精品解析：河北省承德市兴隆县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期阶段巩固练习 九年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，，，，下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据题意作出图形，进而根据三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，， ， ，，，， ∴、、错误，正确， 故选B． 2. 用配方法解一元二次方程时方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，．利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ） A. 4米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D． 5. 已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（ ） A. 7 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要利用三角形的面积公式，勾股定理，一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设一直角边为x，则另一直角边为，可得面积是，根据“面积为10”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长． 【详解】解：设一直角边为x，则另一直角边为，根据题意得 解得：，， ∴另一直角边为或， ∴直角三角形两直角边为4，5， ∴直角三角形的斜边为． 故选：D． 6. 如图，点是线段的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割性质即可解题. 【详解】∵点是线段的黄金分割点，由图可知,AC为较短边, ∴ 故选B 【点睛】本题考查了黄金分割的性质,属于简答题,熟悉黄金分割的性质是解题关键. 7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 8. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　） A. △ADE∽△ECF B. △ECF∽△AEF C. △ADE∽△AEF D. △AEF∽△ABF 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】在矩形ABCD中， ∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°， ∴∠DEA＋∠CEF＝90°，∠DEA＋∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠CEF， ∴△ADE∽△ECF． 故选A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 10. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 11. 正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】如图，为边上的格点，连接， 根据勾股定理，， ， ， 所以，， 所以，是直角三角形， ． 故选：B． 12. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 一元二次方程若，则方程必有一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解；由，可得出是一元二次方程的一个根，此题得解． 【详解】解：， 是一元二次方程的一个根． 故答案为：． 14. 如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知，在中，，，点在边上，点在边上，，当______时，则； 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，设，表示出，然后根据和是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解． 【详解】设， ， ， ， ， ∵， ， 即， 整理得， 解得，， 即的长为或， 故答案为或． 16. 如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据，可得到，再由，可证得，从而得到，可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算以及解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简特殊角的函数值以及乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）运用公式法解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】 （1）证明： ∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0， ∴x2﹣7x+12﹣m2=0， ∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2， ∵m2≥0， ∴△＞0， ∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）m的值为±，方程的另一个根是5． 【解析】 【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可； （2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可. 【详解】（1） 略 （2）解：∵方程的一个根是2， ∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=， ∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m的值为，方程的另一个根是5． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键. 当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根. 19. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 20. 如图，是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】正方形零件的边长为 【解析】 【分析】先设正方形零件的边长为xcm，再根据EF∥BC得出△AEF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得到关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】解：设正方形零件的边长为xcm ∵EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴x= 答：正方形零件的边长为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用及相似三角形的判定定理，正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决关键. 21. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 22. 如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？ （2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？ 【答案】（1）长方形鸡舍的长为，宽为 （2），解有两个；，解有一个；无解 【解析】 【分析】（1）设宽为，根据所用篱笆长为得长为，再由解出x的值，再判断其小于12则符合； （2）根据（1）知，长方形中平行于墙的边长为或为临界点可分为三个范围分别是，解有两个，，解有一个，无解． 【小问1详解】 解：设长方形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则长方形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得． 当时，（舍去）， 当时，． 答：长方形鸡舍的长为，宽为； 【小问2详解】 解：由（1）知，长方形中平行于墙的边长为或， ∴当时，（1）中的解有两个， 当时，（1）中的解有一个， 当时，无解． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键在于找准等量关系建立方程． 23. 在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h． （1）①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）； ②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）； （2）请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边． 【答案】（1）①和；② （2） 如图4，即为所作图形： 【解析】 【分析】（1）①解直角三角形即可求解； ②由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （2）根据题意画出图形即可； 【小问1详解】 解：①如图1，为等腰直角三角形，， 则； 如图2，为含的直角三角形， ，，， 则，． 综上，等腰直角三角形直角边长为，含的直角三角形直角边长分别为和． ②如图3，由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，， ， ∴ 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 24. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值; （2）如图2，当点F在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当点F在射线上时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形中，，得，即可得，由矩形和矩形可得，，得，得； （2）证明得出，，根据（1）的结论，即可求解； （3）过点作于点，由矩形和矩形可得，，得，设，则，得解得，即可得． 【小问1详解】 解：矩形中，，， ，，， ， ， ∴， 由矩形和矩形得，， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，当点在射线上时， ∵矩形和矩形， ∴，， ，， ， ∴，， ∵ ∴ 【小问3详解】 解：过作于点， ∵矩形和矩形， ∴， ， ，， ， ，， ，， ， ， 可以设， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握旋转性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段巩固练习 九年级数学试卷 卷Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中，，，，下列三角函数值正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ） A. 4米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知一直角三角形面积为10，两直角边的和为9，则斜边长为（ ） A. 7 B. 9 C. D. 6. 如图，点是线段的黄金分割点，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 8. 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF＝90°，则一定有（　　） A. △ADE∽△ECF B. △ECF∽△AEF C. △ADE∽△AEF D. △AEF∽△ABF 10. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 11. 正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（ ） A. B. C. D. 1 12. 对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每空3分，共12分．） 13. 一元二次方程若，则方程必有一根为_______． 14. 如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则_________． 15. 已知，在中，，，点在边上，点在边上，，当______时，则； 16. 如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）解方程：． 18. 已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0． （1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 19. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 20. 如图，是一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？ 21. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 22. 如图，有一农户要建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． （1）若，则长方形的边长分别为多少时，鸡舍的面积为？ （2）问a的值在什么范围内时，题（1）的解有两个解？一个解？无解？ 23. 在一场数学设计活动中，某同学用两套三角尺（每一套含有与的两个直角三角形，且两个三角形斜边上的高相等）拼出了如图所示的平行四边形，且中间包含了一个小平行四边形，若三角尺斜边上的高均为h． （1）①求两种直角三角形的直角边长（结果用表示）； ②求出中间小平行四边形的面积（结果用表示）； （2）请画出另一种符合题意的平行四边形，要求不与给定的图形状相同，并画出三角形的直角边． 24. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值; （2）如图2，当点F在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当点F在射线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $