险圆内的弦长： ， 台风速度， ，所以时长为小时. 8. 已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为．若已知，，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出坐标，写出直线方程，设与平行的椭圆切线，联立椭圆方程，利用判别式等于求出切线参数，再用平行线间的距离公式求点到直线的距离，结合三角形面积最大值求出的值；验证是椭圆焦点，得到，再用乘1法配合基本不等式求的最小值. 【详解】由椭圆方程，可得，. 直线的斜率，直线的方程为. 当的面积最大时，过点的切线与直线平行，设切线方程为. 联立，整理得. 由，得，解得. 分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为. 直线整理为，切线整理为，两条平行线之间的距离 . 又，所以. 已知最大值为，所以，解得. 所以、分别为椭圆的左、右焦点， 所以. 当且仅当时，即时取等号. 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的方向向量为，则 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引切线，为切点，则的最小值为2 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A：截距相等包含两种情况：截距都为和截距不为， 当截距不为时，设，代入，得，方程， 当截距都为时，直线过原点，设，代入，得， 所以直线有两条，A错误； 对于B：直线，斜率，方向向量可以取，故，B错误； 对于C：圆， 整理为，圆心，半径， 圆， 整理为，圆心，半径， 两圆恰有三条公切线，说明两圆外切，圆心距， 外切条件：，即，，，C正确； 对于D：圆，圆心，半径， ， 最小值是圆心到直线的距离，， ，D正确. 10. 已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，相互独立，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件性质可判断AB；再由相互独立事件性质可判断CD. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若为互斥事件，则， 所以，故B正确； 对于C，若相互独立， 则，故C正确； 对于D，若相互独立， 则，故D错误 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用等体积法即可求得三棱锥的体积为定值；B选项，建立空间直角坐标系，设， 根据空间向量由面面平行可得，即可进行判断；C选项，根据空间向量法表示线面角，即可求解； D选项，先作出平面截正方体所得截面，在直角三角形中求解线段长度，即可求解. 【详解】对于A：为定值，故A正确； 对于B：如图建立空间直角坐标系，则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，因为，设，故， 则，又，得，不合题意，故B错误； 对于C：易知平面的法向量为，则， 当时，取到最小值为，此时取到最大值，故C正确； 对于D：在上取一点，使得，在上取一点，使得，连接， 则平面截正方体所得截面为五边形，如下图所示： 易得，，，， 所以， ， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把椭圆的方程化为标准形式，列出不等式即得. 【详解】由题意，方程可化为， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到白球的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出从5个球中采用不放回的方式从中依次取出2个球的基本事件总数，再求出第二次取到白球的基本事件个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】一个口袋中装有2个白球，3个绿球，采用不放回的方式从中依次取出2个球的基本事件总数为5×4=20种 第二次取到白球的基本事件个数为： 所以第二次取到白球的概率为 故答案为： 14. 如图所示，两个正方形框架，的边长都是，二面角的大小为，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．的长最小值为_____，此时平面与平面夹角的余弦值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用参数写出坐标，写出距离的表达式，配方求最小值以及对应的；取中点，由等腰三角形性质得到，，为两平面夹角，用向量点积公式计算夹角余弦值即可. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，的长度都是. ，可得，. ， 当且仅当时，取得最小值. 当时，，，分别是正方形的中心，取的中点，则. 由，，得，. 所以是平面与平面的夹角或其补角. ，. 所以此时平面与平面夹角的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线 （1）若直线垂直于直线，求实数的值； （2）当时，求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1）实数的值为 （2）点关于直线的对称点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由直线垂直于直线，利用两条直线垂直的公式求解； （2）利用两个对称点的中点在直线上，就将点代入直线，且，斜率之积为，得到两个关于的横纵坐标的等式，计算求解. 【小问1详解】 直线， 直线，斜率。 直线垂直于直线， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 直线代入， 得到直线的方程为， 即， 解得， 设点关于直线的对称点， 则中点在直线上，即， 且，直线斜率，则， 从而得到方程组为， 整理得到，解得， 则点关于直线的对称点的坐标为. 16. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包．先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元、元、元的球分别有个、个、个．参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次．规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额． （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2） 事件，不相互独立. 当时，“甲员工获得的生日红包总金额为元或元”， 因为，， 所以. 事件“甲员工获得的生日红包总金额为元、元或元”， 因为，所以， 事件的对立事件为“甲员工获得的生日红包总金额为元”， 所以， 所以， 所以事件，不相互独立. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型和互斥事件的概率加法公式可得； （2）利用古典概型概率公式求出，然后根据独立事件的定义直接判断即可. 【小问1详解】 即只摸次球， 生日红包总金额不低于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的生日红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的生日红包总金额不低于元的概率为. 【小问2详解】 略. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率的定义、椭圆中和点在椭圆上列方程求解即可. （2）设的横截式方程，根据表示的面积并求其最大值. 【小问1详解】 由题意可知，， 解得， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 左焦点，右焦点，. 易知轴或斜率存在且不为，可设方程为， 与联立得， ， 设，，则，， 的面积 ， 当且仅当即时，的面积取最大值. 18. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，求与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明：平面平面且交线为，矩形中， 平面.、平面，，. 又，、、两两垂直. 以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，取，则. ，，又平面，平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面平行； （2）求法向量，用向量法求两个平面的夹角； （3）设，用向量法求直线与平面的夹角并分析取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，取，则. 设平面与平面的夹角为， 则. 【小问3详解】 设，则，. 设与平面所成角为， 则， ，， ，. 19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． （1）时，求直线、的方程（点在点上方）； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 【答案】（1）的方程为，的方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可写出切线方程； （2）根据（1）可得，从而得到以为圆心，为半径的圆的方程，即为两圆的公共弦所在的直线方程，进而得到过定点，设出中点，即可得到点轨迹是以为直径的圆，即可求解； （3）利用圆心到直线的距离等于半径得到，结合韦达定理，即可表示，进而可求最小值. 【小问1详解】 圆，即，则圆的圆心，半径. 当时，， 设过点的直线方程为，即， 因为过点的直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得：，解得或， 因为在上面，所以的方程为，的方程为， 故的方程为，的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心，半径，又， 则，， 所以， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 显然线段为圆和圆的公共弦， 则直线的方程为，即， 由，得，所以直线恒过定点， 设的中点为，当不重合时，则始终垂直于， 所以点的轨迹为以为直径的圆（除去点）， 又，，故该圆圆心为，半径为，且不经过， 所以点的轨迹方程为， 故线段中点的轨迹方程为. 【小问3详解】 设切线方程为，即， 故圆心到直线的距离， 整理得：， 设的斜率分别为，则， 把代入，得， 则， 故当时，取得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 考试时间：2025年11月13日 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 有2个人在一座9层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 台风中心从地以每小时 的速度向西北方向移动，离台风中心 内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）小时． A. B. C. D. 8. 已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为．若已知，，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的方向向量为，则 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引切线，为切点，则的最小值为2 10. 已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，相互独立，则 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面平面 C. 设直线与平面所成角为，则的最大值为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________． 13. 一个袋子中有2个白球，3个黑球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到白球的概率为_______． 14. 如图所示，两个正方形框架，的边长都是，二面角的大小为，活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．的长最小值为_____，此时平面与平面夹角的余弦值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线 （1）若直线垂直于直线，求实数的值； （2）当时，求点关于直线的对称点的坐标． 16. 某公司拟通过摸球抽奖的方式对员工发放生日红包．先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元、元、元的球分别有个、个、个．参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次．规定：某员工摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的生日红包的总金额． （1）当时，求甲员工所获得的生日红包总金额不低于元的概率； （2）当时，设事件“甲员工获得的生日红包总金额不超过元”，事件“甲员工获得的生日红包总金额不低于元”，试判断事件，是否相互独立，并说明理由． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值． 18. 如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）点在线段上，求与平面所成角的余弦值的取值范围． 19. 如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，． （1）时，求直线、的方程（点在点上方）； （2）求线段中点的轨迹方程； （3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $