精品解析：山西省太原市2025-2026学年高二上学期期中学业诊断数学试题

2025~2026学年第一学期高二年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线yx的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最小值5 D. 有最大值 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 长方体的体积 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知，且，则___________． 13. 已知直线与圆相交于两点，则___________． 14. 平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 16. 如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． （1）用向量表示向量，并求的模长； （2）用向量方法证明：． 17. 在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点． （1）证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高二年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线yx的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 【详解】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，π）． ∴tanθ， ∴θ＝60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 2. 椭圆的焦点坐标为 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果． 【详解】解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以， 所以椭圆的焦点坐标． 故选：D． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间坐标系中点的特征计算即可. 【详解】空间中的点关于平面的对称的点横纵坐标不变，竖坐标变为相反数， 所以点关于平面的对称点的坐标为. 故选：C 4. 直线与直线之间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式即可求解. 【详解】由平行线间的距离公式可得：， 故选：C 5. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案． 【详解】圆的圆心为，半径为1， 设所求圆的圆心为， 则与关于直线对称， 故， 则所求圆的圆心为，半径为1， 所以所求圆的方程为． 故选：A 6. 已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 7. 已知点分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 对于A，由题意得椭圆， 可得，， 设,，，则， 则， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值如下， 为，故A错误， 对于B，由题意得椭圆的离心率，故B错误， 对于C，由于为定值，所以当位于椭圆的上下顶点时， 三角形的面积取得最大值为，故C正确， 对于D，设，由余弦定理得 ， 当且仅当时等号成立，而，则， 可得的最大值不为，故D错误. 故选：C 8. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值5 C. 有最小值5 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 【答案】AD 【解析】 【分析】求出直线在轴和轴上的截距，可判断A；直线的方程化为截距式方程，可判断B；化直线的方程为斜截式方程，求得斜率可判断C；由直线的斜率可知直线的方向向量，可判断D． 【详解】直线，令，得；令，得， 即直线在轴和轴上的截距相等，均为1，故A正确； 由，可得直线的截距式方程为，故B错误； 由，得，直线的斜率为，故C错误； 直线的斜率为，可知是直线的一个方向向量，故D正确， 故选：AD． 10. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 曲线所围成图形的面积是 C. 曲线上任意两点间距离的最大值为 D. 直线与曲线一定有两个交点 【答案】BC 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值，作出曲线的图形，结合图形特点可求答案. 【详解】当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 其图象如图， 曲线所围成图形的周长为四个半径相同的半圆的周长之和，，A错误； 曲线所围成图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和， ，B正确； 曲线上任意两点间距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，此时最大值为，C正确； 恒过定点，而恰好在曲线上， 当直线与曲线在处相切时，不可能有两个公共点，D错误. 故选：BC 11. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 长方体的体积 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 已知，且，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】∵，且， ∴，解得. 故答案为：5. 13. 已知直线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，然后利用公式求解即可. 【详解】由圆的圆心到直线的距离为： ， 又圆的半径为：， 所以. 故答案为： 14. 平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求P轨迹，结合已知圆的方程求出点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得，解得， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点． （1）求边上的高所在直线的斜截式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，从而求出边上的高所在直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程即可； （2）先求出的中点坐标，然后求出边上的中线所在直线的斜率，利用点斜式先表示出直线方程，然后化为一般方程即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的点斜式方程为， 则其斜截式方程为． 【小问2详解】 设是边的中点， 则，即， 则， 所以边上的中线的方程为，即：， 所以边上的中线的一般式方程为：． 16. 如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记． （1）用向量表示向量，并求的模长； （2）用向量方法证明：． 【答案】（1）， （2） 由（1）得， ， ，． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算表示，然后根据数量积的运算求出，可得； （2）用表示，然后根据数量积的运算证明即可. 【小问1详解】 由题意得； ， . 【小问2详解】 略 17. 在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点． （1）证明：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取中点，连接，如下图所示： 为的中点，， 又四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线平行和平行四边形对边平行来证明线面平行； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， ， 因此平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知平面内点和直线，动点到点的距离与它到直线的距离的比是，记点的运动轨迹是曲线． （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，求是坐标原点）面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由距离之比化简可得曲线方程； （2）利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出点到直线的距离，表示面积用基本不等式求解最值. 【小问1详解】 由题意得点到直线的距离为， 由得，化简整理得， 所以曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由题意得设直线的方程为， 由，得， 由得或， ， ， 又点到直线的距离为， 的面积， 令（或），则， 当且仅当，即当时，面积取最大值． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）．已知圆，圆，且． （1）判断圆与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于两点，圆与轴交于两点．求证：直线与的交点在定直线上． 【答案】（1）相交 （2） 由（1）得圆， 由得， 直线的方程为，直线的方程为， ， ， 直线与的交点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆心坐标及半径，结合新定义判断关系即可； （2）根据（1）的结论得出坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理得出相应坐标关系式，并含参表示两直线与的方程，作商计算交点横坐标即可. 【小问1详解】 易得圆的标准方程为，其半径， ， 或（舍去），圆的圆心为，半径为， ， 圆与圆相交； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $