精品解析：浙江嘉兴市南湖区嘉兴南湖实验中学2026-2027学年第一学期九年级数学期中考试

嘉兴南湖实验中学2026学年第一学期 九年级数学期中考试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，若圆的半径为5，，判断点与圆的位置关系（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴点在圆内． 2. 将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线y=x2向左平移1个单位得到, 故选B. 3. 为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率． 【详解】解：由统计图可知，随着种植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近， 可估计这种豆苗成活的概率约是． 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的概念，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角的形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 5. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形，  圆心角  正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 7. 已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似矩形，先求出小矩形的长都是，宽都是，再根据每个小矩形都和矩形相似，列方程求解即可． 【详解】解：将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，则三个相同的小矩形的长都是，宽都是， ∵每个小矩形都和矩形相似， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 故选：B． 8. 如图，已知点是等腰外一点，，，将沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作于点G，由折叠的性质得：，，设，则，，再结合等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而得到，，在中，利用直角三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点G， 由折叠的性质得：，， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 9. 已知二次函数，当时，自变量的取值范围是．点和点在抛物线上，若，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数不等式的解集确定开口方向与对称轴，结合两点横坐标之和与4的关系比较函数值大小． 【详解】解：∵当时，的取值范围是， ∴抛物线开口向上，且方程的两根为和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴，即点、的中点在对称轴右侧， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵开口向上的抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∴， ∵抛物线顶点纵坐标未知，函数值正负无法确定， ∴ 与的大小关系不确定． 10. 已知，，将绕点逆时针转（如图所示），得到，连接．若知道的面积，则一定能求出（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于，连接．证明，得到，再结合已知条件得到，根据三角形面积公式得即可得到结论． 【详解】解：由题意，绕点逆时针旋转得到， ． 过点作交于，连接． ， 是等腰直角三角形， ， 又， 得， ， ， ，． ， ， ， ． 故已知面积，一定能求出线段． 而、、长度无法唯一确定． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若正n边形的一个外角为，则_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为，每一个外角的度数均为． 12. 如图，已知点是的黄金分割点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义即可求出答案． 【详解】解：点是的黄金分割点，， ． 13. 如图，分别在三角形纸板的顶点，处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点．，，．则的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理逆定理判定是直角三角形，悬挂法得到的悬线交点为三角形的重心，利用直角三角形斜边中线性质求出中线长，再结合重心分中线之比为求出． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，． 由悬挂法可知，两条悬线的交点是的重心，、都是三角形的中线． 是斜边上的中线， ． 重心把中线分成两段，， ． 14. 如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作半径于D，连接，，根据折叠的性质可得，根据正弦的定义可求出，根据三角形内角和定理、圆周角定理等可求出，，则可证是等边三角形，得出，，过B作于E，根据等腰三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，作半径于D，连接，， ∵将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过B作于E， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 在中，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是截图的关键． 15. 小南探究台风“白海豚”对嘉兴的影响时，可以借助二次函数模型进行分析．如图15-1是“白海豚”移动路径图（比例尺），其中点为台风中心，从地登陆，沿着直线（台风的移动路径看成一条直线）向地移动．小南在该地图上量得的距离是，若设为，经过分析，发现是关于的二次函数．请你帮助小南继续探究：关于的函数图象如图15-2所示，图象与轴交于点，最低点，经过和两点． （1）的值是__________； （2）若“白海豚”的移动速度为，当时，“白海豚”_____开始影响嘉兴，则“白海豚”对嘉兴的影响时间是__________小时． 【答案】 ①. ②. 距离嘉兴 ③. 【解析】 【分析】（1）二次函数图象上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，利用对称轴公式求出； （2）①根据图象求解即可； ②先算出两点在图上的距离，结合比例尺换算实际距离，除以速度得到影响时长． 【详解】解：（1）依题意，， 当时，，此时，是点到直线的垂线段，如图，垂足为，； 当时，，对应． 在中，由勾股定理： ， ， ； （2）①当时，，对应， 即“白海豚”距离嘉兴开始影响嘉兴； ②，纵坐标相同，两点关于对称轴对称， ， ， 地图上， 比例尺为， 实际距离， 台风移动速度为影响时间（小时）． 16. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直径构造直角三角形求出，再由确定的轨迹是以为直径的圆，连接点与圆心，当、、三点共线时，用减去圆半径即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∵， ∴， 根据的圆周角所对弦是直径，点的轨迹是以为直径的圆， 设中点为点，则点是该圆的圆心，半径， 连接，在中，， 如图，当、、三点共线，且点在线段之间时，取得最小值， 此时． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10，24题12分，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴． （2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，把二次函数的解析式化为顶点式是解题的关键． 18. 如图，四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． （1）求取出的卡片是“B．蛤蟆精”的概率； （2）在这4张卡片中挑选2张，用画树状图或列表的方法，求选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率． 【答案】（1） 取出的卡片是“B．蛤蟆精”的概率为 （2） 选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵4张卡片形状、大小、质地完全相同，搅匀后任意抽取1张，共有4种等可能的抽取结果，其中抽到“B．蛤蟆精”的结果仅1种， ∴取出的卡片是“B．蛤蟆精”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如图 共有12种等可能的结果，其中同时抽到“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果共2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 19. 如图，的直径垂直弦于点，连接，，． （1）若，求的度数； （2）若，求弦的长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得到，则可求出的度数，进而求出的度数即可； （2）求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵的直径垂直弦于点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的直径垂直弦于点， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点在格点上． （1）画出过三点的圆的圆心； （2）求的长． 【答案】（1） 如图所示，点P即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，分别作、的垂直平分线，两直线交于点P，就是过A，B，C三点的圆的圆心； （2）先求，由勾股定理即可求得圆的半径，再根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：连结、和， ∵点P在，垂直平分线上， ∴ ∴点P是过三点的圆的圆心． 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查画三角形外心，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长公式．熟练掌握三角形外心概念和弧长公式是解题的关键． 21. 如图，在中，平分是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义、等量代换、三角形外角的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，易得；再证明可得，即，然后求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 22. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】（1）y与x的函数关系式为； （2）当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【解析】 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【小问1详解】 解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 23. 如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求的值； （2）若点在第一象限内，连接、，求的面积的最大值； （3）若是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）64 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式即可解答； （2）先求点坐标，再求直线的解析式，点坐标为（），过点作轴，交直线于点，则的坐标为，用割补法求的面积，再根据二次函数的性质解答即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据相似三角形的性质和判定解答即可； 【小问1详解】 解：将点代入抛物线解析式得：， 解得； 【小问2详解】 解：由，得抛物线解析式为：， 令，则，即， 设直线的解析式为， 代入、，得， 解得，， ∴直线的解析式为：， 设点坐标为（）， 过点作轴，交直线于点，则的坐标为， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 在内，当时，面积取得最大值，最大值为64； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， ①当时，如图，过点作轴于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②当时，如图，过点作轴于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③当时，如图，过点作轴于点，过点作轴与交于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴或或， 整理得， 解得：（舍去）或（舍去）或或， ∴或； 综上，或或或． 24. 如图1，已知为的直径，弦于点，是弧上一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点，连接． ①已知，设，，求与的关系式； ②记与的交点为，若，，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：为的直径，弦于点， ， ； （2）①； ②． 理由： 连接， 为的直径，弦于点，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， 平分， ， ， ． ∵四点共圆， ∴， 又， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案； （2）①证明，得出，代入数据求出结果即可； ②连接，根据勾股定理求得，进而证明平分，根据圆周角的定义得出，即可得，证明，再根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ， ， ， ，，， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴南湖实验中学2026学年第一学期 九年级数学期中考试 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，若圆的半径为5，，判断点与圆的位置关系（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 不确定 2. 将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解一种豆苗的成活率．调查小组将调查数据绘制成统计图，则可估计这种豆苗成活的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知：在矩形中，．将该矩形按如图方式分成三个相同的小矩形，若每个小矩形都和矩形相似，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，已知点是等腰外一点，，，将沿折叠，使点落在上的点处，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 9. 已知二次函数，当时，自变量的取值范围是．点和点在抛物线上，若，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，将绕点逆时针转（如图所示），得到，连接．若知道的面积，则一定能求出（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若正n边形的一个外角为，则_____________． 12. 如图，已知点是的黄金分割点，，则__________． 13. 如图，分别在三角形纸板的顶点，处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点．，，．则的长度是__________． 14. 如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为______． 15. 小南探究台风“白海豚”对嘉兴的影响时，可以借助二次函数模型进行分析．如图15-1是“白海豚”移动路径图（比例尺），其中点为台风中心，从地登陆，沿着直线（台风的移动路径看成一条直线）向地移动．小南在该地图上量得的距离是，若设为，经过分析，发现是关于的二次函数．请你帮助小南继续探究：关于的函数图象如图15-2所示，图象与轴交于点，最低点，经过和两点． （1）的值是__________； （2）若“白海豚”的移动速度为，当时，“白海豚”_____开始影响嘉兴，则“白海豚”对嘉兴的影响时间是__________小时． 16. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于点，连接．在点移动的过程中，的最小值等于________． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10，24题12分，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴． （2）自变量在什么范围内时，随的增大而增大． 18. 如图，四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． （1）求取出的卡片是“B．蛤蟆精”的概率； （2）在这4张卡片中挑选2张，用画树状图或列表的方法，求选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率． 19. 如图，的直径垂直弦于点，连接，，． （1）若，求的度数； （2）若，求弦的长． 20. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点在格点上． （1）画出过三点的圆的圆心； （2）求的长． 21. 如图，在中，平分是上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． （1）请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 23. 如图，抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点，点在抛物线上． （1）求的值； （2）若点在第一象限内，连接、，求的面积的最大值； （3）若是直角三角形，直接写出点的坐标． 24. 如图1，已知为的直径，弦于点，是弧上一点，连接，，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点，连接． ①已知，设，，求与的关系式； ②记与的交点为，若，，当时，判断和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $