精品解析：浙江省金兰教育合作组织2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

绝密★使用前 高一数学学科 注意事项： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数和分别是上的奇函数和偶函数，则下列结论恒成立的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 函数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，是有限集，定义，其中表示有限集中元素的个数，则对任意有限集，，“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多选项符合题目要求，全部答对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间单调递减 B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 函数的最小值为6 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 若，，且，则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 11. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列说法成立的是（ ） A. 存在在处取到最大值 B. 不存在是偶函数 C. 不存在是严格增函数 D. 对任意的实数，存在在内取到最大值 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值______． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为______． 14. 已知函数，若存在实数，使得方程有4个不同实根，，，且，则的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为，集合，集合，集合． （1）当时，求； （2）若集合是集合的子集，求实数的取值范围； （3）若集合的真子集有且只有7个，求实数的取值范围． 16. 已知不等式的解集为 （1）求，的值，并求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集． 17. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）设函数，证明函数的图象是中心对称图形． 18. 已知函数． （1）试求函数，的最大值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程． （2）若，，对进行变换后得到函数，解不等式． （3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★使用前 高一数学学科 注意事项： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再由交集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以集合，所以. 故选：. 2. 函数的图象恒过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 幂函数的图象恒过定点. 令，则，与参数无关， 所以函数的图象恒过定点. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，再计算可得． 【详解】由得.由得. 故选：B． 4. 设函数和分别是上的奇函数和偶函数，则下列结论恒成立的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，， 则不恒等于及， 故A，D错误； ，故是偶函数，故B错误，C正确. 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对A，因为，所以， 两边乘以得，.故A选项内容正确； 对B，因为，所以，两边同除以得.故B选项内容正确； 对C，因为， 又因为，所以，但的符号不确定，所以的符号不确定.故C选项内容不正确； 对D，， 因为，所以，，， 所以，故.故D选项内容正确. 6. 函数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出，再代入即可求解. 【详解】因为①，则②， 由①②解得，又， 所以， 则. 7. 设，是有限集，定义，其中表示有限集中元素的个数，则对任意有限集，，“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的交集与并集运算求解即可. 【详解】若集合，说明集合元素不完全相同， 则，且，所以. 故“”能推出“”. 若，即， 说明的元素比多，故集合元素不完全相同，所以集合. 故“”能推出“”. 综上，“”是“”的充要条件. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分段函数的定义域，去掉绝对值符号，将转化为分段函数形式；再将恒成立问题分区间讨论，利用参变分离法分别求出的取值范围，最后取交集得结果. 【详解】当时，，此时； 当时，，此时. 由题意得对任意恒成立： 当时，此时不等式恒成立，得到， 当时，不等式变为，两边同除得， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 而，得到，当时，不等式变为， 若，此时，由二次根式性质得，则成立， 若，两边同除以，得到，令， 由幂函数性质得在上单调递减，当时，， 则，与假设不符，产生矛盾，故排除， 综合上，参数的取值范围是，故D正确. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多选项符合题目要求，全部答对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间单调递减 B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 函数的最小值为6 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于 A，函数是幂函数，由于幂指数，故在上单调递减，故 A 正确； 对于 B，命题 “，” 为假命题，说明方程没有实数根， 则判别式，解得，即实数的取值范围是，故 B 正确； 对于 C，令，由知，则. 易 知函数在递减，在递增， 由于，故在上单调递增，最小值为，不等于，故 C 错误； 对于 D，由可得成立，充分性成立；由可得， 即，解得或，推不出，必要性不成立，所以 “” 是 “” 的充分不必要条件，故 D 正确. 10. 若，，且，则（ ） A. 有最小值 B. 有最大值2 C. 有最小值5 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据指数幂的运算及基本不等式求解即可；对于B，根据基本不等式求解即可；对于C，根据“1”的代换及基本不等式求解即可；对于D，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时，等号成立，A正确. 对于B，.因为，，则， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，， 当且仅当时，等号成立，B错误. 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确. 对于D，由，得，又，，所以. 所以. 因为，所以，D错误. 11. 已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列说法成立的是（ ） A. 存在在处取到最大值 B. 不存在是偶函数 C. 不存在是严格增函数 D. 对任意的实数，存在在内取到最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据判断A；根据，，以及判断B；反证法判断C；举例判断D. 【详解】若存在在处取到最大值，则，与矛盾，故A错误； 若存在是偶函数，取， 则由集合的定义可知，对于，， 这与矛盾，故B正确； 假设存在是严格增函数，则，与矛盾，故C正确； 若，满足，且， 故对任意的实数，存在在内取到最大值，故D正确. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值______． 【答案】## 【解析】 【详解】. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称求参数，结合对称区间单调性相反的性质，将函数值不等式转化为带定义域限制的绝对值不等式组求解. 【详解】偶函数的定义域关于原点对称，因此，解得， 因此的定义域为：. 已知在上为减函数，根据偶函数的性质，可得在上为增函数. 由偶函数性质，不等式等价于， 解得或. 所以原不等式的解集为. 14. 已知函数，若存在实数，使得方程有4个不同实根，，，且，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，根据方程解的个数确定的取值范围.再根据指数函数的性质求的值，根据二次函数根与系数的关系求的范围，进而可得的取值范围. 【详解】根据函数的解析式，作出函数图象的草图，如下： 因为方程有4个不同实根，，，且，所以. 因为，且，所以， 所以. 因为，所以，是方程的两根， 由，得. 所以. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为，集合，集合，集合． （1）当时，求； （2）若集合是集合的子集，求实数的取值范围； （3）若集合的真子集有且只有7个，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，结合集合的补集及交集运算计算即可. （2）根据集合的包含关系，结合集合是否为空集分情况求解即可. （3）根据集合元素与真子集个数的关系得到集合有且只有3个元素，结合集合的元素为整数得到集合的元素为3，4，5，进而列不等式求解即可. 【小问1详解】 由得，解得， 所以，则或. 当时，. 所以 【小问2详解】 若集合是集合的子集，则. 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 若集合的真子集有且只有7个，则集合有且只有3个元素， 又集合的元素为整数，所以集合的元素为3，4，5. 所以，解得. 故实数的取值范围是 16. 已知不等式的解集为 （1）求，的值，并求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，；将，代入，等价于，根据一元二次不等式的解法求解即可. （2）结合对应方程两根的大小关系，分情况求解集即可. 【小问1详解】 由题意知，，且和是方程的实数根. 由根与系数的关系得，解得. 则不等式可化为，则， 即，所以，解得. 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由（1）得，不等式可化为，即. 令，解得或. （i）当，即时，不等式的解为或； （ii）当，即时，不等式的解为； （iii）当，即时，不等式的解为或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）设函数，证明函数的图象是中心对称图形． 【答案】（1）在区间单调递增. 证明：设， 则 ，，，， ， ，故在区间单调递增. （2）易知的定义域为， 由已知可得若的对称中心为，则 即 观察可知定义域关于对称，因此推测函数的对称中心的横坐标为， 即只需证明为定值即可， 所以的对称中心为， 所以的图象是中心对称图形. 【解析】 【分析】（1）先判断函数在区间上单调递增，然后在区间上任取，且，利用函数单调性的定义，通过比较和的大小可证明结论； （2）证明是中心对称图形，先求出的定义域，观察到的定义域的对称中心为，转化为证明为定值，将其化简即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）试求函数，的最大值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，，，利用二次函数的单调性可求得的最大值； （2）令，，由参变量分离法可知存在，使得，利用基本不等式可得出实数的取值范围； （3）由函数的单调性得出对恒成立，参变量分离得，，令，，利用二次函数的基本性质可得出的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 令，则，，， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，函数取最大值. 【小问2详解】 令，，则， 则存在，使得，即， 所以存在，使得， 由基本不等式可得，当且仅当时， 即当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为函数在上为减函数， 因为，当时，不等式恒成立， 所以对恒成立 因为，，所以恒成立， 所以，， 令，可得， 令，， 由二次函数的基本性质可知，，故， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：，其中． 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程． （2）若，，对进行变换后得到函数，解不等式． （3）若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数．对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数． 【答案】（1） （2）或 （3）证明：由题意对函数先作变换可得 再作变换，得到函数， 对函数先作变换可得 再作变换，得到函数 所以对任意， 当时，，又函数在上是严格增函数， 则，即 由于，可知且，若其中，则 即当时， 任取，令存在，使， 此时，且， 由函数在上是严格增函数，可知 则，依次类推可得，即 即函数在上是严格增函数． 【解析】 【分析】(1) 根据题目给出的变换定义写出，整理为同底指数形式，利用指数相等解方程. (2) 根据变换写出，去掉绝对值，分类讨论解绝对值不等式. (3) 先按照变换顺序写出的表达式，利用绝对值等式成立的充要条件得到差值的符号关系，结合已知在严格递增，再用递推方式证明在上严格递增. 【小问1详解】 由已知可得 又， 解得，故； 【小问2详解】 由已知 又，所以 则当时，， 解得或，即或 当时，，，即，不等式恒成立，即 综上所得或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $