精品解析：浙江省名校共同体2026-2027学年11月九年级上学期期中数学试卷

九年级数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟： 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 判断圆的半径与大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，，且， ∴点P在外． 故选B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 3. 下列各组数据是四条线段的长度，其中成比例的线段是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 4，2，3，1 D. 1，2，3，6 【答案】D 【解析】 【详解】解：将各选项线段长度从小到大排序： A、C均为，，，，不成比例； B为，，，，不成比例； D为，，，，成比例． 4. 一个正边形的每个外角均为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，熟练掌握计算公式是解题的关键． 由正多边形的每个外角等于即可求解． 【详解】解：一个正边形的每个外角均为，则， 故选：C． 5. 如图，在中，，点分别在边上．若要使与相似，则的度数是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先算出中的度数，和有公共角，分两种相似情况讨论：①；②，对应角相等求出． 【详解】解：在中，，， ， 是与的公共角，分两种情况： ①当时，； ②当时，． 的度数为或． 6. 若点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】将两点横坐标代入抛物线解析式，消去参数k后即可比较与的大小． 【详解】解：将代入，得 将代入，得 ． 7. 关于同一个圆内的两条弦，有以下两个命题：①若两条弦相等，则它们所对圆周角一定相等；②若两条弦所对圆周角相等，则两条弦一定相等．下列说法正确的是（ ） A. ①②均对 B. ①②均错 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于命题①， ∵ 同圆中相等的弦所对的劣弧、优弧分别相等， 又∵ 每条弦所对的两类圆周角分别在弦的两侧，它们的度数和为 °， ∴ 两条相等的弦所对的圆周角可能相等，也可能互补，并非一定相等， 故命题①错误； 对于命题②， ∵ 同圆中相等的圆周角所对的弧相等， 又∵ 等弧所对的弦相等， ∴ 两条弦一定相等， 故命题②正确． 8. 如图，在中，于点交于点．若，则的长不可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，得到比例式，再结合、分析与的大小关系，确定的取值范围，从而判断选项． 【详解】解：， ， ， 已知，代入得：， ，， 在和中： ，， ， ， 又， ，即； 同时，即， ， ， 不可以取． 9. 已知抛物线上有两点．若一元二次方程有一个实数根为，则另一个实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 点，在抛物线上且， ∴ 抛物线的对称轴为直线， 设一元二次方程的另一个实数根为， ∵ 抛物线与轴的两交点关于对称轴对称， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 10. 如图，为半圆的直径，点在弦上，以为边作正方形，点恰好在半圆上．若，则弦的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心作交于点，连接，结合正方形性质可得，根据垂径定理求得，，设，则，利用勾股定理求出，即可求得的长． 【详解】解：设圆心，点为的中点，作交于点，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂径定理，，， ∵为半圆的直径， ∴， ∴， 又为的中点， ∴是的中位线， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，且，则非负数的值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用比例的基本性质建立关于的方程，结合为非负数的条件计算即可． 【详解】解：∵ ∴由比例的基本性质，可得． 将，代入上式，得． ∵为非负数 ∴． 12. 若关于的方程的解为，则的值是_________． 【答案】0 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵是原方程的解， ∴将代入原方程，得， 当时，化简得，该情况不成立； 当时，化简得， 解得：． 13. 将长为的线段绕端点旋转，则线段扫过的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】线段绕端点旋转扫过的图形为圆心角等于旋转角度、半径等于线段长度的扇形，代入扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意，线段绕端点旋转时，扫过的图形是半径为、圆心角为的扇形． 根据扇形面积公式，其中为圆心角度数，为扇形半径． 代入，，得． 14. 古希腊学者泰勒斯曾用图1方法巧测金字塔高度．如图2，小东仿照该方法测量圆锥形小山高度，在小山旁立起一根木棒，当其影长等于其高度时，量得影长为（直线过底面圆心），已知小山底面周长为，则小山高度是_________（取）． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】解：连接，过作于， 由题意可知， ， 圆锥底面周长为， ， 解得． ， ， 小山包的高为． 15. 九年级上册数学课本第37页有一道作业题如下． 2．某商店引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少件．当销售单价为多少元时，该店一个月获得的利润最大？ 小李在期中复习时，发现该题有4处数据被污染，他找到以前画的解决该题的两个二次函数图象，月销售利润（元）随销售单价（元）变化的图象如图1；月销售利润（元）随销售单价上涨幅度（元）变化的图象如图2（注：上涨幅度等于销售单价减去框中第2个被污染的数据）．根据图象信息可得该店一个月获得的最大利润是_________元． 【答案】 【解析】 【分析】图1：利润关于售价的二次函数，零点，，解析式可写成：．设原来售价为，上涨幅度，即．图2：（就是原价）时，；时，，也就是时利润为0．分别求出，，再求利润最大值即可． 【详解】解：由图1，利润为0时售价、， 进价为20元，二次函数设为：， 上涨幅度，是原售价； 图2中时利润，对应， 解得． 即， 此时，代入：， 解得， ， 对称轴：， 把代入： ． 16. 如图，为的直径，点在线段上，交于点，延长到点，使，在上取一点，连接．若，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证，求出，连接，作于点，设，再由勾股定理求解，再在中用勾股定理求． 【详解】解：， ． ∵， ， ， ∵， ， ， 连接，作于点， ， 设，在中，， 在中，， ， 解得， ， 在中，． 三、解答题（本大题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分．解答需写出必要的推理、计算过程） 17. 已知二次函数． （1）求函数图象与轴的交点坐标． （2）当函数值时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）该函数图象与轴的交点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）令求解即可确定其与轴的交点坐标； （2）当时，即抛物线在轴的下方的部分，写出对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：令，则， 解得， 所以该函数图象与轴的交点坐标为． 【小问2详解】 解：当时，． 18. 如图，一把角尺的直角顶点在圆上，角尺两边与圆交于点．用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹；在答题卷中先用铅笔作图，确认无误后再用黑色水笔将作图痕迹描黑）． （1）画出该圆的圆心． （2）画出该圆夹在内的圆弧中点． 【答案】（1）如图所示（其它正确方法亦可） （2）如图所示（其它正确方法亦可） 【解析】 【分析】（1）连接，由可知为直径，作的垂直平分线交于点即为圆心； （2）（1）中的垂直平分线交圆于点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，对角线交于点为的中点，连结并延长，与边交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形， 所以， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行证明相似； （2）根据相似三角形性质及的长求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为四边形是平行四边形， 所以， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以． 20. 小红用破损的量角器按如图方式测量．使点落在量角器的圆弧上，两边与量角器的圆弧交于点，发现点对应的刻度分别为． （1）若量得，求量角器的半径． （2）求的度数． 【答案】（1）量角器的半径是4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出所对的圆心角等于，进而即可求出半径； （2）根据题意求出所对的圆心角等于，进而即可求出的度数． 【小问1详解】 解：∵点对应的刻度分别为， 所对的圆心角等于， 设圆心为，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴量角器的半径是4． 【小问2详解】 解：∵对应的刻度分别为， ∴所对的圆心角等于， 如图，取点，连接， ∴， ， ∴． 21. 一条抛物线形灯带的右端点与左端点的水平距离为，离地高度，最低点与左端点的水平距离为，离地高度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求左端点离地的高度． （2）在抛物线上，从点开始每隔的水平距离安装一盏小圆灯，通电后，从左往右每隔秒钟依次点亮一盏灯．设某一时刻所有已点亮的灯中，最高一盏与最低一盏的高度之差为，则在整个点亮灯的过程中，保持不变的时间会持续几秒？ 【答案】（1） （2）秒 【解析】 【分析】（1）由最低点设顶点式，代入右端点求出系数，再令得到左端点离地的高度； （2）按米的间隔看清各灯高度的变化，用最低点与点关于对称轴的对称位置锁定最高、最低两盏灯，找准开始变化的那一盏灯后按每盏秒换算成时间． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数表达式为． ∵点在抛物线上， ∴，解得． ∴函数表达式为． ∵点在轴上，横坐标为， ∴． ∴左端点离地的高度为米． 【小问2详解】 解：灯的横坐标依次为． 从点到点共装盏灯，每隔秒点亮一盏． ∵抛物线的对称轴为直线，最低点的高度为米， ∴横坐标处的灯点亮后，已点亮的灯中最低一盏固定为点． ∵点的横坐标为，与它高度相同的位置横坐标为， ∴横坐标大于而不超过时，新点亮的灯都不高于点，已点亮灯中最高一盏固定为点． ∴最高与最低两盏都固定，高度之差保持不变． ∵当时，新点亮的灯高于点， ∴横坐标处的灯点亮后，最高一盏被刷新，开始增大． ∵从横坐标到共个点亮间隔， ∴保持不变的时间为秒． 22. 【综合与探究】数学课上老师出示图1，并提出问题：在中，点分别在边，上，，连结与中点，并延长交于点，求证：是的中点．老师提供部分证明如下：因为，所以，所以 （1）请补全上述证明过程． （2）在图2的正方形网格中，线段经过格点，经过格点分别作射线交于点，连结．请证明，并且仅用无刻度的直尺画出线段的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为是的中点， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以四边形是平行四边形， 所以． 作法如下图（取中点的方法不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形性质即可证明； （2）证明四边形是平行四边形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 为研究如下问题：已知一个二次函数的自变量（为整数）时，相应的函数值记为，设，研究与的关系．老师让同学们通过观察下列各图中的小圆点排列情况，先解决题（1），并进一步研究所提出的问题． （1）设第个图中的小圆点个数为，请用含的代数式表示． （2）①猜想关于的函数是哪类函数（提示：在一次函数与二次函数中选择），并证明你的猜想． ②若，求二次函数图象的对称轴． 【答案】（1） （2）①解：猜想关于的函数是一次函数 设二次函数表达式为， 则 所以 所以关于的函数是一次函数 ②二次函数图象的对称轴是直线 【解析】 【分析】（1）根据题意总结归纳规律即可． （2）①求出关于的表达式，根据一次函数与二次函数的定义判断； ②结合①中结论求出二次函数表达式中的值，再求对称轴． 【小问1详解】 解：由图可知，， ， ， ． 【小问2详解】 解：①略； ②由①得，， 根据题意，时，；时，， ， 解得，， 所以二次函数图象的对称轴是直线． 24. 如图，，点在边上，，点在边上运动，连接，以为直径作，分别交线段于点，过点作的平行线交于点，连接交于点． （1）当时，求的度数． （2）当时，求的长． （3）连接，当的面积取到最大值时，的值能否也取到最大？若能，请分别求出最大值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能，的最大值为，的最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理即可求出的度数． （2）连接，结合圆周角定理及含的直角三角形性质即可求出的长． （3）作于点，连接，设，则，分别求出的面积和的最大值，判断取得最大值条件是否相同即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∴， 又， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴是含的直角三角形， 又， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知，，，，四边形是矩形， ，， ∴是直径， ∴， ∴， ∴是含的直角三角形， ，， ， ∴， ． 【小问3详解】 解：如图，作于点，连接， ∴， ∴，是的中位线， ∴， 由（2）知，是含的直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴是含的直角三角形， ∴， 设，则， 则， 当时，的最大值为． ∵， ∴， 即， ∴的最大值为． 此时点重合，平分是等边三角形，与同时取到最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 考生须知： 1．本卷满分120分，考试时间120分钟： 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知的半径为3，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在外 C. 点在上 D. 无法判断 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据是四条线段的长度，其中成比例的线段是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 4，2，3，1 D. 1，2，3，6 4. 一个正边形的每个外角均为，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，在中，，点分别在边上．若要使与相似，则的度数是（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 若点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 关于同一个圆内的两条弦，有以下两个命题：①若两条弦相等，则它们所对圆周角一定相等；②若两条弦所对圆周角相等，则两条弦一定相等．下列说法正确的是（ ） A. ①②均对 B. ①②均错 C. ①对②错 D. ①错②对 8. 如图，在中，于点交于点．若，则的长不可能是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知抛物线上有两点．若一元二次方程有一个实数根为，则另一个实数根是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为半圆的直径，点在弦上，以为边作正方形，点恰好在半圆上．若，则弦的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，且，则非负数的值是__________． 12. 若关于的方程的解为，则的值是_________． 13. 将长为的线段绕端点旋转，则线段扫过的面积为_________． 14. 古希腊学者泰勒斯曾用图1方法巧测金字塔高度．如图2，小东仿照该方法测量圆锥形小山高度，在小山旁立起一根木棒，当其影长等于其高度时，量得影长为（直线过底面圆心），已知小山底面周长为，则小山高度是_________（取）． 15. 九年级上册数学课本第37页有一道作业题如下． 2．某商店引进一批进价为每件元的玩具，如果以每件元销售，那么一个月可售出件．如果提高售价，销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少件．当销售单价为多少元时，该店一个月获得的利润最大？ 小李在期中复习时，发现该题有4处数据被污染，他找到以前画的解决该题的两个二次函数图象，月销售利润（元）随销售单价（元）变化的图象如图1；月销售利润（元）随销售单价上涨幅度（元）变化的图象如图2（注：上涨幅度等于销售单价减去框中第2个被污染的数据）．根据图象信息可得该店一个月获得的最大利润是_________元． 16. 如图，为的直径，点在线段上，交于点，延长到点，使，在上取一点，连接．若，则的长是_________． 三、解答题（本大题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分．解答需写出必要的推理、计算过程） 17. 已知二次函数． （1）求函数图象与轴的交点坐标． （2）当函数值时，请直接写出自变量的取值范围． 18. 如图，一把角尺的直角顶点在圆上，角尺两边与圆交于点．用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹；在答题卷中先用铅笔作图，确认无误后再用黑色水笔将作图痕迹描黑）． （1）画出该圆的圆心． （2）画出该圆夹在内的圆弧中点． 19. 如图，在中，对角线交于点为的中点，连结并延长，与边交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 小红用破损的量角器按如图方式测量．使点落在量角器的圆弧上，两边与量角器的圆弧交于点，发现点对应的刻度分别为． （1）若量得，求量角器的半径． （2）求的度数． 21. 一条抛物线形灯带的右端点与左端点的水平距离为，离地高度，最低点与左端点的水平距离为，离地高度，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求左端点离地的高度． （2）在抛物线上，从点开始每隔的水平距离安装一盏小圆灯，通电后，从左往右每隔秒钟依次点亮一盏灯．设某一时刻所有已点亮的灯中，最高一盏与最低一盏的高度之差为，则在整个点亮灯的过程中，保持不变的时间会持续几秒？ 22. 【综合与探究】数学课上老师出示图1，并提出问题：在中，点分别在边，上，，连结与中点，并延长交于点，求证：是的中点．老师提供部分证明如下：因为，所以，所以 （1）请补全上述证明过程． （2）在图2的正方形网格中，线段经过格点，经过格点分别作射线交于点，连结．请证明，并且仅用无刻度的直尺画出线段的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 为研究如下问题：已知一个二次函数的自变量（为整数）时，相应的函数值记为，设，研究与的关系．老师让同学们通过观察下列各图中的小圆点排列情况，先解决题（1），并进一步研究所提出的问题． （1）设第个图中的小圆点个数为，请用含的代数式表示． （2）①猜想关于的函数是哪类函数（提示：在一次函数与二次函数中选择），并证明你的猜想． ②若，求二次函数图象的对称轴． 24. 如图，，点在边上，，点在边上运动，连接，以为直径作，分别交线段于点，过点作的平行线交于点，连接交于点． （1）当时，求的度数． （2）当时，求的长． （3）连接，当的面积取到最大值时，的值能否也取到最大？若能，请分别求出最大值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $