精品解析：广东广州市第八十六中学2026-2027学年高一第一学期期中考试数学试题（11.6）

广州市第八十六中学 2026—2027学年度第一学期期中考试数学试题 考试用时： 120 分钟 卷面总分： 150 分 本卷共 4页 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本答题卡交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为：. 故选：D. 2. 已知集合，那么集合A的真子集个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，并用列举法表示出，进而求出真子集个数. 【详解】解不等式，得，则， 所以集合A的真子集个数为. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明选项或举出反例即可. 【详解】对于A，由不等式的性质，当时有，所以，A正确. 对于B，当，满足，但是，故B错误. 对于C，当，满足，但是，故C错误. 对于D，当，满足，但是，故D错误. 4. 下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A：，定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，排除. B：，定义域为，关于原点对称.令，则，故为奇函数. 又在上，单调递减，单调递减，则单调递减，符合要求. C：，定义域为，关于原点对称.令，则，是偶函数，排除. D：，定义域为，关于原点对称.令，则，是偶函数，排除. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 6. 下列说法错误的是（ ） A. 将化成有理数指数幂的形式是 B. 已知函数和，则两个函数相等． C. 已知，，则是的必要不充分条件， D. 关于的不等式解集为，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，将根式转化为指数幂即可判断；对于B，判断两个函数的定义域及对应关系即可判断；对于C，求出，即可判断；对于D，由题意可知且是方程的两个根，利用韦达定理即可判断. 【详解】对于A：，A正确． 对于B： 的定义域为 ， 的定义域为 ， 且 ，两函数相等，故B正确； 对于C，不等式可化为，即，解得， 故，， 所以，所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D：因为关于的不等式解集为， 所以且是方程的两个根， 则有，所以． 所以，D错误； 7. 已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上单调递减,等价于左段递减、右段递减,且分界点处左段函数值不小于右段函数值,直接列不等式组求解. 【详解】由题意解得. 所以的取值范围为. 8. 当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先用基本不等式求 的最小值，再由恒成立转化为关于 的不等式． 【解答】因为 ， 所以 ，，且 ． 所以， 由基本不等式 ， 所以 ，当且仅当 （即 ）时取等号． 由恒成立得 ， 即 ， 又 ，所以 的最大值为 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 已知，则函数的解析式为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】AB 【解析】 【详解】A：的定义域为 ，则需满足，解得，故的定义域为，正确. B：令，即，此时，故图象恒过定点，正确. C：令，则，，于是，则，定义域为，错误. D：令，解得或，则函数的定义域为，内层函数在上单调递增，外层函数是增函数，则函数的单调递增区间为，错误. 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据结合基本不等式即可判断；对于B，根据即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当，即，等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是，故B错误； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 11. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式并作出图象，代入求值可判断A；利用图象可判断B和C；分和两种情况求出b的范围可判断D． 【详解】当时，， 则， 因为， 所以恒成立，即， 所以当时，； 当时，， 则， 令，解得或，即， 令，解得，即， 所以当或时，；当时，． 综上，， 作出的图象如下图： 对于A:，故A正确； 对于B:即， 由图知，与的图象有三个交点，即方程有3个根，故B错误； 对于C:由图知，函数的单调递增区间为，，故C正确； 对于D:当时，， 由得，， 即，解得或（舍）， 当时，， 由得，， 即， 所以， 即当时，恒成立 综上，或， 所以b的最小值为2，故D错误． 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12. 计算：_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上是增函数， 所以在上单调递减，且， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 不等式等价于或， 解得，解得， 综上，原不等式的解集为. 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，．已知 ，若，使，则m的取值范围____ 【答案】 【解析】 【分析】高斯函数是取整函数,先由确定的所有可能取值;再把存在使转化为关于的不等式能成立,所以只需小于的最大值,逐个代入比较即可. 【详解】由高斯函数的定义,当时,;当时,. 当时,,即的取值集合为. 令,则取中的某个值,且,此时. 于是等价于,两边同除以正数得. 当时,；当时,；当时,. 因为存在使,所以不等式对中的至少一个成立. 又,即的最大值为,所以,的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2） 已知，若“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式，结合集合的交、并、补运算求解； （2）由题意得 ，列不等式计算即可求解. 【小问1详解】 ，， 若，则， ， . 【小问2详解】 “”是“”的充分不必要条件，即 ， 若，则，，，解得， 所以实数t的取值范围为. 16. 已知函数满足，． （1）求a，b的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； （2） 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. （1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? （2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【小问1详解】 解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 【小问2详解】 解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 18. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． （1）求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数t的取值范围； 【答案】（1）， 在上为单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）构造函数方程，利用奇偶性可解得结果； （2）方法一：可化为，再参数分离，求解的最大值即可； 方法二：可化为，再利用二次函数的性质求解即可； 方法三：可化为，令 ，有，再验证其必要性即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，是偶函数，所以，， 则， 所以， 因为在上为增函数，所以在上为单调递增． 【小问2详解】 因为是奇函数， 在上单调递增可得，． （法1：分离参数法） 所以对任意，有恒成立，． 所以只要，． 因为在上单调递减，所以在上单调递减，． 则，． 所以，． 所以实数t的取值范围为. （法2：整体构造法） 所以对任意，有恒成立，所以只要 ． 函数 对称轴为 当时，在区间单调递减，所以， 所以，方程组无解 ． 当时，在区间单调递增，所以， 所以解得 ． 当 时，在区间单调递减，在区间单调递增，所以， 所以，方程组无解 ． 综上实数t的取值范围为. （法3：必要性探路） 所以对任意，有恒成立，所以只要 ． 令函数 因为对任意，有恒成立，所以有 对称轴为 ，此时函数在区间单调递增，所以， 所以，解得 所以实数t的取值范围为. 19. 函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. （1）任取，，证明：. （2）证明：是上的减函数. （3）解关于的不等式. 【答案】（1） 因为， 所以， 令，，则， 所以； （2） 证明：任取，，且， 则由（1）得， 因为当时，， ，则， 所以，即， 所以是上的减函数； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）赋值法，令，即可求解； （2）根据单调性的定义，结合已知条件，即可证明； （3）根据（2）中所求单调性，转化原不等式为含参不等式的求解，分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 可得， 即， 因为是上的减函数， 所以， 即，① （ⅰ）当时，不等式①式即为，解得，即原不等式的解集为； （ⅱ）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得，即原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； （ⅲ）当时，不等式①式化为，即， 此时，所以原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第八十六中学 2026—2027学年度第一学期期中考试数学试题 考试用时： 120 分钟 卷面总分： 150 分 本卷共 4页 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本答题卡交回． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，那么集合A的真子集个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中是奇函数，且在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 将化成有理数指数幂的形式是 B. 已知函数和，则两个函数相等． C. 已知，，则是的必要不充分条件， D. 关于的不等式解集为，则 7. 已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数（且）的图象恒过定点 C. 已知，则函数的解析式为 D. 函数的单调递增区间为 10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是 D. 的最小值为 11. 给定函数，，．若，用表示，中的最小者，记为函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有两个根 C. 函数的单调递增区间为， D. 若存在常数，使得成立，则b的最小值为5 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分． 12. 计算：_________. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是_____． 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，．已知 ，若，使，则m的取值范围____ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2） 已知，若“”是“”的充分不必要条件，求实数t的取值范围． 16. 已知函数满足，． （1）求a，b的值，判断的奇偶性并证明； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）求不等式的解集． 17. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. （1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? （2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 18. 已知定义域为的函数和，其中是奇函数，是偶函数，且． （1）求函数和的解析式，并判断的单调性（单调性直接写结论即可）； （2）若任意时，不等式恒成立，求实数t的取值范围； 19. 函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. （1）任取，，证明：. （2）证明：是上的减函数. （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $