辽宁名校联盟2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教B版选择性必修第一册第一章（约50%）十选择性必修第一册第二章第1节 至第二章第5节（约50%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1.已知直线1的方程为x十√5y一12=0，则直线1的倾斜角为 A晋 B晋 c. 2.若空间向量a,b不共线，且2a一yb=xm十5b,则 A.x=2,y=-5 B.x=2,y=5 C.x=-2,y=5 D.x=-2,y=-5 3.圆C:x2+y2一4x=0与圆C2:(x+1)2+(y十4)2=9的位置关系为 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 4.已知平面a的一个法向量为n=(2,1,2),点A(一1,3,5)在平面a内，则点P(2,1,9)到平面a的距 离为 A.3 B.4 C.429 D.12v/29 29 29 5.6<m<12是“方程产6+产n=1表示椭圆”的 y2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知A(3,一4,2)，B(3,一1,5)，C(2,4,1),若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为 A.(-2,-1,-2) B.(-2,-1,2) C.(-2,1,-2) D.(2,1,-2) 【高二数学第1页（共4页）】 11-人教B 7.在平面直角坐标系xOy中，点A(一3,0)，点P到直线3x十4y+2=0的距离为1，且|PA=2|PO, 则符合要求的点P的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E,F分别是棱AD,BC的中点，点P是线段EF上的一点， 则PA2+P2+P心+PD的最小值为 A.8 B.7 C.6 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l的一个方向向量为a=(m,1,3),平面a的一个法向量为b=(一1，n,1),平面B的一个法向 量为c=(一3，一1，p),则 A.若l,∥a,则m-n=3 B.若l⊥a,则mn十1=0 C.若a⊥B,则p-n=3 D.若a∥B,则pn十1=0 10,已知点R,R,分别为椭圆C若+苦-1的左右焦点，点M,N是C上的两点，点P(1,1)是线段 MN的中点，则下列说法正确的是 A.C的长轴长为2 BC的离心率为号 C.tan∠F1PF2=2 D.直线MN的斜率为一 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD,中，点P满足BP=λBC+μBB1(∈[0,1]μ∈[0,1])，则 下列说法正确的是 A.若A=4,则AP⊥B,C B若=号，则B2.DC=2 C,若λ十μ=1，则点P到直线AD,的距离的最小值为2 D.若λ=1，则存在点P,使得直线DP与平面A1BD所成的角为60° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若a=(-2,1,1),b=(1,3,2),则|2a十b川= 13.在平行六面体ABCD-A1BC1D,中，AA=2,AB=4,AD=3,∠A,AB=∠A1AD=120°，则AC, B1D1= 14.已知圆O:x2+y2=16,点P是直线l:2x一y十16=0上的一点，过点P作圆0的切线，切点分别为 A,B,直线AB与PO交于点M,则点M到直线l的距离的最小值为 【高二数学第2页（共4页）】 11-人教B 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知直线1的方程为3x十y一1=0. (1)若直线2与l,平行，且直线2过点(3,3)，求直线2的方程； (2)若直线2与4垂直，且直线l2与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线2的方程. 16.(本小题满分15分) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,点D,E,F分别为BC,AB,A1C的中点. (I)求直线AD与BF所成角的余弦值； A (2)求直线A,E与平面ADC,所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆的两个焦点坐标分别是B(一4,0)，F2(4,0),且该椭圆经过点M(4,25),点P是该椭圆 5 上的一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若∠FPF2=号，求△FPF的面积； (3)若G(2,0),求|PG的最小值 【高二数学第3页（共4页）】 11-人教B 18.(本小题满分17分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=2√瓦，AB=2,点E,F分别为棱PB,PD的中点. (1)求证：AE⊥BF; (2)若平面AEF与棱PC交于点G. （I)求PG的长； (II)求平面GBD与平面AEF所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 已知A(-1,0),圆O:x2+y2=2,点P是y轴上的一点，直线AP与圆O交于M,N两点. (I)若MN=5,求点P的坐标， (2)若|AM=2AN|,求直线AP的方程； (3)若PM=λMA,PN=μNA,求证：λ十μ为定值，并求出该定值. 【高二数学第4页（共4页）】 11-人教B高二数学参考答案、提示及评分细则 1.D由题意可得直线的斜率友=-号，设直线的假斜角为0，长[0，x),所以m0=-得得0=答放选D 2.A因为空间向量a,b不共线，且2a-b=a十5b,所以(2-x)a-(y十5)b=0,所以 21=0解得x=2,y=-5.故 y+5=0, 选A 3.C圆C:x+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,表示以C(2,0)为圆心，半径等于2的圆.圆C2:(x十1)2+(y+4)2=9, 表示以C2(-1,一4)为圆心，半径等于3的圆.两圆的圆心距|CC|=√/（一1一2）+（一4）7=5=2十3，故两个圆外 切.故选C 4B由题意得A市=(2,1,9)-（一1,35)=(3，-2,4，则P21,9)到平面a的距离d=n,A立=6-2+8头=4.故 n√/22+1+2 选B. m-6>0, 5B若方程之 Em-6 12-m -=1表示椭圆，则12-m>0, 解得6<m<12且m≠9，因此，“6<m<12”是“方程 m-6≠12-m, m6+ 2m一1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B 3y2 6.D因为A(3,-4,2),B(3,-1,5),C(2,4,1),所以BA=(0,-3,-3),BC=(-1,5,-4),又四边形ABCD是平行 四边形，所以BD=BA十BC=(0,-3,-3)+(-1,5,-4)=(-1,2,-7),所以O元=ō+BD=(3,-1,5)+ (-1,2,-7)=(2,1,一2)，即点D的坐标为(2,1，-2).故选D. 7.C因为A(-3,0),O(0,0),设P(x,y),又|PA=2|PO,所以(+3)2+y=2√+y,整理可得(x-1)2 十=4，即点P的轨迹为以(1,0)为圆心，半径=2的圆，点(1,0)到直线3x十4y叶2=0的距离d=3+2 √32+4 =1,又 r-1=1,所以圆(x-1)2+y2=4上到直线3x+4y十2=0距离为1的点有3个.故选C. 8.C因为四面体ABCD的每条棱长都等于2，所以AB·AC-AB·AD=AC·AD=2×2cos60°=2，又点E,F分别是棱 AD,BC的中点，所以F庞=A花-A泸=号A市-号(AB+AC=号Aò-分A成-号AC,所以|F √（分A市-2A成-A心）=√4A市+4A亦+A衣-A市·-2市·AC+A成·A=厄，记线段 EF的中点为G,则P+P+P心+P市=P+P亦+P市+P心=(P正+Ei)2+(P+E励)2+(P市+)2+ (P市+心)2=(P范+EA)?+(P范-EA)2+(P市+Fi)2十(P市-F)2=2(P克+EA)+2(P+F亦) 2(P+P)+4=2[(P元+GF)2+(P元+GE)2]+4=2[(P元-GE)2+(PG+GE)2]+4=4(P心+G)+4 4P心+4×（号）'+4=4P心+6≥6，当且仅当P与G重合时，等号成立，故P序+P成+P心+P心的最小值为6.故 选C 9.ABD若l∥a,则a⊥b,即a·b=0,即-m十十3=0，即m-n=3,故A正确；若l⊥a,则a∥b,即有b=a,可得-1 2m,n=,1=3x,解得=号m=-3,=号，则m十1=-1十1=0，放B正确；若aLA则bLc,即6·c=0,即3-十力 =0,即n一p=3,放C错误；若a/B,则b/c,即有c=h,可得一3=，-1=m,=,解得=3，n=一子p=3,所以 pm十1=0，故D正确.故选ABD. 10C因为椭圆C,号+学-1，所以a=2,6=B,(=1,C的长轴长为2a=4,放A错误：C的离心率为后=号放B正 确：F,（-1,0),E1,0),又P1,1D,所以FF⊥PF2,所以am∠F,PF=B=2,放C正确：设M(), PF2 N(),点P(1,1D是线段MN的中点，所以a十B=2,y十为=2，又点M,N是C上的两点，所以平+兰=1， 琴+学=1，所以2+心号=0，得之=一是，台=一子，即直线MN的斜率为子放D错误放 3 选BC 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 11-人教B 11.ABC如图，以点D为坐标原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x、y、心轴建立空间 直角坐标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,2), C A(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,2),则BC=(-2,0,0),BB1=(0,0,2),所以BP= A 入BC+BB1=(-2λ，0,24)，故P(2-2x,2,2).若A=4,则AP=(-2x,2,24)= B (-2A,2,2a),又BC=(-2,0,-2),所以A2.BC=-2A×(-2)+2A×(-2)=0, 所以AP1BC,故A正确：若=，则B2=(-2以，0,1，又DC=(0,22),所以 D C BP·DC=2,故B正确：因为AD,=(-2,0,2),AP=(-2λ，2,2)，又入十=1，故点 P到直线0的高=√A位-(-√4-（常7 V级+4以+2≥√4.+2=2，当且仅当入==时等号成立，故点P到直线AD,的距离的最小值为2，故 C正确：因为AB(0,2,-2),DA二(2.0,2)，设平面ABD的-个法向量为m=C,)则，20今2 1,解得y==-1,故平面ABD的一个法向量m=(1,-1,-1).若1=1，则D市=萨-Bi=(0,2,24),则 |os〈D,m1=DP·m=12+2=E×l+1L=/+1D-E Dpm3×√4+4z3+3Y+13N1十2+-2，得二8十5 =0,△=（一8）2-4×5×5=一36<0，无解，故不存在点P,使得直线DP与平面A1BD所成的角为60°，故D错误.故 选ABC. 12.5√2因为a=(-2,1,1),b=(1,3,2),则2a+b=2(-2,1,1)+(1,3,2)=(-3,5,4),|2a+b= √/-3)2+5+4=52. 13.-6因为AA,=2,AB=4,AD=3,∠A1AB=∠AAD=120°，所以AB·AA=4X2cos120°=-4，AD·AA=3× 2cos120°=-3，又AC-AC+CC-AB+AD+AA,B1D=BD=AD-AB,所以AC·BD,=(AB+AD+AA)· (AD-AB)=AD-AB2+AA.AD-AA.AB-3-42-3+4--6. 141 F设M,由题可知△A0pn△M0A.则8别-即10A=OP1·oM,所以80-80 OA2 5 ,所以点P()将点P的坐标代入1,2-y16=0,化简得+1+（号）尸-，y不洞 16 时为0，故点M的轨迹是以(-1，之)为圆心，号为半径的圆（不含(0,0）)点（一1，）到直线1的距离为 2X(-1D-+16 -275,所以点M到直线1的距离的最小值为275-5=1山，⑤ √/22+(-1)2 10 2 5 15.解：(1)由直线2与4平行，可设2的方程为y=-3x十b,又直线l2过点(3,3)，所以3=一3×3+b,解得b=12, 所以直线2的方程为y=一3x十12，即3.x十y-12=0.… …6分 (2)直线6与4垂直，可设6的方程为y=号十m,令y=0,得x=-3m,令x=0,得y=m, 故三角形的面积S=7-3m·m=6,…9分 所以m2=4,解得m=士2，… 11分 所以直线的方程是号十2或y=子一2.…。 13分 16.解：(1)取AC的中点O,连接OB,OF,如图所示，在正三棱柱ABC-AB1C中，AA⊥ 2 平面ABC,又AC,BOC平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥BO,又F是AC的中点，所A 以OF∥AA,所以OF⊥AC,OF⊥BO,又BO⊥AC,故以O为坐标原点，OB,OC,OF所 By 在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图所示，故A(0,一1,0)， B,0.0,C010),F(0.0,2),G(0.1,2,D(号，0)小，所以Ad (5,是0，萨=(-5,0,2)，所以os(Ai,萨)= AD.BE ADI BEI 9x(-) 一，即直线AD与BF所成角的余弦值为一。 …6分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 11-人教B (2)设平面ADC的法向量为m=(x,),又AD-(停，号，0)，AC=02,2),所以 m号+号=0， AC·n=2y+2z=0, 令x=√3，解得y=-1,之=1，所以平面ADC的法向量n=(,-1,1). …9分 又E(停，-合0)A(0,-1,2.所以-(-号，-合2)，设直线AE与平面ADG所成角的大小为？ 所以sin0=|osEA,n>l=买·nL xw5++2 |EA|·|n 3+1十4 √/3+1+I×W4+4 即直线AE与平面ADC所成角的正弦值为方： …… 15分 (2W5 17.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 5 62 =1(a>b>0),所以 a2 62 …2分 a2-b2=42, 解得Q=2√5，b=2, …4分 所以椭圆的标准方程为号+学-1. …5分 (2)设|PF|=m,|PF2|=,因为点P是该椭圆上的一点，所以m十n=45, 在△FPF2中，由余弦定理得|FF2|2=|PF12+PF2|2-2|PF|·|PF2|cos∠FPF2, 即8=m+-2ms音=m+f-m=(m+)-3m=(后)-3m,解得m号， 所以△RPB的面积S=是P所PF,lsn∠RPm,=子msn吾-×普想 4 3 3 10分 (3)设P(),所以”+=1，得6=4-普，-25<2厅， 所以G=w-2>+-V房-4+4+4--√停-4+8=√(。-多)+3≥，当且仅当 =号时等号成立， 所以PG的最小值为3.… …15分 18.(1)证明：连接AC,交BD于点O,再连接OP,如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，PA =2√2，AB=2,则OA=OB=OC=OD=√2，PO=√PA-AO=6,以O为坐标原 点，OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 A20,0.B(02,0.C(-,0.0D(0,-,0.P(0,0.5).E(o,号9） Fo,号)所以=(，号，)萨-(0，要，) 所以a正.亦=2×0+号×(-要)+×5-0， 所以AE⊥BF,即AE⊥BF.. …5分 (2)解：(i)设PG=λPC(0≤1≤1)， 所以AG-AP+PG=AP+APC=(-2x-2,0,-6A+√6). 设平面AF的法向量为n=(),又A亦=(-厄，号，5)A市=（一厄，一号，）， 所以 令x=√3，解得y=0,之=2，所以平面AEF的一个法向量n=(√5,0,2). …7分 因为A,E,F,G四点共面，则n⊥AG,所以(-√2x一√2)X5+(-√6+6)×2=0， …9分 解得入三 10分 所以元-号P心.故PG=专Pc-2 3 11分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 11-人教B (1)(1)得D心-市+元=(0E6)+号(-厄.0，-6)=(-号2,25)，D成=(0.2厄，0 设平面GBD的法向量m=(a,b,c),所以 店m吾+6125=0r令a=25,解得0=， Di.m=22b=0, 所以平面GBD的法向量m=(25,0,1),… 13分 设平面GBD与平面AEF所成角为0，所以|cos(n,m)|=Tn·m n·m 6+2 89I √3+4×W2+1 91 故sin0-V个-cos(m,m=3/2E 91 即平面GBD与平面AEF所成角的正弦值为32西 91 17分 19.(1)解：显然直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k(x+1),即kx一y十k=0, 又1wN=所u)=()+( …2分 解得=士号， …3分 当=2时，直线AP的方程为y=(x+1),令x=0,得y,即P(0,2): 当k=一号时，直线AP的方程为y=一号（x+1D,令=0，得y=一子，即P(0,一)】 综上，点P的坐标为(0,2)或(0，-合) …5分 (2)解：当直线AP与x轴重合时，易知点M,N的坐标分别为M(2,0),N(-2,0)或M(一√2,0)，N(W2,0),此时 |AM=√2+1，|AN|=√/2-1或|AM=√2-1，AN|=2+1,不满足|AM=2AN|,不符合题意；…6分 当直线AP与x轴不重合时，设直线AP的方程为x=y一1，M(),y),N(2,2), 由g调+10y-y1=0所以十0气角 …8分 又点A在x轴上，且点M,N在点A的两侧，所以|AM与|AN|的比值等于点M与点N的纵坐标的绝对值之比，由 |AM|=21AN|,得y=-22. …9分 y=-2y2, 2t 联立方程组少十地 -y2 t2+11 t2+1’得 所以-2()广= 10分 -1 yy%=2+1' 28一2+1 整理得72=1，解得=士 11分 所以直线AP的方程为x= 方y1或x=是 1，即/7x-y+万=0或x+y+7=-0. 12分 (3)证明：由(2)知当直线AP与x轴重合时，即P(0,0),此时不妨设M(2,0),N(一√2,0)， 由P7,得（0)=A(-1一厄，0)解得入一月 =√2-2， 由p=uNA,得(-2,0)=(-1+2,0)， 解得=2=-2-2，所以十4=一4； -1+2 13分 当直线AP与x轴不重合时，设直线AP的方程为x=y-1,令x=0,解得y=,即P的坐标为(0，二)： 又Pi=(ay-)i=(-1--).P=(-),Ni=(-1-,-). 由成=i,得（的-}）=A《一1-，一），所以%一}-，得A-1.…14分 由武忒-对.同理推出以一 1. 15分 2t 所以+（分+）一2=-2= 1t2+1 -1 2=-2-2=-4. 2+1 综上，A十：为定值，定值为一4 17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 11-人教B