辽宁沈阳市四校联合体2026-2027学年高二上学期11月教学质量调研数学试卷

11月教学质量调研（高二数学试卷) 命题：王志维 校对：杨旸 时间：120分钟 分数：150分 第I卷（选择题 共58分) 一、单选题 1.已知向量ā=(0,2，-1)，b=(2,l,1),若(G+mb)1b,则m=( A.G B. 6 c. D._ 2已知直线4：x+2y+1=0与：(a+)x+y+2=0,则a=-2是41%的（ A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知焦点在y轴上的椭圆父+上=1，其焦距为2，则m的值等于(） m 8 A.4 B.7 C.9 D.12 4.平行六面体ABCD-'B'C"D',其中AB=4,AD=3,AA=3,∠BAD=90°， ∠BAA=60°，∠DAA'=60°，则AC'的长为() A.V55 B.V65 C.85 D.√95 P是椭圆℃号+I上一点，点，乃分别是椭圆C的左、右焦点，且PFP呕 则△PFE的面积为() A.3 B.25 c.35 D.45 6.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点 P(x,y),则PAPB的最大值是() A.5 B.10 C.v1o D.7 2 高二年级数学试卷第1页共4页 .在△ABC中，点B20,点C2,0,点A满起C2,则△ABC面积的最大值为 ( A.4V2 B.8√2 C.4V6 D.86 ⑧如图，焦点在x轴上的随圆子+6宁(>0)的左、石焦点分别为R,乃，P是随 圆上位于第一象限内的一点，且直线F,P与y轴的正半轴交于A点，△APF的内切圆在 边PE上的切点为Q,若|FQ=8,则该椭圆的离心率为( A. 4 B.2 C. 万 D.3 4 4 二、多选题 ).已知椭圆C:名号=1的左、右焦点分别是，R,点P是C上一点，。PFB是等 167 腰三角形，则△PFF,的面积可能是() A.V35 B.√42 C.7 D.37 10.已知O为坐标原点，点P在直线：x+y-3=0(t∈R)上，PA,PB是圆O:x2+y2=3的 两条切线，AB为切点，则() A.直线1恒过定点(0,3) B.若圆0上怡有三个点到1的距离为 ,则1= 2 C.若aPAB为等边三角形，则OP=23 D若PALPB,则1的取值范周是（←， 21U 2,to) 高二年级数学试卷第2页共4页 11.如图在正方体ABCD-ABCD中，点P在线段BC上运动， D C 则下列结论正确的是( B A.直线BD⊥平面ACD B.三棱锥P-ACD的体积为定值 B C.异面直线AP与AD所成角的取值范围是 42 D.直线CP与平面4CD所成角的正弦值的最大值为V6 第Ⅱ卷（非选择题 共92分) 三、填空题 12.己知P为平面ABC外的一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四点 共面，且PA=2PB-xPC+BD,则实数x的值为 3 6 13.若x>0,y>0且3x+4y=1,则x2+y2的最小值为 4.已知点P是椭圆C:名+=1上除顶点外的任意一点，过点P向圆0：x+y三4 4 两条切线PM,PN,设切点分别是M,N,若直线MN分别与x轴，y轴交于A,B两点， 则△AOB面积的最小值是 四、解答题 15.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°， D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点，AB=AC=4, PA=2 (I)求直线BA与平面DEF所成角的正弦值： (2)求三棱锥E-PDF的体积： D 16.已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上，直线I经 过坐标原点O,并且被圆C截得的弦长为2. (1)求直线1的方程 (2)求圆C关于直线OA对称的圆C'的方程. 高二年级数学试卷第3页共4页 1以.已加精圆C号+若-a>60的离心率e-点，点亿在搭国C上 2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)设椭圆C的右焦点为F,过点G(4,0)作斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两点， 求FMN面积的最大值 18.如图，三棱柱ABC-ABC的所有棱长均相等，平面BBCC⊥平面ABC,D是BC的 中点，CD=√3CD A (1)证明：AB∥平面ADC: (2)AB=2,P为线段CA上一点.若二面角P-BC-A的 余弦值为5 ,求CP的长， 19已如椭图C:号+茶-=1o>60- y2 4(-2,0),4(1,)4, 0 23 三点中恰有两点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程： (2)已知椭圆C的左顶点为A,过点A作两条斜率分别为k,k2的直线交椭圆于M,N两 点（点M,N异于点A),且kk=- 9 (i)求证：直线MN恒过一个定点； (ii)若O为坐标原点，△AMN的外心为Q,求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值. 高二年级数学试卷第4页共4页11月教学质量调研（高二数学试卷) 答案 考试时间：120分钟 考试分数：150分 一、单选题：1.B2.C3.B4.A 5.B 6.A7.B 8.c 二、多选题：9.AD10.ACD11.ABD 三填空题：2专务4 3 四、解答题： 15【详解】 (1)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，则以A点为坐标原点， 以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角 坐标系 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,40),P(0,0,2),D(2,0,0) E(2,2,0),F(0,2,1), D- B 所以AB=(4,0,0）,DE=(0,2,0),DF=(-2,2,1), 设平面DEF的一个法向量为i=（x,y,z), DE.n=2y=0 则 ,令x=1,则得方=(1,0,2)， --3分 DF.n=-2x+2y+z=0 n·AB 4√5 设直线BA与平面DEF所成角为O,则sin8 AB 4x5 放直线B1与平面DBF所成角的正弦值为5 -6分 (2)由(1)可得DP=（-2,0,2),平面DEF的一个法向量为7=(1,0,2)， 所以点P到平面DF的距离为d=万：D丽_2+4_25 55 -9分 1 卡0n网2，明-3mmm网-号 所以DE2,DF3,cs∠EDP名，所以sin∠EDF=1-cos3'∠BDFS 3 所以ADBF的面积为S=DE-DF.sin∠EDF=x2X3x5=5,-ll分 3 53 即三棱锥E-PDF的体积是子 --13分 16【详解】（1)，圆心在直线y=-2x上，.设圆心的坐标为C(a,-2a, 又圆C经过点A(2,I),和直线x+y=1相切，而A在直线x+y=1上，A是切点， 故圆心到直线的距离等于圆心到点4(2，-)的距离，@-2+(-2a+1_口-2a-l, √2 解得a=1, ∴圆C(,-2),半径r=4C=V1-2)}+(-2+1)2=2,故圆C的方程为 (x-1)2+(y+2)2=2, --5分 ①当直线l的斜率不存在时，直线1的方程为x=0, 此时直线I被圆C截得的弦长为2，满足条件： ---7分 ②当直线l的斜率存在时，设直线I的方程为y=kc,即c-y=0, 由直线1被圆C截得的弦长为2且圆的半径为√2，故圆心到直线的距离为1， +2山，解得三则直线的方程为了 V1+k2 综上所述，直线I的方程为x=0或3x+4y=0 ---10分 (2)由(1)可知圆C的方程为(x-1+(y+2)'=2,直线0A的解析式为x+2y=0, m= 设C(1,-2)关于直线OA对称的点为C'(m,n),则 5 ,解得 m+l+2x0-2 2 =0 n= c传引c--2 --15分 17【详解11)由离心率e=c=5,得c2-4,所以公=d-c2=a,即d=26, 2 将点12√2代入椭圆方程芳大少， 尔得4+21 将d=28代入上式，得点+京=系+后=急=1→b2=4, 从而。2=26=8，所以椭圆C的标准方程为父+上 =1. ---4分 84 (2)由(1)知c=2,所以右焦点F(2,0), 设过点G(4,0)的直线方程为x=my+4(m≠0)，交椭圆于M(:,片)，N(x2,y), 将直线方程代入椭圆方程+上=1，得(my+4+2y=8,化简得(m2+2y+8my+8=0, 84 由判别式△=(8m)2-4m2+28=64m2-32m2-64=32m2-64>0,得m2>2, 根据韦达定理+为=- 8m 8 m+24m2+2' --7分 由于F(2,0),G(4,0)在x轴上，FG=2,直线MN过G点， 如图所示， aFMN的面积为S=2FGy-为=2x2xy-为=-为=%+y广-4， 64m2 32 32m2-64V32(m2-2 S= (m2+2}2m2+2 --12分 V(m+2 m2+2 令1Nm-2>0,则m=+2,m+2=2+4,s24N242 =2+42+41+ 4, 自基水不式+号2手-4，当且服当！=2印矿-6)时取等号。 此时S4y5-2,所以aFMN面积的最大值为V2.15分 4 18【详解】(1)连接AC,交AC于点E,连接DE,如图所示. ,三棱柱ABC-ABC的所有棱长均相等，∴.四边形AACC是菱 形： 3 :AC∩AC=E,E是AC的中点：D是BC的中点，∴.DE∥AB ,DEc平面ADC.AB4平面ADC,∴.AB∥平面ADC ---4分 (2):三棱柱ABC-ABC的所有棱长均相等，∴.△ABC是等边三角形： D是BC的中点，.AD⊥BC .AB=2,CD=3CD,:.BC=CC=CA=2,CD=1,CD=3; 在△CDC中，CC2=4,CD2+CD2=4,得CD2+CD=CC2,即CD1BC. ,平面BB,CC⊥平面ABC,平面BBCC⌒平面ABC=BC,∴.CD⊥平面ABC.--7分 .以D为原点，分别以DA,DB,DC为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图. 则D(0,0,0),A5,0,0,B(0,1,0),C(0-1,0),G(0,0,5；∴.CA=(51,0, DC=(0,0,V3),DB=(0,1,0) DC⊥平面ABC,.平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1) :P为线段CA上一点，∴.设CP=C4(0≤≤1) B市 ~四边形A4CC是菱形，.CA=CA=(3l,0),CP=(52,2,0） ∴DP=DC+Gp=(0,0,5)+(V5,元，0)=(3，，5) ---10分 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), 九x+z=0 P=03x+y+V32=0,得v=0 ,即 hDB=0’y=0 令x=-1,则z=1,y=0,得n2=(-1,0,) -13分 设二面角P-BC-A的夹角为0，则cos0= 」-5 内同中写，解得=号 :0ss1,2-3C-C4,即P为C4的中点，即CP-0 1 4 .CP的长为1. --17分 19.【详解】(1)由题知，4(-2,0)和4 中只能有一个在椭圆上，所以A,(1,)一 定在椭圆上 a=2 a=2 过点4-2,04时，田1+1=1’得 2,则椭圆C为女+3 -=1: b= (3 44 [2 当椭圆过点A(1,),4 23) a= 3,0时，由 3 3,不符合题意： 11 a+京=1 b=2 综上， 椭圆C的方程为+3y =1. --4分 4 4 (2)(i).若MN与x轴垂直，设1w:x=元，-2<<2，可得M,N的坐标为 2 V4-22-V4-21 所以44=3a+2)5a+-)化简得 22+1-2=0,解得2=1或2=-2（舍）， ---6分 若MN与x轴不垂直，即直线MN的斜率存在时， 设直线MN的方程为y=ac+m(m≠2k),M(x,),N(x2,y2), 由”4042+6ar+3m-4=0. 由△=36k2m2-41+3k2)3m2-4>0得，412k2-3m2+4)>0, 6km 3m2-4 +五=1+33=1+32 ---8分 ∴kk=片乃=2x西+m(s+)+m2 k2(3m2-4)6k2m2 x+2x2+2xx2+2(x+x2)+4=21432+m + -4k2+m2 12k2-12km+3m7' 212tm=,k+mj(0-则j=0 由 -4k2+m2 ----10分 m≠2k,k=-m,此时△=4(9k2+4)>0成立，直线MN的方程为y=k(x-1),过定点 T(1,O).又当MW与x轴垂直时，直线MN的方程为x=1,也过点T(L,O). 综上所述，直线MN恒过定点T(L,O). ---12分 3k2-43-412 面令由①得x+26破P习 且直线MN的方程化为x=y+I(t≠0)， 因为AM的中点为 ,2,》,直线4M的斜率为w=2 2’2 x+2%+31 所以直效仙重直平分线表为-其之气-）片 y =+2x+4+=+2x-3+丛=+3 y2y22y2 -y, 同理：直线AW的垂直平分线方程为y=-+3 -y2, --14分 y2 设小则，为是方程%=-”-y的两限。 即，y2是方程y2+(c,+)y+3x=0的两根， +y2=-(匹+%)，y=3x, 又由四得，%+⅓6+-2到=4-6+)=7写 3 。+h=24 +为)3产3作商得，3优3 =-3,kwko=h}=-3, xo I ∴直线OQ与MN的斜率之积为定值-3. --17分 6