精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

学科网丽组卷网 东北育才高中2025-2026学年度上学期高二年级数学科 期中考试试卷 答题时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知直线方程x+V5y+V5=0,则倾斜角为() A.150° B.120° C.609 D.30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般式求解斜率，即可根据斜率求解倾斜角. 【详解】x+V5+V5=0的斜率为-人=-5 53 故倾斜角为150°， 故选：A 2已知双曲线上 m212 =1的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为() B.y=±3x c y= D.y=±√3x 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求a,b,c,即可得渐近线方程 【详解】由题意可知：2c=8,b2=12,且焦点在y轴上， 即c=4,b=25,可得a=V2-b2=2, 所以该双曲线的渐近线方程为y=士只x=士 -x 3 故选：C 3.己知空间向量AB=(0,1,0),AC=(-1,1-1,则B点到直线AC的距离为() 第1页/共24页 学科网组卷网 A.VG B V3 c.2 D.5 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案 【详解】AB=(0,1,0),AC=-1,1-1),故AB在AC上的投影向量的模为 AB·AC d 0,1,0)(-1,1--1 AC V1+1+1 点线4C省离为网-中-- 故选：A 4.在九章算术中，将四个面都是直角三角形四面体称为鳖懦，在鳖懦A一BCD中，AB⊥平面BCD ,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为() A② B.V3 c v3 D.V2 3 4 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可以求得向量夹角的余弦值，再根据向量夹角与异面直线夹角 的关系可以求得异面直线夹角的余弦值 【详解】画出四面体A一BCD,建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 解：四面体A一BCD是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 M B D 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 B(0,0,0),C(2,0,0),D(2,2,0),M(1,1,1) 第2页/共24页 可学科网 可组卷网 BM=1,1,1),CD=(0,2,0) cos(BM,CD)= BM.CD 25 BM ICD 3×23 因为异面直线夹角的范围为 0,2 所以异面直线M与CD夹角的余弦值为 3 故选：C 5.点P在单位圆上运动，则P点到直线1：(1+32)x+1-22)y-（7+2)=0(1为任意实数)的距离的 最大值为() A.23+1 B.6 C.3V2+1 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再根据两点间距离公式求圆心到定点距离，最后可求圆上点到直线的最大距 离 x+y-7=0 【详解】将直线方程变形为1：(x+y-7)+(3x-2y-1)2=0,由 解得直线过定点 3x-2y-1=0 0(3,4, P在单位圆上运动，圆O0,0),圆的半径r=1 故原点到直线1距离的最大值为Og=V32+42=5, 则P点到直线1的距离的最大值为r+OQ=1+OQ=1+5=6 故选B. 6已知4，B分别是椭圆 一+y2=1的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若∠PBA=2∠PAB, 4 则直线PA的斜率为( ) B I c v2 1 D 6 4 4 3 【答案】D 【解析】 第3页/共24页 学科网丽组卷网 【分折】设P(m,川小，则吓+m-1,求出长，人。=子，由正切二倍角公式得到方程，其中 4 1 @n∠PBA=-kB,tan ZPAB=k4>0,故-k=2人路，联立求出kpA3Y 【详解】由题意得A-2,0),B2,0),设P(m,n,m>0,n>0, i-1种2n22 则n2 4 m-2 ”1人m 41, =m+2m-2m2-4m24=-4 ∠PBA=2LPAB,故tan∠PBA=tan2∠PAB=,2tan∠PAB 1-tan2∠PAB 其中tan∠PBA=-kpB,tan∠PAB=kp4>0, 2处，结合kk8=子解得：=月 所以-kp81- 1 故选：D 7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2-x2=1,y∈1,10，在凹槽内放入一个清洁 钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为() A.1 B.2 C.3 D.√2 【答案】A 【解析】 【分析】设小球圆心，双曲线上的点的坐标，求出点到球心的距离的平方2，根据，2的最小值在(0,1)处 取到，即求清洁钢球能擦净凹槽的最底部时只需对称轴在y=1的左边，进而求出y。的范围，求出半径的范 围 【详解】由题意画出轴截面如下图所示： 第4项/共24页 可学科网可组卷网 设小球的截面圆圆心为(0，y),设双曲线上的点的坐标为(x,y), 则点(x,)到圆心的距离的平方r2=2+0-y,)=y2-1+0-2=2y2-2yy+-1,对称轴为y= 2 若2最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在y=1的左边，所以≤1，则 2 %≤2， 所以0<r≤2-1=1，即清洁钢球的最大半径为1. 故选：A 圆C土IQ>6>0的左、石焦点分别为-c0，c,0，点4，B在C上， 足F=2万B,FB.AB=4e2-a,则c的离心率为{) 16 A.22 B.V6 2 C D.V3 3 3 3 【答案】B 【解析】 【分析】取AF的中点M,由己知可得四边形BMEF为平行四边形，则|BM曰FF=2c,利用数量积 a 运算可得14卡24M?,再结合椭图的定义及余弦定理求得a,c的关系即可得解 【详解】如图，由FA=2B,得BF,/A,BS,上2A,取的中点M, 第5页/共24页 学科网组卷网 则四边形BMEF,为平行四边形，|BM曰FF,=2c, 于是FB·AB=BE·BA=(BM+ME)·(BM+MA=BM-MA=4c2-MA, 题42-7E42合解特A山24M号 由瑞定义识，卡2a-AC上0，义18R日MF号BR上2a-B配上子0， 由BE/IAE,得∠AEE+∠BF=π，即coS∠AFF+coS∠BF,E=0, 在△AFR,和aBFR中，余弦定理得：E5+4-+EE+BE-B那-0， 2|FF2‖AF 2|EF2‖BF (2cy+6a'-2a2(2c+a}-(乙a 4 一=0，整理得2a2=3c2, 2.2c.5a 2.2c.a 2 4 =c_V6 所以C的离心率为e== a 3 故选：B 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,C得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.下列命题中，正确的有() A空间中的非零向量ā，b,c满足ā⊥b,b⊥c,则有a/1 B若空间向量ā、五与空间任意向量都不能构成一组基底，则ā/b C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D.若{a+b,b+c,c+d是空间的一组基底，则{a,b,c也是空间的一组基底 【答案】BD 【解析】 第6页/共24页 可学科网可组卷网 【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析， 从而确定正确答案 【详解】A选项，取a=(1,0,1,b=(-1,1,1,c=1,2,-1，显然满足a⊥6，b1, 但a与C不平行，A不对： B选项，，ā、b与任何向量都不构成空间向量的基底， ∴.a、b只能为共线向量，∴.a/b,B对； C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是90°，此时直线没有斜率，所以C选项错误 D选项，：a+b,b+c,c+a为一组基底， 对于空间任意向量d,存在实数m,n,t, d=m(a+b)+n(b+c)+t(c+a)=(m+t)a+(m+n)b+(n+t)c, ∴{a,b,c也是一组基底，D对： 故选：BD 10若双曲线C:-上=1，F,B分别为左、右焦点，设点P在双曲线上且在第一象限的动点，点为 45 △PFF的内心，点G为△PFF,的重心，则下列说法正确的是() A双曲线C的离心率为。 B.点I的运动轨迹为双曲线的一部分 C若PF=2PF,可=xPF,+PF,则y-x=2 D.存在点P,使得IGI1F,F2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得α，b,c,e的值，可判定A不正确；由圆的切线长定理和双曲线的定义， 可求得I的横坐标，可判定B不正确；由双曲线的定义和余弦定理，利用等积法，求得I的纵坐标，由正 第7页/共24页 学科网组卷网 弦PE和P℉，求交点，求得P的坐标，运用向量的坐标表示，可得x,y,可判定C正确；由等积法求得 △PFF,的内切圆的半径”，结合三角形的重心坐标公式和两点间的距离公式，可判定D正确， 【】题，双纹C号号=1.可路。=26：56：+- 则离心率为e-后弓所以A正。 设PF=m,PF,=n,△PFF的内切圆与边PF切于点S,与边P℉切于点K, 与边F,F,切于点T,可得PS=PK,ES=ET,F,T=FK, 由双曲线的定义可得m-n=2a,即FS-EK=ET-F,T=2a, 又由ET+F,T=2c,解得F,T=c-a,则T的横坐标为a, 由I与T的横坐标相同，可得I的横坐标为a=2,可得I在定直线x=2上运动， 所以B不正确； 由PF=2PF且PF-PF,=2a=4,解得PF=8,PF=4,EF=2c=6, 则a∠P所R-4-名可s∠RR-侵- 8 所以an∠PF5,=5,同理可得a∠PF,5=-5, 7 设直线PF:y= 5 (x+3),直线PE:y=V15(x-3), 联立方程组，求得P(4,√15)， 设△PF5的内初图的半径为r,则S,所 =5x8x6x5-8+4+6r, 82 ,西.有心，5. 3 可得可=（←-2，-25，P灭=(-7，-15.P丽=-1-5） 3 第8页/共24页 耐学科网 丽组卷网 -2=-7x-y 由Pi=xPE+yPF,,可得 2石-5-5，架释=号-号 3 可得y-x=g,所以C正确： 设P(x(x,>0,>0),则G(,), 3’3 1 设aPFB的内切圆的半径为r,则5,5FFx儿=m+n+2c)r, 2 1 于是cy=号(m+n+2c)r,可得r= 2cyo m+n+2c 若1G11EF,可得 02c=3,即m+n=4c=12, 又由m-n=2a=4,联立可得n=4, 因此o3十号16解得x三4，=V1的 5x6-4y6=20 即存在点P(4,V15),使得IG//FF2,所以D正确 故选：ACD 0 T\F 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合 性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平 面几何中的定理、性质等进行求解：二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参 数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解， 11.在平面直角坐标系Oy中，动点P在直线：y=x上的射影为点Q,且OP+PQ=1,记动点P的轨 迹为曲线C,则下列结论正确的是() A.曲线C关于原点O对称 B.点Q的轨迹长度大于2 csors D.曲线C围成的封闭区域的面积大于2 【答案】AC 【解析】 第9页/共24页 学科网组卷网 【分析】根据两点距离公式以及点到直线距离可得P点的轨迹方程为√2+少+x”=1,根据点的对 2 称可判断A,根据PO<OP,结合OP+PQ=1,即可求解C,根据不等式 VF++=12+,进而可得，少的范制，根系知形的面积可水解BD √2 Γ√2'√2 【详解】设P(xw,则oP=V+巧，Pg=.由oP+lPg=l, 2 得√6+听+b-1,故P点的轨迹方程为VR+严+x”=1（※). 2 对于A,P(x,yo)关于原点的对称点为P'(-x,-yo),则P(-x,-yo也满足方程（※）， 故C关于坐标原点对称，A正确， 对于c于P0图0P,合OP+POl=l,所以20PI,故s0P1,c正绳， 对于B,当点P位于直线：y=x上时，此时|OPI长度最大，且P √22 √2V2 22 2，-2 且这两 点间距离为2，此时Q与P重合， 当点P不在直线：y=x上时，此时|PQ|长度不为零，且OP长度不为零，所以 22 22 因此Q点的轨迹为直线：y=x上点 2’-2 和点 2’2 之间线段的一部分，长度小于2，故B 错误， 对于D,由于V+少+x=1≥++x,当且仅当x=y取等号， 2 -V2√2 故x+y+|x-y≤V2,进而|x+y+x-yx+y+x-y≤√2， 故|x5 ，同可得yk5 2 于k上分和y2胶胸电形面积为V2x22 而曲线C位于该矩形内，所以曲线C围成的封闭区域的面积小于2，故D错误. 第10页/共24页 东北育才高中2025-2026学年度上学期高二年级数学科 期中考试试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线方程，则倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，则B点到直线距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 5. 点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 6. 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是，，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 空间中的非零向量，，满足，，则有 B. 若空间向量、与空间任意向量都不能构成一组基底，则 C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 10. 若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 点的运动轨迹为双曲线的一部分 C. 若，，则. D. 存在点，使得 11. 在平面直角坐标系Oxy中，动点P在直线上的射影为点Q，且，记动点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于原点O对称 B. 点Q的轨迹长度大于2 C. D. 曲线C围成的封闭区域的面积大于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 13. 已知圆，直线，Q为l上的动点.过点作圆C的切线QA，QB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为_____ 14. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）已知点在圆的外部，求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程. 16. 如图，平行六面体所有棱长均相等，，，平面平面，点，满足，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 已知椭圆，设为椭圆上一点，设，分别为椭圆的左、右焦点，且，. （1）求b； （2）若，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆相交于、两点.如果以线段为直径的圆经过左焦点，求直线的斜率. 18. 如图，在平面四边形中，，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. （1）已知，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上. （i）证明：平面平面ABC； （ii）求球O的半径 （2）求二面角的余弦值的最小值. 19. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线斜率为定值； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $