精品解析：北京市昌平区第二中学2026-2027学年度高一上学期期中数学试题

昌平二中2026-2027学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题中选出符合题目要求的一项．） 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以，由图可知阴影部分为. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 因此该命题的否定为：，. 3. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用比较法，结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，，所以， 因此由，所以本选项结论不正确； B：因为，所以由，所以本选项结论不正确； C：因为，所以由，所以本选项结论正确； D：， 因为，，且， 所以， 所以，所以本选项结论不正确. 4. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用奇函数的定义判断奇偶性，再使用一元二次函数和指数函数的图象与性质判断单调性. 【详解】在上单调递减，选项A错误； ，函数定义域为，令， ，故函数为奇函数，且在上是增函数，选项B正确； 不满足，不是奇函数，选项C错误； 图象关于轴对称，不是奇函数，选项D错误. 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断. 【详解】因为与均在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，， 所以的唯一零点在内. 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数， 例如函数，此时，满足， 但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件. 必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，求出，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 则，且方程的两根为和， 所以，解得， 所以，即为，即， 解得，所以不等式的解集是. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 9. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用分段函数和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 10. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】使用函数定义域的方法求解. 【详解】解得且，则的定义域为. 12. 求值：______. 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 若，则函数的最小值为________，此时________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简函数解析式，使用基本不等式求解. 【详解】，， 当即时等号成立，所以的最小值为1，此时. 14. 设函数．若a＝－1，则的最小值为________；若是函数的最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】分别求出函数在时和时的最小值，进而求得函数的最小值；根据是函数的最小值，则，且小于等于时函数的最小值，最后求出答案. 【详解】a＝－1时，，当时，，当时，，则的最小值为0； 是函数的最小值，当时，，则，且最小值为， 当时，， 于是. 故答案为：0，. 15. 对于函数定义域中任意的有如下结论： ①； ②； ③； ④. 当时，上述结论中正确结论的序号是___ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据指数的运算，判断①②,由指数函数的单调性判断③，再结合均值不等式判断④. 【详解】由,利用指数函数的性质， ，正确； ，不正确； 因为是R上的增函数，所以，正确； ， ，正确． 故答案为：①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合， （1）当时，求，： （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或； （2）实数的取值范围为。 【解析】 【分析】（1）由集合间的运算求解； （2）由集合的交集运算及分类讨论求解． 【小问1详解】 ， 当时，， 则，或， 则或． 【小问2详解】 因为，，而， 则当时，则，得， 当时，则，由， 得或， 得或， 则或， 综上知，实数的取值范围为． 17. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，判断并证明函数的单调性； （3）对任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数是奇函数； 证明：函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2） 函数在上是单调递增函数 证明：任取，且， ， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上是单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可得结论并进行证明； （2）根据函数单调性的定义即可进行判断和证明； （3）根据函数的奇偶性以及单调性可求出在上的最大值，结合不等式恒成立，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值， 又因为对任意都有成立， 所以，即的取值范围为. 18. 已知函数且． （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； （3）若方程有三个实数解，求实数的取值范围．（直接写出结论） 【答案】（1）； （2） 值域：；单调递增区间：；单调递减区间：； （3）； 【解析】 【分析】（1）利用条件，由内向外计算即可； （2）分别画出两段函数图像，注意断点处的实心和空心；两段函数值域的并集即为整个函数的值域；根据函数图像与性质即可得到单调区间； （3）方程等价于，从图像上看即直线与函数的图像有三个不同的交点，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由已知可得，则，解得， 所以； 【小问2详解】 当时，；当时，； 综上，函数的值域为； 当时，单调递增，所以单调递增区间为；当时，的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 由图像可知，当时，方程有三个实数解，故实数的取值范围为． 19. 某生态农场计划种植甲、乙两种特色作物，根据农业技术评估与预测：甲种作物的种植面积为亩时，收益为（万元）；乙种作物的种植面积为亩时，收益为（万元）．现在该农场有亩土地用于种植甲、乙两种作物，其中甲种作物的种植面积为亩． （1）请把甲、乙两种作物的总收益（万元）表示为的函数，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，如何分配种植面积使农场获得的总收益最大？最大总收益是多少万元？ 【答案】（1）总收益函数为，定义域为； （2）当甲种作物种植12亩、乙种作物种植88亩时，总收益最大，最大总收益为34万元。 【解析】 【小问1详解】 乙种作物的种植面积为亩， 总收益为：， 由且，得定义域为． 答：总收益函数为，定义域为． 【小问2详解】 ， 因为，所以， 由基本不等式得，， 当且仅当，，即时，等号成立， 此时， 此时乙种作物种植面积为亩． 答：当甲种作物种植亩、乙种作物种植亩时，总收益最大，最大总收益为万元. 20. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意0和是方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）由题意不等式对于任意实数恒成立，然后按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可； （3）不等式化为，按照、、、和分类讨论，解不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意知，0和是方程的根，且， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由题意知，不等式对于任意实数恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，要使不等式恒成立，则需， 即，解得； 综上，的取值范围为 【小问3详解】 由，则，即. 当时，不等式可化为，即，解集为， 当时，不等式化为，所以， 则不等式的解集为； 当时， ①当时，，不等式化为，所以，其解集为； ②当时，，不等式的解为或， 其解集为或； ③当时，，不等式的解为或， 其解集为或. 综上所述，当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为. 21. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质． （1）试判断函数是否具有性质； （2）证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围． 【答案】（1）不具有性质 （2） 证明：， ，，， 令，得， 即，即， 又函数的定义域为，， 函数具有性质． （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义判断即可； （2）函数，根据性质的定义证明即可； （3）由已知可得，令，则问题转化为存在的根，计算求解即可得出解. 【小问1详解】 假设函数具有性质， 则存在，使得， 即，即，显然不成立， 假设不成立，即不具有性质． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的定义域为，且具有性质， ， 即， 令，则， ， ， 解得或， 当方程有一个正根时，即， 即，此时． 当方程有两个正根时，当，即时，此时． 实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平二中2026-2027学年第一学期高一年级期中考试数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题中选出符合题目要求的一项．） 1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递增的函数为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 9. 函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上． 11. 函数的定义域为________． 12. 求值：______. 13. 若，则函数的最小值为________，此时________． 14. 设函数．若a＝－1，则的最小值为________；若是函数的最小值，则实数a的取值范围是________． 15. 对于函数定义域中任意的有如下结论： ①； ②； ③； ④. 当时，上述结论中正确结论的序号是___ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知集合， （1）当时，求，： （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当时，判断并证明函数的单调性； （3）对任意都有成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数且． （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的值域和单调区间； （3）若方程有三个实数解，求实数的取值范围．（直接写出结论） 19. 某生态农场计划种植甲、乙两种特色作物，根据农业技术评估与预测：甲种作物的种植面积为亩时，收益为（万元）；乙种作物的种植面积为亩时，收益为（万元）．现在该农场有亩土地用于种植甲、乙两种作物，其中甲种作物的种植面积为亩． （1）请把甲、乙两种作物的总收益（万元）表示为的函数，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，如何分配种植面积使农场获得的总收益最大？最大总收益是多少万元？ 20. 设函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对于任意实数都恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式：. 21. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质． （1）试判断函数是否具有性质； （2）证明：函数具有性质； （3）若函数具有性质，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $