精品解析：内蒙古呼和浩特市第一中学初中部2026-2027学年八年级上学期期中数学卷

呼市一中初中部 2026-2027 学年度第一学期第二次节点作业 八年级数学 满分 100 分 时间 90 分钟 一、单选题 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 对顶角相等 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 在三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 二、填空题 9. 七（1）班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积是，宽为，则这个“学习园地”的长为_______． 10. 如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________． 11. 如图，在等边和等边中，点在的延长线上，则的度数为_____________． 12. 如图，在中，，，点D在上运动，E是上一定点，将沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 三、解答题 13. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中，． 14. 如图，在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为，，． （1）作关于x轴对称的，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点，，的坐标； （2）计算的面积． 15. 如图，点D是上的一点，交于点，点是的中点，，求证：． 16. 如图是某酒店的一层办公用房的平面结构示意图（长度单位：m），注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． （1）用含的式子分别表示会客室的面积为 ，会议厅的面积为 ． （2）如果，，会议厅比会客室大多少？ 17. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 已知：如图，在中，． 求证：． 18. 如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； （2）【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． （3）【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼市一中初中部 2026-2027 学年度第一学期第二次节点作业 八年级数学 满分 100 分 时间 90 分钟 一、单选题 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】比较每组较短两边之和与最长边的大小即可判断． 【详解】解：∵， ∴能围成三角形； ∵，，， ∴不能围成三角形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 与不是同类项，无法合并， ∴ A选项错误； ∵ ， ∴ B选项正确； ∵ ， ∴ C选项错误； ∵ ， ∴ D选项错误． 4. 下列命题中，逆命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应边相等 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【详解】A、原命题的逆命题为“若，则”． ∵当，时，但， ∴该逆命题是假命题． B、原命题的逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． ∵和的绝对值相等，但， ∴该逆命题是假命题． C、原命题的逆命题为“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”，该逆命题是真命题． D、原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”． ∵等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角， ∴该逆命题是假命题． 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 6. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作一个角等于已知角的方法得到，利用””可得出和全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出． 【详解】解：由作图可得，，， ∴， ∴． 综上所述，全等的依据为””． 7. 在三角形中，若有两个角的平分线都垂直于对边，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】如图：设在中，的平分线，的平分线，证明可得，同理，则，即可判断的形状． 【详解】解：如图：设在中，的平分线，的平分线， ∵平分， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理， ∴，即为等边三角形． 8. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 二、填空题 9. 七（1）班墙上的“学习园地”是一个长方形，它的面积是，宽为，则这个“学习园地”的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】用长方形的面积除以其宽即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个“学习园地”的长为． 10. 如图，在四边形中，，若平分，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，利用角平分线的性质证明，进一步利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵，平分， ∴， ∵， ∴的面积为. 11. 如图，在等边和等边中，点在的延长线上，则的度数为_____________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得，，，，证明得，再根据可得答案． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 12. 如图，在中，，，点D在上运动，E是上一定点，将沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当点F在的右边时，当点F在的左边时，分别利用平行线的性质求出的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：①如图，当点F在的右边时， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点A的对应点为F，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点F在的左边时， ∵，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 三、解答题 13. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）； （2）； （3），． 【解析】 【分析】先计算乘方运算，再计算单项式乘法，最后合并同类项； 先计算多项式乘法、多项式除以单项式，再合并同类项； 先化简整式得到最简形式，再把，代入即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当，时，原式． 14. 如图，在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为，，． （1）作关于x轴对称的，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点，，的坐标； （2）计算的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． ，， （2）5 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接起来即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 【点睛】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 15. 如图，点D是上的一点，交于点，点是的中点，，求证：． 【答案】 证明：点是的中点， ， ， ，，  在与中，  ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，平行线的性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 先证明，，，从而可得结论． 【详解】略 16. 如图是某酒店的一层办公用房的平面结构示意图（长度单位：m），注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． （1）用含的式子分别表示会客室的面积为 ，会议厅的面积为 ． （2）如果，，会议厅比会客室大多少？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，已知式子的值，求代数式的值等知识． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：由图形得，会客室的长为，宽为， ∴会客室的面积为； 会议厅的长为，宽为， ∴会议厅的面积为； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ． 答：会议厅比会客室大． 17. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 已知：如图，在中，． 求证：． 【答案】 证明：如图，取的中点，连接. 是边上的中线， . ， . 是等边三角形． . ， . . 【解析】 【分析】本题考查的是证明直角三角形的角和等边三角形的判定，熟练掌握直角三角形角的性质的证明是关键． 取中点，连接，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出等边三角形，求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】略 18. 如图①，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． （1）与的数量关系为__________，与构成的锐角夹角的度数是__________； （2）【探究发现】 在（1）的基础上，延长至点，使，连接，，如图②所示，求证：平分． （3）【拓展延伸】 如图③，在等边中，为边上一点，为上一点，且，，求． 【答案】（1），； （2）证明：由（1）可知，， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 平分； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，得出，，进而得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 （1）解：如图①，是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 设， 在等边中，， 又， ， ， ， 又，则， 同理可得，，又， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $