精品解析：福建省厦门市思明区厦门大学附属科技中学2026-2027学年上学期七年级数学 期中阶段试卷

厦门大学附属科技中学2026—2027学年（上）初一期中考试 数 学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数、、、中，最大的数是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 2. 的倒数是（ ） A. B. C. 2023 D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是7 C. 4不是单项式 D. 与是同类项 4. 下列各式去括号正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 小明在推导有理数加法法则：若，，且，则的结果（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是0 D. 无法确定正负 6. 如图四幅图中，不能正确表示这个式子的有（ ） A. ①和② B. ①和④ C. ②和③ D. ③和④ 7. 在右图所示的6个方格中分别填有一个关于x的多项式，其中n为有理数．将图中横、竖、斜三条虚线各自经过的3个方格中所填的多项式分别求和，合并同类项后每个和的次数和项数均为m，给出下面三个结论： ①； ②☆处所填多项式的次数一定为3 ③△处所填多项式的次数可能为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 已知数列4，7，10，13，16，…，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：，，，，，，，，，…，那么第116个括号内的各数之和是（ ） A. 3460 B. 3466 C. 3496 D. 3508 二、填空题（每题4分，共8题，满分32分） 9. 直接写出结果：（1）______；（2）______； （3）__________；（4）______； 10. 若与是同类项，则的值是________． 11. 植树造林可以净化空气、美化环境．据统计一棵50年树龄的树累计创造价值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为___． 12. 工地上有90吨水泥，每天用去3.5吨，用了h天，用含有字母h的式子表示剩下的吨数是 _____吨． 13. 如果数轴上点表示的数为4，点到点的距离为6，那么点表示的数为____________． 14. 若，则代数式的值为__________． 15. 数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据知道和的值，可以求的值；如果知道和的值，可以求的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： （1）填空：___________ （2）若，则___________ 16. 直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．若出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人共进行13回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他3次及3次以上的连胜情况，则在游戏结束时两人相距__________米． 三、解答题（共9题，满分86分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 18. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 19. 把下列各数表示的点画在数轴上，并用“”把这些数连接起来． ，，0，． 20. 如图为厦门市地铁号线地图的一部分，某天，小松参加志愿者服务活动，从乌石浦站出发，到从站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向北为正，向南为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． （1）请通过计算说明站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 21. 如图，某社区计划将一块长方形空地改造为“亲子互动区”，其中左边空白部分设计为以长方形的宽为半径的四分之一圆形“幼儿沙池”，右边空白部分规划为直角三角形“家长休息平台”，剩余部分（阴影部分）铺设彩色塑胶地面，供儿童奔跑游戏（单位：） （1）求需要铺设彩色塑胶地面的面积；（用含的代数式表示，结果保留） （2）若，铺设彩色塑胶地面的成本是80元，求铺设彩色塑胶地面所需的总费用．（取3） 22. 【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． （1）若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． （2）在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． （3）【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 23. 某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． （1）若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； （2）若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； （3）若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ （4）若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 问题提出：计算．（其中n都是正整数，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． （1）根据第n次分割图可得等式： ． （2）类比探究：计算．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程） （3）拓展思考：①计算 ．（且m为正整数） ②计算 ． 25. 操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点，即M到A的距离与M到B的距离相等，记作：，如：； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点P旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点，即P到A的距离与P到B的距离相等，且P到M的距离与P到N的距离相等，记作：，如：； （1）利用图3、图4，直接填空： ， ； （2）若A、B两点所表示的数分别是、，，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）； （3）点A表示的数为a，点B与点A的距离为3，点C是数轴上一动点，且，； ①当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值； ②点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请求出它的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2026—2027学年（上）初一期中考试 数 学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在数、、、中，最大的数是（ ） A. 0 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此求解即可． 【详解】解：， ， 最大的数是5， 故选：B． 2. 的倒数是（ ） A. B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是7 C. 4不是单项式 D. 与是同类项 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类项、单项式、多项式，根据单项式的定义，同类项的定义，多项式的次数，可得答案，熟记单项式的定义，同类项的定义，多项式的次数是解题关键． 【详解】解：A、的系数是，故选项不符合题意； B、的次数是3，故选项不符合题意； C、4是单项式，故选项不符合题意； D、与是同类项，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各式去括号正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据去括号的法则对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 5. 小明在推导有理数加法法则：若，，且，则的结果（ ） A. 一定是正数 B. 一定是负数 C. 一定是0 D. 无法确定正负 【答案】A 【解析】 【分析】将异号两数的和转化为较大绝对值减较小绝对值的形式，通过差的正负判断和的符号． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， 即． 6. 如图四幅图中，不能正确表示这个式子的有（ ） A. ①和② B. ①和④ C. ②和③ D. ③和④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握线段长度、长方形周长和面积的计算方法是解题的关键．根据线段长度、长方形周长和面积的计算方法，分别分析每幅图所表示的式子，再与对比即可． 【详解】解：①线段的长度为，符合题意； ②线段的长度为，符合题意； ③长方形的周长为，不符合题意； ④整个图形的面积为，不符合题意； 不能正确表示这个式子的有①和②， 故选：A． 7. 在右图所示的6个方格中分别填有一个关于x的多项式，其中n为有理数．将图中横、竖、斜三条虚线各自经过的3个方格中所填的多项式分别求和，合并同类项后每个和的次数和项数均为m，给出下面三个结论： ①； ②☆处所填多项式的次数一定为3 ③△处所填多项式的次数可能为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、多项式的次数以及项数等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先列出斜线、横线、竖线的代数式，然后运用整式的加减运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由题意可知： 斜线：； 横线：； 竖线：； 则横线和为：，即该多项式的次数为2， ∵合并同类项后每个和的次数和项数均为m， ∴，，即，故①正确； 竖线和为：， ∵合并同类项后每个和的次数和项数均为2 ∴处的多项式含 ∴☆处所填多项式的次数一定为3，即②正确； 斜线和为：， ∵的次数为2，处的多项式含，合并同类项后每个和的次数和项数均为2 ∴△处所填多项式的次数一定不能为3 即③错误. 综上，正确的为①②． 故选：A． 8. 已知数列4，7，10，13，16，…，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：，，，，，，，，，…，那么第116个括号内的各数之和是（ ） A. 3460 B. 3466 C. 3496 D. 3508 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，先根据括号四个一循环，得出第116个括号正好是第29组的最后一个，根据括号里数的个数和数字规律，得出第116个括号里的四个数分别为：、865、868、871，然后求和即可． 【详解】解：根据题意可知，括号四个一循环， ∵， ∴第116个括号正好是第29组的最后一个， ∵一个循环中有数的个数为（个）， ∴前28个循环中有数的个数为：（个）， ∴前115个括号里的数的个数为：（个）， 根据数列4，7，10，13，16，…，可知第n个数为， ∴第115个括号里的最后一个数为， ∴第116个括号里的四个数分别为：、865、868、871， ∴第116个括号内的各数之和是： ． 故选：B． 二、填空题（每题4分，共8题，满分32分） 9. 直接写出结果：（1）______；（2）______； （3）__________；（4）______； 【答案】 ①. 2 ②. 3 ③. ④. 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算、绝对值，根据有理数的运算法则逐项计算即可得出答案． 【详解】解：（1）；（2）； （3）；（4）． 故答案为：2，3，，． 10. 若与是同类项，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相同， ∴． 11. 植树造林可以净化空气、美化环境．据统计一棵50年树龄的树累计创造价值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为___． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 12. 工地上有90吨水泥，每天用去3.5吨，用了h天，用含有字母h的式子表示剩下的吨数是 _____吨． 【答案】 【解析】 【分析】用本来的水泥吨数减去用去的水泥吨数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，剩下的吨数是吨， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解题的关键． 13. 如果数轴上点表示的数为4，点到点的距离为6，那么点表示的数为____________． 【答案】或10##10或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，再列式计算即可. 【详解】解：或， 则点B表示的数为或10， 故答案为：或10． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，有理数的加减法运算，清晰的分类计算是解题关键． 14. 若，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将已知代数式的值变形后代入计算即可求出值． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 15. 数学兴趣小组在合作学习过程中获得知识的同时，也提出新的问题．例如：根据知道和的值，可以求的值；如果知道和的值，可以求的值吗？他们对此进行了研究，并规定：若，那么，例如：若，则．根据他们的研究结果，解答下列各题： （1）填空：___________ （2）若，则___________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行解答即可； （2）根据新定义求出，，代入，根据新定义即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 16. 直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．若出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人共进行13回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他3次及3次以上的连胜情况，则在游戏结束时两人相距__________米． 【答案】7或11或12或17 【解析】 【分析】先计算已知连胜的前进距离与回合数，再结合无其他3次及以上连胜的约束，对剩余回合的胜场情况分类讨论求解. 【详解】解：由题意，三个连胜块共占 回合，还剩 3 回合； 小亮1个三连胜，共前进米，小伟一次3连胜和一次4连胜共前进米； 把连胜块、单胜（双胜）都看作“段”：同一人的两段不能相邻，否则会并成更长的连胜（破坏“小亮恰好一次 3 连胜、小伟一次 3 连胜和一次 4 连胜”）， 分四种情况：如表： 分段示例 亮净位移 伟净位移 相距 3 个单胜（2 亮 + 1 伟） 亮3 伟3 亮1 伟4 亮1 伟1 12 亮 2 连胜 + 亮单胜 亮3 伟3 亮2 伟4 亮1 7 亮 2 连胜 + 伟单胜 伟1 亮3 伟3 亮2 伟4 11 伟 2 连胜 + 亮单胜 伟2 亮3 伟3 亮1 伟4 17 综上：在游戏结束时两人相距7或11或12或17米. 三、解答题（共9题，满分86分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 19. 把下列各数表示的点画在数轴上，并用“”把这些数连接起来． ，，0，． 【答案】 【解析】 【分析】首先化简绝对值和乘方，然后在数轴上表示各数，然后根据数轴上左边的数小于右边的数求解即可． 【详解】解：，， 数轴表示略； ． 20. 如图为厦门市地铁号线地图的一部分，某天，小松参加志愿者服务活动，从乌石浦站出发，到从站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向北为正，向南为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，． （1）请通过计算说明站是哪一站？ （2）若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】（1）站是集美学村站； （2）这次小松志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米． 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义，有理数的乘法运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）根据正负数的意义，进行列式计算，即可作答． （）先算出这次小松志愿服务期间乘坐地铁的行进的站数，再与相乘，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴站是集美学村站； 【小问2详解】 解：， （千米）， 答：这次小松志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米． 21. 如图，某社区计划将一块长方形空地改造为“亲子互动区”，其中左边空白部分设计为以长方形的宽为半径的四分之一圆形“幼儿沙池”，右边空白部分规划为直角三角形“家长休息平台”，剩余部分（阴影部分）铺设彩色塑胶地面，供儿童奔跑游戏（单位：） （1）求需要铺设彩色塑胶地面的面积；（用含的代数式表示，结果保留） （2）若，铺设彩色塑胶地面的成本是80元，求铺设彩色塑胶地面所需的总费用．（取3） 【答案】（1） （2）7680元 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值和整式加减的应用，正确表示出需要铺设彩色塑胶地面的面积是解题的关键． （1）需要铺设彩色塑胶地面的面积等于长方形面积减去四分之一圆的面积，再减去直角三角形的面积，据此列式求解即可； （2）把，代入（1）所求代数式中，计算出需要铺设彩色塑胶地面的面积，再根据铺设彩色塑胶地面的成本是80元可求出总费用． 【小问1详解】 解： ， ∴需要铺设彩色塑胶地面的面积为； 【小问2详解】 解：当，时，， 元， 答：铺设彩色塑胶地面所需的总费用为7680元． 22. 【问题发现】如图①是2026年1月的日历，用“目”字形阴影框中的三个数字均满足“三个数字之和是中间数字的3倍”理由如下：设中间数为，则“目”字框中最上面的数表示为，最下面的数表示为，三个数字之和为，所以“目”字框中三个数之和是中间数的3倍． 【类比联想】请根据上面的探究过程，猜想图②的“”字形阴影框中日历中的五个数，这五个数从小到大依次为． （1）若日历中用“”字形框中五个数，其中最小的数是1，则“”字形框中的五个数之和为_______． （2）在日历中将“”字形框上下左右移动，框中日历表中的五个数字之和能被5整除吗？通过计算说明理由． （3）【类比探究】请你根据上述探究过程，猜想图中由个数字组成的偶数方阵中任意“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为__________________． 【答案】（1）45 （2） 解：能，理由如下： 设“”字形框中最小的数为x，则其余四个数字为， 这五个数之和为， ∵是5的倍数， ∴框中日历表中的五个数字之和能被5整除． （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减法运算，以及代数式的化简运算，解决本题的关键是读懂题意并由其中一个数字表示出另外一个数字． （1）根据“”字形框中最小的数是1，可得到其余四个数字，再由加法运算求解即可． （2）设“”字形框中最小的数为x，再表示出其余四个数字，由加法运算后判断即可． （3）由“十”字框的框中心的数字，分别表示出其余四个数字，再由运算求解关系即可． 【小问1详解】 解：用“”字形框中五个数，其中最小的数是1， 则这五个数分别为， 故这五个数之和为． 故答案为：45． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：“十”字框中框中心的数字， 则框中心上方的数字，框中心下方的数字，框中心左方的数字，框中心右方的数字， ∴“十”字框中的5个数字之和， ∴“十”字框中的5个数字之和与框中心的数字的关系为． 故答案为：． 23. 某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． （1）若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； （2）若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； （3）若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ （4）若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】（1）24 （2）56 （3）元 （4），或，或，． 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【小问1详解】 解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； 【小问2详解】 解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； 【小问3详解】 解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； 【小问4详解】 解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 24. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 问题提出：计算．（其中n都是正整数，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． （1）根据第n次分割图可得等式： ． （2）类比探究：计算．（仿照上述方法，画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程） （3）拓展思考：①计算 ．（且m为正整数） ②计算 ． 【答案】（1） （2）解：根据第n次分割图，所有阴影部分的面积之和为， 最后空白部分的面积是， 得到了等式：， 两边同除以2，得． （3）① ② 【解析】 【分析】（1）用大正方形的面积减去小空白正方形的面积即可求解； （2）仿照题干方法画出图形，然后求解即可； （3）①根据上面总结的规律求解即可； ②首先将原式变形为，整理得到，然后根据上面总结的规律求解即可． 【小问1详解】 解：根据第n次分割图可得等式：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①； ② ． 25. 操作发现． 操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点，即M到A的距离与M到B的距离相等，记作：，如：； 操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点P旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点，即P到A的距离与P到B的距离相等，且P到M的距离与P到N的距离相等，记作：，如：； （1）利用图3、图4，直接填空： ， ； （2）若A、B两点所表示的数分别是、，，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）； （3）点A表示的数为a，点B与点A的距离为3，点C是数轴上一动点，且，； ①当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值； ②点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请求出它的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①或；②点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值3 【解析】 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据，得出，根据、两点所表示的数分别是、，代入求值即可； （3）①根据点表示的数为，点与点的距离为，设点表示的数为，则点表示的数是，根据，得出，根据、两点之间距离刚好为，代入计算即可求解． ②得出点表示的数为或，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况：当点表示的数为时，点在点的右侧，当点表示的数为时，点在点的左侧，分别求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 根据题意得：； 【小问2详解】 解：， 到A的距离与B到C的距离相等， 、B两点所表示的数分别是、， 点表示的数为：； 【小问3详解】 解：①∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为3，点B在点A右侧， ∴点B表示的数为， 设点D表示的数为d， ∵点C表示的数是，， ， ， 、D两点之间距离刚好为1， ，即， 解得：或． ②点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值：理由如下： ∵点A表示的数为a，点B与点A的距离为3， ∴点B表示的数为或， 设点C表示的数为c，点D表示的数为d，点E表示的数为e， （Ⅰ）当点B表示的数为时，点B在点A的右侧， ， 到C的距离与A到D的距离相等， ， ，， ∴存在点Q，使得Q到A的距离与Q到B的距离相等，则Q到C的距离与Q到E的距离也相等； ， ， ； （Ⅱ）当点B表示的数为时，点B在点A的左侧， ， 到C的距离与A到D的距离相等， ， ， ， ∴存在点R，使得R到A的距离与R到B的距离相等，则R到C的距离与R到E的距离也相等； ， ， ； 综上，点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是定值3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $