精品解析：天津市红桥区2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试卷

高二数学 一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上.） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解长寿沙田柚的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况调查 2. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件 相互独立，事件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为（ ） A B. C. D. 1 4. 在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”概率为（ ） A. 0.18 B. 0.21 C. 0.39 D. 0.40 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 圆心为点，且过点，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 8. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 9. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题卡上.） 10. 某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为_______kg. 11. 数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的30%分位数是____. 12. 写出一条与直线垂直的直线方程_____. 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________. 14. 已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O，A，则______. 15. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是______（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 三、解答题（本大题4个小题，每小题10.分，共40分.请将答案直接答在答题卡上，） 16. 随着人民生活水平提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 （1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （2）试估计该地区青年人对酸奶满意概率； （3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 17. 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： （1）经过点； （2）与直线平行． 18. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程. 19. 已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点． ①若的面积为，求直线l的方程； ②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上.） 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解长寿沙田柚的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查和普查的特点逐一判断. 【详解】对于A，了解长寿沙田柚的甜度情况，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于B，了解某品牌新能源汽车电池续航能力，普查工作量大且有破坏性，适合抽样调查； 对于C，了解重庆市中学生收看9月3日阅兵直播情况，普查工作量大，适合抽样调查； 对于D，对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查，是精确度要求高的调查，适合全面调查. 故选：D. 2. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、， 则样本空间， 记事件表示“其中一个节气立春”，则， 由古典概型可知． 故选：B 3. 已知事件 相互独立，事件 发生的概率为 ，事件 发生的概率为 ，则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由事件  相互独立，可得，再利用概率求和公式求解即可. 【详解】 因为事件  相互独立，所以 则“两个事件  至少有一个发生” 的概率为, 故选：C 4. 在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（ ） A. 0.18 B. 0.21 C. 0.39 D. 0.40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出给定方程的直线斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：D 6. 圆心为点，且过点，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两点间距离得出半径，再应用圆的标准方程计算求解. 【详解】圆心为点，且过点，则该圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：B. 7. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 与的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离与半径长度相比较即得. 【详解】由题意可得圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心到直线的距离， 因为，所以，则直线与圆相交. 故选：C. 8. 若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（ ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 9. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得： ，解得：， 双曲线方程为：. 故选：D.. 【考点】 双曲线的标准方程 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将答案填在答题卡上.） 10. 某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为_______kg. 【答案】6720 【解析】 【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园苹果产量. 【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为kg. 故答案为： 11. 数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的30%分位数是____. 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，又因为， 所以数据的30%分位数是第三个数和第四个数的平均数，所以数据的30%分位数是. 故答案为：. 12. 写出一条与直线垂直的直线方程_____. 【答案】（答案不唯一，均可） 【解析】 【分析】求出所求直线的斜率，即可得到直线方程. 【详解】因为直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率， 所以所求直线方程可以为. 故答案为：（答案不唯一，均可） 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程得，从而可求，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率，即可求解． 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为， 所以，所以， 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题． 14. 已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O，A，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出右焦点坐标及渐近线方程，再求出焦点到渐近线距离，最后根据垂径定理及勾股定理求解 【详解】 根据双曲线方程得右焦点，渐近线为 因此焦点到两渐近线的距离均为. 由于圆过原点，故其半径为. 因此 故答案为：. 15. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是______（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断①，利用椭圆的对称性合理转化长度判断②，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断③，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解④即可. 【详解】对于①，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故①正确； 对于②，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故②正确； 对于③，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③错误； 对于④，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④正确． 故选：①②④． 三、解答题（本大题4个小题，每小题10.分，共40分.请将答案直接答在答题卡上，） 16. 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）． 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 （1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （2）试估计该地区青年人对酸奶满意的概率； （3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果即可） 注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值． 【答案】（1） （2） （3）青年人 【解析】 【分析】（1）由题干可知总人数为，对酸奶满意的人数为，由此可得结果； （2）用样本频率估计总体概率，可得该地区青年人对酸奶满意的概率.青年人共人，满意的人数为，即可得结果； （3）根据消费群体中满意的人数与总人数的比值，计算出各人群的满意度，再计算提高后各个群体增加的满意人数，增加的人数更多的即为所选. 【小问1详解】 设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件A， 样本总人数为500，其中对酸奶质量满意的人数为， 所以． 【小问2详解】 用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率． 【小问3详解】 青年人消费群体对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大. 理由如下： 老年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 中年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 青年人满意度为，满意度提高后增加的满意人数为（人）； 所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升0.1， 人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大. 17. 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： （1）经过点； （2）与直线平行． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【小问1详解】 由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； 【小问2详解】 由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 18. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若直线经过点，且与圆相交截得弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解； （2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以线段的中点坐标为，直线的斜率， 因此线段的垂直平分线方程是. 联立，解得， 所以圆心的坐标. 圆的半径长 所以圆心为的圆的标准方程是； 【小问2详解】 因为直线被圆截得弦长为， 所以圆到直线的距离. ①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设， 即. 所以，解得或. 直线的方程为或 19. 已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点． ①若的面积为，求直线l的方程； ②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点． 【答案】（1）； （2）①或或；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定的点B及离心率，求出a，b作答. （2）由（1）求出坐标，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，①求出点P，Q纵坐标差的绝对值结合三角形面积求出l方程；②求出直线方程并求得M的坐标即可作答. 【小问1详解】 因椭圆的上顶点B，则，令椭圆半焦距为c， 由离心率为得，，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得：，设， 则，， 因此，解得或， 直线l的方程为或或. ②显然直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，由①得直线的方程为， 由得点，直线的方程为：， 由解得：，因此点， 由①知，，即线段中点坐标为， 所以点M为线段的中点. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $