精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试题

2026-2027学年第一学期八年级数学期中教学质量数据检测 满分：100分，限时：60分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 6. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 7. 如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点M、P，交于点Q，连接．下列结论①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中结论正确（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为_____． 10. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______． 11. 如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为21，则的面积为_____． 12. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）写出，，的坐标（直接写出答案） ； ； ； （3）在轴上找出一点，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹）． 14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，，，设的周长是x． （1）求c与x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数，试判断的形状． 15. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 16. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 17. 如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 18. 问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． （2）问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级数学期中教学质量数据检测 满分：100分，限时：60分钟 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿这一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形， B选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；根据证明，再由全等三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴ ∴， 故选：C． 3. 已知三角形三边为、、，其中、两边满足，那么这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围． 【详解】解：根据题意得：，， 解得，， 因为是最大边，所以， 即． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，然后解不等式即可． 4. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 5. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ） A. 25 B. 22 C. 19 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得HQ=PQ=2，从而求出MQ，即可解决问题． 【详解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM， ∴∠NQH=∠NRP=∠HRM=90°， ∵∠RHM=∠QHN， ∴∠PMH=∠HNQ， 在△MQP和△NQH中， ， ∴△MQP≌△NQH（ASA）， ∴HQ=PQ=2， ∴QN=QM=MH+QH=5， ∴PN=PQ+QN=7， 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 7. 如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ， 是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，点A、B、C在一条直线上，均为等边三角形，连接和，分别交于点M、P，交于点Q，连接．下列结论①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中结论正确（ ）个． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，先根据等边三角形的性质证明，可说明①②，并根据全等三角形的性质得，再根据，即可证明③，然后根据“角边角”证明，可得，说明④即可；最后根据说明⑤． 【详解】∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 可知①②正确； ∵， ∴． ∵， ∴． 可知③正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形． 可知④正确； ∵， ∴． 可知⑤不正确． 正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的 判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______． 【答案】：270° 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出∠1+∠2的度数． 【详解】∵在直角三角形中， ∴∠5=90°， ∴∠3+∠4=180°−90°=90°， ∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°， ∴∠1+∠2=360°−90°=270°， 故答案是：270°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为360°，是解题的关键． 11. 如图，D是的边上任意一点，，，分别是，，的中线，若的面积为21，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 根据三角形的中线平分面积进行计算即可． 【详解】解：∵E、F分别是线段、的中点， ∴分别为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示（见详解），过A和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：如图所示，过A和分别作于，于，即， ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与直角三角形的综合运用，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）写出，，的坐标（直接写出答案） ； ； ； （3）在轴上找出一点，使的值最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）；； （3） 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，再在坐标系中描出，最后顺次连接即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可； （3）如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，，， 故答案为：；；； 【小问3详解】 解：作点B关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，则点P即为所求． 14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，，，设的周长是x． （1）求c与x的取值范围； （2）若x是小于18的偶数，试判断的形状． 【答案】（1）， （2）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【小问1详解】 解：（1）因为，， 所以． 故周长x的范围为． 【小问2详解】 （2）因为周长为小于18的偶数， 所以或． 当x为16时，； 当x为14时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上，△ABC是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键． 15. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，据此证明即可． （2）利用全等三角形的性质，线段的和差关系直接代值求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 16. 如图，在△ABC的边AB，AC的外侧分别作等边△ABD和等边△ACE，连接DC，BE． （1）求证：DC＝BE； （2）若BD＝3，BC＝4， BD⊥BC于点B，请求出△ABC的面积． 【答案】 （1）证明： ∵等边△ABD和等边△ACE ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60° ∴∠DAC＝∠EAB ∴△DAC ≌△BAE ∴DC＝BE （2）3 【解析】 【分析】⑴根据等边三角形的性质得AB=AD,AE=AC, ∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC,根据SAS证得 △ABE≌△ADC,得到DC=BE. ⑵过点A作AH⊥BC于H ，BD⊥BC，得到∠ACB=90°-∠ABD=90°-60°=30° 2AH=AB,得出AH,BC已知，根据三角形面积即可求出. 【详解】（1）略 （2） 过点A作AH⊥BC于H ∵BD⊥BC ∴∠DBC＝90° ∵等边△ABD ∴∠DBA=60° ，AB=BD=3 ∴∠ABC＝30° ∵AH⊥BC ∴AH＝ ＝ ∴△ABC的面积＝ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质全等三角形的判定定理及性质的应用，直角三角形中，30°角对应的边是斜边的一半. 17. 如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点，已知点P在线段上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段和的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且和恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】（1）厘米，（厘米） （2），或， 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的性质，解题的关键是行程问题的数量关系的运用及利用全等三角形的性质找到等量关系式． （1）根据路程=速度时间，即可得的长度，再根据，即可得的长度； （2）先表示出，，，分类讨论当和时的情况，再根据全等三角形对应边相等，列出等式，即可计算出对应的a和t的值． 【小问1详解】 解：由题意得，（厘米）， （厘米）． 【小问2详解】 解：由题意得厘米，厘米，厘米， ∵点D是的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴． 当时，则，， ∴，， ∴，； 当时，则，， ∴，， ∴， 综上所述得，，或，． 18. 问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． （2）问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： 作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $