精品解析：河北省承德市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期阶段巩固练习题 九年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面对于的值，说法正确的是（ ） A. 为1 B. 为 C. 小于 D. 大于 【答案】D 【解析】 【分析】根据估算无理数大小即可判断． 【详解】解：∵，， ∴， 即大于． 2. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得， 二次项系数化为1，得， 两边直接开平方，得，． 故选：C． 3. 已知，则下列结论一定成立的是（） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例式的变形和运算是关键． 根据比例，得，逐一验证各选项是否符合比例关系． 【详解】解：选项A：当时，，但，故A不一定成立. 选项B：当时，，但，故B不一定成立. 选项C：当时，，但，两者不相等，故C不一定成立. 选项D：∵，∴，故选项D成立， 故选：D． 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程﹣配方法，把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 6. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图， 根据网格特点知：， 设小正方形的边长为1，则，， ∴． 7. 把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】计算每个选项的总离差平方和，其中总离差平方和为两组离差平方和之和，比较大小后即可得到总离差平方和最小的分组． 【详解】解：对于选项A：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项B：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项C：∵单元素组的离差平方和为， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项D：∵的平均数， ∴， ∵单元素组的离差平方和为，即， ∴. 比较大小得， 所以最佳分组为选项B． 8. 如图，公路上有一个10米高的路灯．晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比（　　） A. 在位置A的影子长些 B. 一样长 C. 在位置B的影子长些 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查投影．根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可． 【详解】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置B离比位置离路灯远， 所以在位置B的影子长些； 故选C． 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论m+2与0的关系，当m+2≠0时，得到判别式与系数的关系，由此进行求解即可． 【详解】解：①m+2=0时，方程为只有一个解，不符合已知条件； ②m+2≠0即m≠-2时，方程有两个不相等的实根等价于△>0， 即, 解得，且； 故选A． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系． 10. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：C． 11. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 12. 如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，根据平行线分线段成比例和三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 第Ⅱ卷 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知，是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出一元二次方程的两个根，求两根之和，可直接应用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数， 该方程的二次项系数为，一次项系数为， ∴． 14. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 __．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【详解】解：是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 15. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 16. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过______落回地面． 【答案】 2 【解析】 【分析】物体落回地面时离地高度为，据此列方程求解，舍去不符合题意的初始解即可． 【详解】解：物体落回地面时，离地高度为，可得方程， 因式分解得， 解得或， ∵是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的要求， ∴， ∴物体经过落回地面． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解关于的方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 18. 在中，，D为的中点，，垂足为E，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数求解，可得，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在中，，设，则， ∴， ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 20. 已知线段a、b满足，且． （1）求a、b的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【小问1详解】 解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； 【小问2详解】 ∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 21. 按要求解答下列问题： （1）尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）如图1，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明，即可证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得． 22. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． （1）当每件盈利元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ （3）商场日盈利能否达到元？ 【答案】（1）当每件盈利元时，每天可销售件 （2）每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 （3）商场日盈利不能达到元 【解析】 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， 【小问2详解】 解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； 【小问3详解】 解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 23. 综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示 请根据以上测量数据，回答问题： （1）根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） （2）该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）99米 【解析】 【分析】（1）根据正切的定义计算即可得出结果； （2）设米，则米，解直角三角形得出米，米，求出的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，，米， ∴（米）； 【小问2详解】 解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得， ∴（米）， 故塔高约为米． 24. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据正方形的性质以及已知条件证明，然后由全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据矩形的性质以及已知条件证明，然后由相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点作，结合平行四边形的性质及已知条件可得是等边三角形，进而得到；然后证明可得，设，则，解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过点作， ∵在中， ， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设，则，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期阶段巩固练习题 九年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面对于的值，说法正确的是（ ） A. 为1 B. 为 C. 小于 D. 大于 2. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. ， D. ， 3. 已知，则下列结论一定成立的是（） A. ， B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（　　　） A. B. C. D. 5. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 如图，公路上有一个10米高的路灯．晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比（　　） A. 在位置A的影子长些 B. 一样长 C. 在位置B的影子长些 D. 无法确定 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 10. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，平分，过A点作，垂足为F并延长交于点G，D为中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知，是方程的两个根，则___________． 14. 鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 __．（结果保留根号） 15. 小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 16. 根据物理学规律，如果把一个物体从地面竖直上抛，那么物体经过后的离地高度（单位：）约为．根据上述规律，物体经过______落回地面． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解关于的方程：． 18. 在中，，D为的中点，，垂足为E，，，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 20. 已知线段a、b满足，且． （1）求a、b的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 21. 按要求解答下列问题： （1）尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 22. 商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． （1）当每件盈利元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ （3）商场日盈利能否达到元？ 23. 综合与实践：测量长安塔高 “长安塔”位于西安世界园艺博览会园区制高点小终南山上，此塔具有“天人长安”文化的标志性意义，某校九年级“综合与实践”小组开展了“长安塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 课题 测量长安塔的高度 测量目的 1、学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2、培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 方案一：如图1，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，点C到点B的距离为m米．方案二：如图2，在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为，从水平地面的C点向前走到点D处，测量的距离，并在D处测得塔顶端A的仰角为． 图示 请根据以上测量数据，回答问题： （1）根据方案一的方法，可测得长安塔的塔高______________米；（用含，的式子表示） （2）该小组在实践中发现：无法直接到达塔底端的B点，因此方案一中的无法直接测量，所以该小组采用方案二的方法，若测得，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果保留整数，参考数据：，，，） 24. （1）问题发现 如图1，在正方形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （2）类比探究 如图2，在矩形中，点和分别在和上，，垂足为点．求证：． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，点和分别在和上，与交于点且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $