精品解析：浙江省嘉兴市南湖区嘉兴南湖实验中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试卷

嘉兴南湖实验中学2025学年第一学期九年级期中考试 一、选择题：（10个小题，每题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2. 在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（ ） A B. C. 2 D. 6. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（ ） A. ④ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 9. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则__________． 12. 如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______； 13. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 14. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 15. 如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是__________． 16. 已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是__________． 三、解答题：（17~21每题各8分；22、23题每题各10分，24题12分，共72分） 17. 已知二次函数图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的关系式； （2）自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 18. 在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 19. 已知：如图，在中，． 求证： 20. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 21. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求关于的函数表达式； （2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？ 22. 如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． （1）求证：； （2）若，求阴影部分面积． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值． 24. 已知是的外接圆，点是的中点． （1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； （2）如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； （3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴南湖实验中学2025学年第一学期九年级期中考试 一、选择题：（10个小题，每题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2. 在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离d与半径r比较，若，则点在圆外，即可求解． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴ 点P在外． 故选：B． 3. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴是直线 ．根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】解：∵ 二次函数中，， ， ∴ 对称轴为． 故选：D． 4. 从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用概率公式计算简单事件概率，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵ 从甲、乙、丙三人中任选一人，总共有3种等可能结果，且甲被选中的结果有1种， ∴ 甲被选中的概率为 ． 故选：B． 5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得到，求出的长，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 6. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 7. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（ ） A. ④ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识逐项判断即可． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，即， ∴， ∵与y轴的交点B在之间（不含端点）， ∴， ∴，故①不正确； 对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点为， ∴当时，，故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∴， ∵， ∴，解得：，故③正确； 由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图， 由图象可知：若方程两根为，则，故④正确； 综上所述，正确的结论是③④， 故答案为：B． 9. 某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 10. 已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得到是等边三角形，设，由圆周角定理得到，由直角三角形的性质即可求出．由，求出，得到，因此，推出，得到，设圆的半径是r， ，代入有关数据即可求出的长，得到，的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，，， ∵弦于点E，， ， ， ∴是等边三角形， ， 设， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ∵直径， ， ， 设圆的半径是r，， ，， ， ， ， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是证明，求出与半径的数量关系，从而解决问题． 二、填空题：（6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴设，（其中）， ∴， 故答案为：． 12. 如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，发芽种子频率逐渐稳定在附近， ∴可估计该植物的种子发芽的概率为， 故答案为：． 13. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 14. 现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有4种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为： 15. 如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理：“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意，根据时，的取值范围为，且抛物线开口向下，则对称轴是直线，从而，故抛物线为，又当时，，可得，即求出二次函数为，又当，结合二次函数的性质即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下， 对称轴是直线， ， 抛物线为， 又当时，， ， 二次函数为， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ，， 又∵， 当时，取最大值为， 当时，取最小值为， 当时，， 故答案为：． 三、解答题：（17~21每题各8分；22、23题每题各10分，24题12分，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的关系式； （2）自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意设二次函数的解析式为，将点代入求出，即可求解； （2）根据二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵在二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小． 18. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． （1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． （2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵， ∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率， ∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，在中，． 求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据在同圆中相同的弦所对的弧相等得出，进而可得出，最后由圆周角定理即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半）及圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解答此题的关键． 20. 如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 21. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． （1）求关于的函数表达式； （2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）降价15元时，该书店可获得最大利润1250元 【解析】 【分析】（1）设每套书降价元时，所获利润为元，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式； （2）运用配方法求出二次函数最值． 此题考查了二次函数的应用问题，解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题． 【小问1详解】 解：设每套书降价元时，所获利润为元， 则每天可出售套； 由题意得：； 【小问2详解】 解：∵， 则当时，取得最大值1250； 即当降价15元时，该书店可获得最大利润1250元． 22. 如图，是的直径，点A在上且平分弧于点D，分别交于F，G． （1）求证：； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理，等角对等边， （1）根据是的直径，，，推出，即可推得． （2）根据，求出，再根据，求出，即可求出阴影部分面积． 【小问1详解】 证明：∵A是弧的中点， ∴在中有． ∵是的直径， ∴． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，过E点作于H， ∵， ∴， ∴ ∴是等边三角形. 又∵A是弧的中点， ∴， ∴. 在中，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线； （3）点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合不等式的相关知识点进行推理是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴为直线，据此求解即可； （2）根据题意可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出，可证明在直线上，即可证明点A，B，C三点共线； （3）由点、在抛物线上，得、，因为抛物线的开口向下，对称轴为直线，分以下两种情况进行讨论：当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，即，求出值并判断其是否在的取值范围内；当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，即，求出值并判断其是否在的取值范围内． 【小问1详解】 解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线， ∴， 解得； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， 在中，当时，， ∴ 对称轴与x轴交于点B， ∴， 设经过点A和点B的直线的解析式为， 将点A，B的坐标代入，得，解得， 直线解析式为， 点在抛物线上，且， ， 解得（舍）或， ∴， 在中，当时，， 点在直线上，即点A，B，C三点共线； 【小问3详解】 解：点、在抛物线的图象上， ，， ∴、， ∵，即抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴当时，则， ∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， ∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8， ∵， ∴， ，， 点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小， ∴， ， 解得（不符合题意，舍去）或； 当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧， ∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ∴， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 24. 已知是的外接圆，点是的中点． （1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示； （2）如图2，过点作，交弦的延长线于点． ①求证：； ②若的半径为4，，求的值； （3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点是中点，可得，，则，，由，可得，则，根据，求解作答即可； （2）①由（1）可知，，则，由，，则，，进而可证； ②如图1，连接交于，连接，则，设，则，，由勾股定理得，，即；，即；可得，计算求解，进而可求的值； （3）如图2，作，使，连接，则是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，由是半圆，可得，由（1）可知，，则，由，可得，证明，则，由轴对称的性质可知，，则，由勾股定理得，，即． 【小问1详解】 解：∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 ①证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②解：如图2，连接交于，连接， 由（1）可知，，为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，， ∴的值为； 【小问3详解】 解：，证明如下； 如图3，作，使，连接， ∴是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∵是半圆， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知，， ∴， 由勾股定理得，，即． 【点睛】本题考查了垂径定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，同弧所对的圆周角相等．熟练掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $