精品解析：广东珠海市香洲区立才学校2026-2027学年第一学期期中质量监测 八年级数学

2026—2027学年第一学期期中质量监测 八年级数学 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美，下列传统中式纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 3. 直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 5. 用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，则（ ） A. 0.7 B. 1.7 C. 2.4 D. 4.1 7. 如图，在和中，已知，，再添加一个条件，如果仍不能证明成立，则添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A. 24° B. 30° C. 32° D. 48° 10. 如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____． 12. 如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么__________． 13. 一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_____． 15. 如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 如图，，．求证：． 17. 如图．．求的度数． 18. 如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于x轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 20. 如图，和均为等边三角形，交于点O，交于点J， （1）求证：； （2）求度数． 21. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 四、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线与和的关系．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： 【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （1）由已知和作图能得到，请证明． （2）如图2，在中，是的中线．求证：． （3）【问题解决】如图3，已知，是的中线，求证：． 23. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且． （1）求∠OBC的度数； （2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中： 若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值； 若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中质量监测 八年级数学 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美，下列传统中式纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1，2，4 B. 4，5，9 C. 4，6，8 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； B、因为4+5=9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确； D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； 故选C． 3. 直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 另一个锐角的度数是， 故选：C． 4. 下列图形中，具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，即可求解． 【详解】解：根据三角形具有稳定性得：B选项符合题意． 5. 用直尺和圆规画一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，根据证，即可推出答案． 【详解】解：连接，， 在和中 （）， ， 所以A选项正确． 6. 如图，，若，则（ ） A. 0.7 B. 1.7 C. 2.4 D. 4.1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴. 故选：A. 7. 如图，在和中，已知，，再添加一个条件，如果仍不能证明成立，则添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定定理逐一推理即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故A，D都正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 当添加时，不符合任何一个判定定理， 无法判定， 故B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了添加条件判定全等，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 8. 如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：， ，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 9. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，连接，若，，则的度数为（　　） A. 24° B. 30° C. 32° D. 48° 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，再另一条角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和可计算出的度数． 本题考查了线段的垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【详解】解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，在中，，以为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交，于点E，F．若，，点P是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最短距离问题，等腰三角形的性质，根据点A与点C关于对称，即可得出，当点P与点E重合时，，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴周长的最小值为：， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____． 【答案】（-2，-7） 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点（2，-7）关于y轴对称的点的坐标是（-2，-7）． 故答案为：（-2，-7）． 【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵点是平分线上一点，，，且， ∴． 故答案为：． 13. 一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_____． 【答案】19或23 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或， 故答案为：19或23． 15. 如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不符合题意； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案是：①③④． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 如图，，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， 【解析】 【详解】略． 17. 如图．．求的度数． 【答案】70度 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．由垂直可得，进而得出，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 18. 如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： （1）； （2）是等腰三角形． 【答案】（1） 证明： ， ， 即 在和中， （2） 证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于x轴对称； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2），，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，用网格求三角形面积，轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的作图方法． （1）先画出点A、B、C关于x轴的对称点，再依次连接即可； （2）根据图象即可得出答案； （3）用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，，和关于x轴对称， ∴，，； 【小问3详解】 的面积 20. 如图，和均为等边三角形，交于点O，交于点J， （1）求证：； （2）求度数． 【答案】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据等边三角形的性质可得，再由全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 四、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，求边上的中线与和的关系．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： 【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （1）由已知和作图能得到，请证明． （2）如图2，在中，是的中线．求证：． （3）【问题解决】如图3，已知，是的中线，求证：． 【答案】（1）证明：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：延长到点E，使，连接，则， 同理（1）得：， ∴， 在中，， ∴； （3）证明：延长到点F，使，连接， 同理（1）得：， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用“边角边”即可证明； （2）同理（1）得：，可得，在中，利用三角形的三边关系，即可求证； （3）延长到点F，使，连接，同理（1）得：，可得，，，从而得到，再由以及三角形外角的性质可得，可证明，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且． （1）求∠OBC的度数； （2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中： 若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值； 若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系． 【答案】（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠OBC=60°； （2）分三种情况分析图形可能的结果，再根据直角三角形的特殊边关系推出结果(30°角所对直角边等于斜边的一半)； （3）分两种情况分析图形可能的结果，再根据等腰三角形的特殊边关系推出结果（等腰三角形两腰相等）． 【详解】（1）如图1： 在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4， ∵CO⊥BD， ∴CD=CB=4， ∴CD=CB=BD， ∴△DBC是等边三角形， ∴∠OBC=60°； （2）①由题意，得AP=2t，BQ=t， ∵A（﹣3，0），B（2，0）， ∴AB=5， ∴PB=5﹣2t， ∵∠OBC=60°≠90°， ∴下面分两种情况进行讨论， Ⅰ）如图2： 当∠PQB=90°时， ∵∠OBC=60°， ∴∠BPQ=30°， ∴BQ=， ∴t=，解得：t=； Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3： ∵∠OBC=60°， ∴∠BQP=30°， ∴PB=， ∴， 解得：t=2； ②如图4： 当a＜5时， ∵AP=a，BQ=b， ∴BP=5﹣a， ∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴b=5﹣a，即a+b=5， 如图5：当a＞5时， ∵AP=a，BQ=b， ∴BP=a﹣5， ∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°， ∴BP=BQ， ∴a﹣5=b，即a﹣b=5． 【点睛】此题考核知识点：等边三角形、等腰三角形的判定；含有30°角的直角三角形性质；直角三角形定义；点的坐标与距离关系；坐标系中点的运动．这是一道综合题，解题的关键在于理解点的变化过程中图形的几种情况，借助坐标求出相关的边长，根据特殊图形边长的特殊关系列出等式便可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $