上海市徐汇中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

徐汇中学 2026 学年高一年级第一学期 期中考试　数学试卷（解析版） 一、填空题（本大题共有 12 小题，第 1-8 题每题 3 分，第 9-12 题每题 4 分，满分 40 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若 ，则 的值为 ． 【答案】 【解析】集合中的元素必须互不相同，故 只能由 或 提供． 若 ，则 ，此时 与第三个元素 重复，所得集合只有两个元素，不合题意； 若 ，则 ，此时 ，集合为 ，三个元素互不相同，符合题意． 综上， 的值为 ． 易错点： 时集合退化为 ，违反元素的互异性，必须舍去． 2．已知集合 ，，则 ． 【答案】 【解析】 是直线 上的点集， 是直线 上的点集， 就是两条直线的交点集． 把 代入 得 ，所以两条直线交于点 ，即 ． 易错点：两个集合的代表元素都是有序数对，答案要写成点的形式 ，不能只写 ． 3．已知 ，化简 ． 【答案】（即 ） 【解析】先把各因式都化为分数指数幂：，． 于是原式 ． 即答案为 ；因为 ，各步指数运算都成立． 易错点：根式与分数指数幂的互化要“由内向外”， 而不是 ；同底数幂相乘是“底数不变、指数相加”． 4．用反证法证明命题：“已知 、，若 ，则 或 ”时，假设的内容应该是 ． 【答案】 且 【解析】反证法先否定结论．命题的结论是“ 或 ”，它的否定是“ 且 ”． 所以假设的内容应该是： 且 ． 易错点：逻辑联结词“或”的否定是“且”，“ 或 ”的否定不能写成“ 或 ”． 5．不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】先移项再通分，不要直接去分母（ 的符号未定）：． 它等价于 且 ，解得 或 ． 故解集为 ． 易错点：分母不能为 ，所以 处一定是开区间；而分子可以为 ，所以 处取闭． 6．符合 关系的集合 的个数为 ． 【答案】 【解析】 表示 是 的真超集，所以 必含 ，且除 外还要有别的元素． 又 ，于是 ，其中 是 的非空子集． 的取法共有 种（去掉 这一种），故这样的集合 有 个． 7．已知幂函数 ，且 ，则 ． 【答案】 【解析】幂函数 的系数必须为 ，所以 ，得 ． 又 ，故 ，即 ． 所以 ． 易错点：幂函数的定义要求“形如 ”，系数为 、底数为自变量、指数为常数，因此先由系数定出 ，再由 定出指数． 8．已知 ，，用含 、 的代数式表示 ． 【答案】 【解析】用换底公式把 换成常用对数：． 其中 ，，所以 ． 又 ，，，代入得 ． 易错点： 要用 表示，这是本题唯一的“桥”；分母是 ，不要漏掉系数 ． 9．设 ，则方程 的解集是 ． 【答案】 【解析】这是“三角不等式取等”型的方程．注意 ，所以原方程即 ． 而 ，由三角不等式 ，等号成立当且仅当 ． 解 得 ，这正是原方程的解集． 故解集为 ． 易错点：本题的解集是一整段区间，不是有限个点．若分区间讨论，在 上方程两边恒等（化为恒等式），不要误以为只有端点或个别值成立． 10．已知一元二次不等式 的解集为 ，则一元二次不等式 的解集是 ． 【答案】（即 ） 【解析】 的解集是两端射线，说明二次项系数 （开口向上），且 、 是方程 的两根． 由韦达定理 ，． 所求不等式为 ，即 ，也就是 ． 它等价于 ，故解集为 ． 易错点：两边同乘 时不等号要变号； 的解集是“去掉 的全体实数”，不是空集也不是全体实数． 11．已知正数 、 满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】条件 与两个分母 、 不“配套”，先换元：令 ，，则 ． 由 、 得 、，所求即 在 下的最小值． 由柯西不等式 ，而 ，故 ． 等号当 即 时成立，与 联立得 ，确实落在 内，可以取到． 所以最小值为 ． 易错点：直接用“乘 法”时凑的常数必须是 ，若凑成 就与条件对不上；另外要检验等号条件是否落在允许范围内． 12．若关于 的不等式 共有 2025 个整数解，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】要使解集非空必有 ．设 ，则 在 上恒为 ，在两侧分别以斜率 增大． 由 ：当 时 ，得 ；当 时 ，得 ．故解集为 ，长度为 ． 记 、，设 ，其中 为整数、，则 ． 区间 内的最小整数为 ；设区间内的最大整数为 ，则 是小于 的最大整数．由 得 ，故 ． 于是区间内整数个数为 ． 由于 ，而 只能取 中的整数，只能 、． 即“小于 的最大整数为 ”，也就是 ，故 ，于是 ，解得 ． 易错点： 必须为正，否则 而左边非负，无解；区间是开区间，端点处的整数不能算在内，所以 的左端不取、右端可取． 二、选择题（本大题共有 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用 2B 铅笔涂黑． 13．若 ，则下列不等式中不成立的是（　　）． A．　　　B． C．　　　D． 【答案】C 【解析】由 得 ，且 同为负数，，． A：，成立； B：，故 ，成立； C：函数 在 上严格递增，由 得 ，故 不成立； D： 成立． 故选 C． 14．设命题 ：，命题 ：，则 是 的（　　）条件． A．充分不必要　　　B．必要不充分 C．充要　　　D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】： 且 ；：． ：若 且 ，当然 ； 反过来不成立：取 ，则 成立而 不成立． 所以 是 的充分不必要条件，选 A． 易错点：“”对应的是“ 且 ”（两根都要排除），条件更强，所以 充分而不必要． 15．已知函数 的图象如右图所示，则函数 的图象可能是（　　）． 【答案】A 【解析】由 的图象：开口向上，与 轴的两个交点分别位于 轴的右侧、刻度 的左侧，即 ． 于是 中底数 ， 在 上严格递减，排除 C、D（它们递增）． 又 ，即与 轴的交点在 与 之间； 令 得 ，由 得 ，即零点在 与 之间； 当 时 ，故曲线以 为水平渐近线，始终在 轴下方趋近． B 中曲线恰过 ，要求 ，与 矛盾；只有 A 的三项特征全部吻合，故选 A． 16．设 表示不超过 的最大整数，如 ，，若 、、 为正实数，则 的最小值为（　　）． A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】记 ，，，所求为 ． 先证下界．若三项的取整之和不大于 ，则按大小只有四种可能：两项取整为 ；一项 一项 ；一项 一项 一项 ；三项都是 ． 若 且 ，即 且 ，两式相加得 ，与 矛盾； 若 、、，由 与 得 ，即 ；再由 得 ，矛盾； 若 、、，由 与 、 得 ，与 （即 ）联立仍得 而 并不矛盾——但此时 与 又给出 ，与 矛盾； 若三项取整都是 ，则 、、，三式相加得 ，矛盾． 故 ． 再说明 能取到：取 、、，则 、、，三者取整之和为 ． 所以最小值为 ，选 C． 易错点：不能由 直接断言“取整之和至少为 ”，取整会损失小数部分；本题的关键是证明“三项不可能同时小于 ”，从而取整之和至少为 ． 三、解答题（本大题共 5 题，满分 44 分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分 6 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 3 分）设集合 ，集合 ． （1）若 ，求 ； （2）设命题 ：，命题 ：，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】，故 ； 由 得 ，即 ，故 ，长度恒为 ． （1）当 时 ，与 取并集得 ． （2）“ 是 成立的必要不充分条件”即 ，但反过来推不出，也就是 是 的真子集． 由于 的长度 小于 的长度 ， 时必为真子集，故只需 且 ，即 且 ． 所以实数 的取值范围是 ． 易错点：“必要不充分”对应 （小集合推大集合），方向不能颠倒；端点要检验： 时 ， 时 ，两个端点都能取到． 18．（本题满分 8 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分）已知关于 的一元二次方程 的两个实根分别为 、． （1）若 、 满足 ，求实数 的值； （2）求 的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】由韦达定理 ，，且方程有两个实根要求 ，即 ． （1）由 得 ，即 ，解得 或 ． 时 ，，舍去； 时 ，符合．故 ． （2）用和与积表示立方和： ． 记 ，定义域为 ． ，令 得 ，两者都在定义域内． ，故 处取极大值， 处取极小值，也就是最小值： ． 所以 的最小值为 ． 易错点：第（1）问必须回代判别式，否则会多出增根 ；第（2）问是“含参的最值”，要先由 写出 的取值范围，再在定义域内比较驻点与端点． 19．（本题满分 8 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分）设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立， ：． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1） 真：对任意 ， 恒成立． 当 时左边为 ，恒成立； 当 时需开口向上且判别式小于零，即 且 ，解得 ． 综上 的取值范围是 ． （2） 真：，由对数函数的定义域与单调性得 ，即 ． “、 有且只有一个为真”分两种情形： 真且 假： 且 ，得 ； 假且 真： 且 ，得 ． 故 的取值范围是 ． 易错点： 时二次项消失，必须单独讨论，不能直接用 ； 要同时满足真数为正，即 ． 20．（本题满分 10 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分）Labubu 公司拟在 2027 年初推出智能机器人系列玩偶（单位：套）．根据以往经验，其中一条生产线每月生产 套玩具的成本 由两部分费用（单位：元）构成： a．固定成本（与生产玩具套数 无关），总计 160000 元； b．每生产 套需另投入的生产成本 元，其中 ． （1）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，问：该生产线每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？ （2）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，但随着 的增大，每月生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为 元，．若当月产量为 10000 套时利润最大，此时每套售价为 150 元，试求 、 的值．（利润＝销售收入－成本费用） 【答案】（1）每月生产 套时平均每套成本最少，为 元；（2）， 【解析】（1）每月总成本 ，平均每套成本为 ． 等号成立当且仅当 ，即 ，． 所以每月生产 套时平均每套成本最少，此时每套成本为 元． （2）利润 ． 要在 处取得最大值，需 ，且对称轴为 ： ，即 ． 又 ． 令 ，则 ，代入上式： ，解得 ，即 ； 再由 ． 所以 ，． 易错点：第（1）问的“平均成本”必须用总成本除以产量；第（2）问中“在 处取最大值”是二次函数的顶点条件，同时要用开口向下（）确认它是最大值而不是最小值． 21．（本题满分 12 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 4 分）设集合 为非空数集，定义 ，． （1）若 ，写出集合 、； （2）若 ，，且 ，求证：； （3）若 ，且 ，求集合 元素个数的最大值． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）当 时， 的取值为 、、，故 ； 的取值为 和 ，故 ． （2）因为 ， 中的每个元素都可以写成 中两个元素之差的绝对值． 中最大的元素是 ，它等于 中最大的元素 ，故 ． 此时 中的每一个都要等于某个差值，而差值的全体为 、、、、、（再加 ）． 先看 ：它小于 且为正，故只能等于 ，即 ． 再看 ：它小于 且为正，故等于 或 ．若 ，则 ，与 矛盾；故 ，即 ． 于是 ，，所以 ． （3）设 的最小元素为 、最大元素为 ，．因为 ，故 ． 对任意 、，有 、，所以 、 都是 的子集． 又 ，故 ． 把 的元素从小到大排成 ，则 这 个和互不相同，都在 中； 而 这 个差互不相同，都在 中．于是 ， 即 ，故 ． 取 ：此时 、，两者不交，且 ，说明上界可以取到． 所以集合 元素个数的最大值为 ． 易错点：第（2）问的关键是先用“最大差等于最大元”推出 ；第（3）问不要只盯着端点，要把“ 与 不交”转化为“两个集合都在 内、元素个数之和不超过 ”，再用“和集至少 个、差集至少 个”放缩． 【附加题】本大题共有 2 小题，每题 5 分，满分 10 分． 1．设集合 ，，，新定义：集合 中所有含 个元素的子集中 个元素之和的不同值组成的集合为“ 元集和集”．若 的“3 元集和集”为 ，则集合 ． 【答案】 【解析】 的 元子集共有 个：、、、，它们的和恰好是 ． 把这 个和相加：每个元素都被取了 次，故总和为 ，得 ． 而漏掉 的那个 元子集之和等于 ，所以 ，即 ． 故 ．检验：、、、，恰为 ，符合． 2．已知函数 ，其中 且 ，曲线 经过 、 两点．设 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（　　）． A．　　　B． C．　　　D． 【答案】A 【解析】由 ， 得 ，故 ，． 于是 ． 令 ，则 ，图象是开口向上、对称轴为 的抛物线． 设 ．当 时， 与 各有两解，共四解，且关于 对称： ，，，． 由 单调递增，故 、、、．记 ，则 ， ． 所以 ． 函数 在 上严格递增，取值于 ，故 ，选 A． 易错点：要由“四个不同的解”反推出 ，这是 与 四个点互不相同的充要条件；再由对称性把 与 都化成只含 的式子． 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学 2026 学年高一年级第一学期 期中考试　数学试卷 一、填空题（本大题共有 12 小题，第 1-8 题每题 3 分，第 9-12 题每题 4 分，满分 40 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若 ，则 的值为 ． 2．已知集合 ，，则 ． 3．已知 ，化简 ． 4．用反证法证明命题：“已知 、，若 ，则 或 ”时，假设的内容应该是 ． 5．不等式 的解集为 ． 6．符合 关系的集合 的个数为 ． 7．已知幂函数 ，且 ，则 ． 8．已知 ，，用含 、 的代数式表示 ． 9．设 ，则方程 的解集是 ． 10．已知一元二次不等式 的解集为 ，则一元二次不等式 的解集是 ． 11．已知正数 、 满足 ，则 的最小值为 ． 12．若关于 的不等式 共有 2025 个整数解，则实数 的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共有 4 小题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用 2B 铅笔涂黑． 13．若 ，则下列不等式中不成立的是（　　）． A．　　　B． C．　　　D． 14．设命题 ：，命题 ：，则 是 的（　　）条件． A．充分不必要　　　B．必要不充分 C．充要　　　D．既不充分也不必要 15．已知函数 的图象如右图所示，则函数 的图象可能是（　　）． 16．设 表示不超过 的最大整数，如 ，，若 、、 为正实数，则 的最小值为（　　）． A．　　　B．　　　C．　　　D． 三、解答题（本大题共 5 题，满分 44 分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分 6 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 3 分） 设集合 ，集合 ． （1）若 ，求 ； （2）设命题 ：，命题 ：，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 18．（本题满分 8 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分） 已知关于 的一元二次方程 的两个实根分别为 、． （1）若 、 满足 ，求实数 的值； （2）求 的最小值． 19．（本题满分 8 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分） 设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立， ：． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 、 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围． 20．（本题满分 10 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分） Labubu 公司拟在 2027 年初推出智能机器人系列玩偶（单位：套）．根据以往经验，其中一条生产线每月生产 套玩具的成本 由两部分费用（单位：元）构成： a．固定成本（与生产玩具套数 无关），总计 160000 元； b．每生产 套需另投入的生产成本 元，其中 ． （1）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，问：该生产线每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？ （2）假设该生产线每月生产出的玩具能全部售出，但随着 的增大，每月生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为 元，．若当月产量为 10000 套时利润最大，此时每套售价为 150 元，试求 、 的值．（利润＝销售收入－成本费用） 21．（本题满分 12 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满分 4 分） 设集合 为非空数集，定义 ，． （1）若 ，写出集合 、； （2）若 ，，且 ，求证：； （3）若 ，且 ，求集合 元素个数的最大值． 【附加题】本大题共有 2 小题，每题 5 分，满分 10 分． 1．设集合 ，，，新定义：集合 中所有含 个元素的子集中 个元素之和的不同值组成的集合为“ 元集和集”．若 的“3 元集和集”为 ，则集合 ． 2．已知函数 ，其中 且 ，曲线 经过 、 两点．设 ，若 ，且 ，则 的取值范围为（　　）． A．　　　B． C．　　　D． 学科网（北京）股份有限公司 $