精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

东北育才高中2025-2026学年度上学期高二年级数学科 期中考试试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程，则倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 5. 点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 6. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 空间中的非零向量，，满足，，则有 B. 若空间向量、与空间任意向量都不能构成一组基底，则 C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则. D. 存在点，使得 11. 在平面直角坐标系Oxy中，动点P在直线上的射影为点Q，且，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点O对称 B. 点Q的轨迹长度大于2 C. D. 曲线C围成的封闭区域的面积大于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 13. 已知圆，直线，Q为l上的动点.过点作圆C的切线QA，QB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为_____ 14. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）已知点在圆的外部，求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程. 16. 如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 已知椭圆，设为椭圆上一点，设，分别为椭圆的左、右焦点，且，. （1）求b； （2）若，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆相交于、两点.如果以线段为直径的圆经过左焦点，求直线的斜率. 18. 如图，在平面四边形中，，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. （1）已知，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上. （i）证明：平面平面ABC； （ii）求球O的半径 （2）求二面角的余弦值的最小值. 19. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率为定值； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2025-2026学年度上学期高二年级数学科 期中考试试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程，则倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式求解斜率，即可根据斜率求解倾斜角. 【详解】的斜率为， 故倾斜角为， 故选：A 2. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求，即可得渐近线方程. 【详解】由题意可知：，且焦点在轴上， 即，可得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3. 已知空间向量，，则B点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】，，故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故选：A 4. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可以求得向量夹角的余弦值，再根据向量夹角与异面直线夹角的关系可以求得异面直线夹角的余弦值. 【详解】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 解：四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 故选：C 5. 点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距离. 【详解】将直线方程变形为l：，由,解得直线过定点， P在单位圆上运动, 圆,圆的半径 故原点到直线l距离的最大值为， 则P点到直线l的距离的最大值为. 故选:B． 6. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，求出，由正切二倍角公式得到方程，其中，，故，联立求出. 【详解】由题意得，设，， 则，其中， 则， ，故， 其中，， 所以，结合，解得. 故选：D 7. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小球圆心，双曲线上的点的坐标，求出点到球心的距离的平方，根据的最小值在处取到，即求清洁钢球能擦净凹槽的最底部时只需对称轴在的左边，进而求出的范围，求出半径的范围． 【详解】由题意画出轴截面如下图所示： 设小球的截面圆圆心为，设双曲线上的点的坐标为， 则点到圆心的距离的平方，对称轴为， 若最小值在时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在的左边，所以，则， 所以，即清洁钢球的最大半径为. 故选：A 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点M，由已知可得四边形为平行四边形，则，利用数量积运算可得，再结合椭圆的定义及余弦定理求得a，c的关系即可得解. 【详解】如图，由，得，取的中点M， 则四边形为平行四边形，， 于是， 则，解得，， 由椭圆定义知，又，， 由，得，即， 在和中，余弦定理得：， 即，整理得， 所以C的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 空间中的非零向量，，满足，，则有 B. 若空间向量、与空间任意向量都不能构成一组基底，则 C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，取，，，显然满足，， 但与不平行，A不对； B选项，∵、与任何向量都不构成空间向量的基底， ∴、只能为共线向量，∴，B对； C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是，此时直线没有斜率，所以C选项错误. D选项，∵，，为一组基底， ∴对于空间任意向量，存在实数m，n，t， 使， ∴也是一组基底，D对； 故选：BD 10. 若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则. D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得的值，可判定A不正确；由圆的切线长定理和双曲线的定义，可求得的横坐标，可判定B不正确；由双曲线的定义和余弦定理，利用等积法，求得的纵坐标，由正弦和求交点，求得的坐标，运用向量的坐标表示，可得，可判定C正确；由等积法求得的内切圆的半径，结合三角形的重心坐标公式和两点间的距离公式，可判定D正确. 【详解】由题意，双曲线，可得， 则离心率为，所以A正确； 设，的内切圆与边切于点，与边切于点， 与边切于点，可得， 由双曲线的定义可得，即， 又由，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动， 所以B不正确； 由且，解得， 则，可得， 所以，同理可得， 设直线，直线， 联立方程组，求得， 设的内切圆的半径为，则， 解得，即有， 可得， 由，可得，解得， 可得，所以C正确； 设，则， 设的内切圆的半径为，则， 于是，可得， 若，可得，即， 又由，联立可得， 因此，解得， 即存在点，使得，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 11. 在平面直角坐标系Oxy中，动点P在直线上的射影为点Q，且，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点O对称 B. 点Q的轨迹长度大于2 C. D. 曲线C围成的封闭区域的面积大于2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两点距离公式以及点到直线距离可得点的轨迹方程为，根据点的对称可判断A，根据，结合，即可求解C,根据不等式，进而可得的范围，根据矩形的面积可求解BD. 【详解】设，则．由， 得，故点的轨迹方程为（※）， 对于A, 关于原点的对称点为，则也满足方程（※）， 故C关于坐标原点对称，A正确． 对于C,由于，结合，所以，故，C正确， 对于B，当点位于直线上时，此时长度最大，且或，且这两点间距离为2，此时与重合， 当点不在直线上时，此时长度不为零，且长度不为零，所以 因此点的轨迹为直线上点和点之间线段的一部分，长度小于2，故B错误， 对于D，由于，当且仅当取等号， 故，进而， 故，同理可得， 由于和围成的矩形面积为， 而曲线位于该矩形内，所以曲线围成的封闭区域的面积小于2，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得. 故答案为： 13. 已知圆，直线，Q为l上的动点.过点作圆C的切线QA，QB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为，     因为QA，QB是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 故以为直径的圆的方程为， 即， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设为线段的中点，根据椭圆和双曲线的定义求出点和点的方程，过点在平面内作，垂足为点，再设，然后根据椭圆和双曲线方程求出，再在中利用余弦定理结合基本不等式求最值即可. 【详解】设为线段的中点， 因为，则点的轨迹是平面内以为焦点的椭圆（除去直线上两点）， 由，，可得，所以， 则以为原点，所在直线为轴建系，点的轨迹方程为（）， 又因为，则点的轨迹是平面内以为焦点的靠近点的双曲线一支（除去直线上两点）， 由，且，则， 则以为原点，所在直线为轴建系，点的轨迹方程为（），    过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，而，、平面，所以平面， 因为平面，则，则二面角的平面角为， 因点的轨迹方程为（）， 不妨设，， 将代入中得，，则， 则， 所以 ， 因，等号成立时， 则， 则二面角的余弦值的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）已知点在圆的外部，求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆的条件，以及点在圆外的条件，联立不等式组即可求解； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 因为方程表示圆， 所以，解得， 又因为在圆的外部，所以，所以 所以的取值范围为； 【小问2详解】 若，则圆， 即，则圆心，半径为3， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线的距离为3，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即. 综上所述，切线的方程为，或. 16. 如图，平行六面体的所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接交于，连接，              因为，，所以， 又，所以              由于，，所以，从而有                     又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接交于，证得，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平行六面体各条棱长为6.因为平面平面，且， 所以平面，由于， 所以，，， 由余弦定理得， ，所以， 以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，， 由得， 从而 设平面的一个法向量为， 则， 可取，故. 17. 已知椭圆，设为椭圆上一点，设，分别为椭圆的左、右焦点，且，. （1）求b； （2）若，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆相交于、两点.如果以线段为直径的圆经过左焦点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，由椭圆的性质和在中余弦定理结合可解； （2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，表示出韦达定理，再由直径对应的圆周角为直角结合向量的数量积为零可解. 【小问1详解】 设，，由椭圆的定义得， 设椭圆的半焦距为c，则， 对由余弦定理得 解得， 又，结合得. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，得， 所以，. 由于直线过右焦点，恒成立 由已知得，得，因为，， 所以 所以 ，解得. 18. 如图，在平面四边形中，，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. （1）已知，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上. （i）证明：平面平面ABC； （ii）求球O的半径 （2）求二面角的余弦值的最小值. 【答案】（1）（i）证明:先得到平面，又平面，所以平面平面； （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）略 （ii）法一：作出辅助线，找到球心的位置，求出各边长，得到球的半径； 法二：建立空间直角坐标系，设球心，半径为，则，从而得到方程组，求出，所以球的半径为； （2）建立空间直角坐标系，设，求出两个平面的法向量，换元得到，从而得到二面角的余弦值的最小值. 【小问1详解】 （i）证明：因为⊥，，，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）法一：取中点，由已知可得为的外心，过作平面的垂线， ，，故为等边三角形，， 取的外心，过作平面的垂线， 设与交于点，则为三棱锥外接球的球心， 取的中点，连接，其中，，三点共线， 因为平面平面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面，则四边形为矩形， 则，其中,, 则球的半径； 法二：，，故为等边三角形，， 取的中点，连接，则⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 如图，过点作平面的垂线，， 以为原点，分别以向量，，为轴和轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，设球心，半径为， 则， 所以，解得，所以球的半径为； 【小问2详解】 如图，过点作平面的垂线， 以为原点，分别以向量，，为轴和轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为，则， 即，取，则， 平面的法向量，则， 即，取，则得 ， ， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 显然，二面角为锐角， 所以二面角余弦值的最小值为. 19. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线的斜率为定值； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设直线方程为， 由得， ， ， 解得. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点M，用待定系数法可求出椭圆C的方程； （2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出，并进行化简，即可求出斜率定值； （3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， ， 的面积， ， ， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得或，即在和上单调递减， 所以当时，取到最大值， 的面积 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $