四川省达州市达川区2026-2027学年高二上学期定时训练（一）数学试题

高二数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A B D C A BCD AB ACD 12.70 13.3 14.100 15.(1)以A为原点，分别以AB,AC,AA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，1分 由题意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,1),C(0,2,1), 因为E为AB中点，D为AC中点，所以E(I,0,0),D(0,1,1),…2分 则AE=(（1,0,-1),BC=(-2,2,0),CD=(0,-1,1), 设平面BCD的法向量为i=(k以，2)，则有刀：BC-2x+2y=0 i.CD=-y+z=0' 令x=1,则y=1,z=1,所以平面BCD的一个法向量为n=(1,1,1),…5分 则A4En=1×1+0×1+(-l)×1=0,所以AE⊥n, 而直线AE显然不在平面BCD内，所以AE11平面BCD:…8分（没有写线不在面内扣1分） (2)由(1)知，因为AEII平面BCD,所以直线A,E到平面BCD的距离即点A,到平面BCD的距离 平面BCD的一个法向量为n=(1,1,1),AB=(2,0,-1), 所以点A到平面BCD的距离d= 4B.i2×1+0x1+(-1)×1_5 V12+12+12 3 所以直线4E到平面BCD的距离为V …13分 3 (如果第1间用几何法6分，第2间7分，出现其他情况，大家的情给分。》 16.(1)频率分布直方图中，所有组的频率之和为1，组距为10， 因此10×(0.010+0.020+0.030+0.025+a）=1, 所以0.085+a=0.1,解得 a=0.015.…3分 前3组频率之和为10×(0.010+0.020+0.030)=0.6<0.8， 前4组频率之和为10×(0.010+0.020+0.030+0.025)=0.85>0.8， 所以第80百分位数在区间80,90)内，…4分 设第80百分位数为x,则0.6+(x-80)×0.025=0.8,解得x=88.… …6分 (2)成绩在[50,60)内的频率为0.1，成绩在[60,70)内的频率为0.2，频率之比为1：2 所以成流在B00)内应抽取的人敲为6x3-2人， 成绩在60,70)内应抽取的人数为6×2=4人…8分 1+2 记成绩在「50,60)内的2人为a,b,成绩在[60,70)内的4人为1,2,3,4， 从6人中抽取2人，基本事件有ab,al,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15个，…11分 其中至少有1人的竞赛成绩在[50,60)内的基本事件有ab,al,a2,a3,a4,bL,b2,b3,b4,共9个，…12分 所以，从这6人中随机抽取2人，至少有1人的竞赛成绩在50,60)内的概率为P=9。-…15分 1551 17.(1)由已知平面ABC⊥平面DBC,在平面ABC内过点A作AO⊥BC,垂足为O,平面ABC∩平面 DBC=BC,AOC平面ABC,所以AO⊥平面DBC,连结DO,因为BA=BD,∠ABO=∠DBO,BO=BO, 所以△ABO与△DBO全等，又AO⊥BO,所以DO⊥BO,…3分 以点O为原点，OD,OC,OA的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设AB=1, 则a99a0 caj.)oao.叭#以-（停a-9 BC=(0,1,0), 0c-g5001 ×0=0,…5分 2 AD⊥BC.…6分 (2)由(1)知AD …7分 显然n=(0,0,1)为平面BCD的一个法向量，…8分 3 ..cos(AD,m)= AD.n 2-2 知帝事雨事用帝雨事雨南事事雨事雨事事用市用南而事雨而用 AD 2 ×1 2 …10分 ·直线AD与平面BCD所成角的正弦值为V …11分 2 (3)设平面ABD的法向量乃=(x,,z),因为AD= m( AD.n2 =0 -x- -z=0 则 即 2 2 ，令x=1,则y=V3,z=1,.乃=(1,5，.…13分 BD·n2=0 3.1 2x2y=0 15 cos(n,n2）=, -1xV5-5 …14分 又二面角A-BD-C为钝角， ∴.二面角A-BD-C的余弦值为- …15分 5 (如果用几何法每个小问5分，出现其他情况，大家酌情给分。) 18.(1)记事件M:甲连胜四场，则P(M） 2 …3分 16 (2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 则四局内结束比赛的概率为P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4× …6分 所以，需要进行第五场比赛的概率为P=1-P=子 3 …8分 (从反面思考列出四局内结束比赛的情况或从正面思考列出需要进行第五场比赛的部分情况，给1-2分) (3)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输， 记事件M:甲赢，记事件N:丙赢， 则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,…I1分 所以，甲赢的概率为P(M) +品 9 2 …14分 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， …15分 所以丙赢的概率为P(N)=1-2 97 3216 …17分 19.(1)由题PB=(0,1,-1),BD=(1,-1,0), 设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),则{ m.PB=0y-z=0 ,即 m·BD=0 (x-y=0 取x=1,得y=1,z=1,则m=(1,1,1),…2分 又因为平面PBD过点P(0,O,1),所以平面PBD的点法式方程为：x+y+z-1=0.…3分 2)国为点E为线段C的中点，所以》正=》 直线AE过点A(0,0,0), x y Z 则直线AE的方程为1一11，化简得2x=y=2z, 2 2 联立平面PBD的点法式方程x+y+z-1=0得x+2x+x-1=0, 解得交点坐标为F,1,） 4’2’4 …6分 所以PF= 113 4’24 PB=(0,1,-1); 25 所以F到直线PB的距离为 (PF.PB 716 6 =2 ……9分 PB2 82 8 (3)因为F∈AE,所以F∈AMEN,且F∈平面PBD, 又因为平面PBDO平面AMEN=MN,所以FeMN. 设PM=2PB,PN=uPD,如图所示，△PMN和三角形aPBD共面于平面PBD, 所以SaN= PMPMPNDPD-MnS. 所以么a@L= VA-PBD S.PMa=Au, S PBD 在三角形0中.F-信》防=Q-小.m=a-)小. 设序=ym则行}Ql-0+0-). 1 1 x= 所以 2=x ,所以 1 3 4-x-y 所以Pm=)PB+PD=PiM+pN, 22 因为F,M,N三点共线，所以 11=1 22'4μ 因为点E是PC的中点，所以m=2cm 所以K,Awy=y,p+Hgn=iWAn+yn=Wn+,m- 2 31 1 1 所以μ≥ V84 111 当且仅当2元42即1=1,4=2时取等号， 2 所以，当点M在B处，N在PD中点时，四棱锥P-AMEN体积取最小值为…17分 6 (中间过程，根据学生的转化情况酌情给分)高二定时训练（一） 数 学 说明：1.本卷分第1卷（选择题)和第川卷（非选择题)两部分，满分150分，时间120分钟. 2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答， 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是最符合题目要求的) 1.在空间直角坐标系O-2中，点A(1,-1,1)关于x轴对称的点的坐标为() A.(1,1,1) B.(11,-1)C.（-1,-1,-1) D.(L,-1,-1) 2.有一组样本数据：1,2,2,3,3,3,4,5，则下列关于该组数据的数字特征中， 数值最大的为() A.中位数 B.平均数C.极差 D.众数 3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c, 点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，设N=xa+yb+zc,则x+y+z=() A司 B.1 c.3 1 D. 4.为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如表： 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为() A.77.5,9.2 学生数 平均分 方差 B.78,9.2 男生 6 80 4 C.77.5,11 D.78,14 女生 4 75 2 5,已知空间中直线m、n和平面a、B,则下列命题中正确的是() A.若m/la,nca,则m/1n B.若m/1a,n/1a,则m/1n C.若m⊥a,n/la,则m⊥n D.若a⊥B,mca,则m⊥B 6.如图是一个古典概型的样本空间2和事件A、B,其中n(2)=24,n()=12,n(B)=8, n(AUB)=16,那么() A.n(AB)=6 B.事件A与B互斥 C.P(AB)=2 D.事件A与B相互独立 3 高二数学 第1页共4页 7.如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度.甲站 在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处，从A,B到直线（水库底面与水坝 的交线)的距离AC和BD分别为3m和4m,CD的长为2m,甲乙之间拉紧的绳长为√4Im, 则水库底面与水坝所成二面角的大小为() A.30° B.60° 水坝 C.120° D.150° 8.设4，B是一个随机试验中的两个事件，且P(=克P(同=子，P(B+A回-子 则P(A+B)=() A:2 B. C. D.3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分) 2 9.已知复数z一，则下列结论正确的有〔) A.z对应的点在第四象限 B.Iz=√2 C.z的共轭复数为1-i D.z的虚部为1 10.已知空间向量a=(2,-3,3),b=(3,-1,x),下列说法正确的是() A.若a⊥b,则x=-3 B.若x=-2,则a在万上的投影向量为，36 14 C.若同=4，则x=2 D.若a与i的夹角为钝角，则x∈(3，too) 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，M是棱BC 的中点，N是棱DD上的动点（含端点），则下列说法中正确的 是() A.三棱锥A-AMN的体积为定值 B.若N是棱DD,的中点，则过A,M,N的平面截正方体所 得的截面图形的周长为5√5+√7 C.若N是棱DD,的中点，则四面体ABDN的外接球的表面积为9π D.若CN与平面AB,C所成的角为O,则sin0∈ 3’3 高二数学 第2页共4页 第II卷（非选择题共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用 铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分 层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD,AD=2BC,点E是 棱PD的中点、PC与平面5交于P点，则E- 14.已知样本数据，2，…，x0的平均数与方差分别是口和b,若 y,=-x+2(i=1,2,,50),且样本数据的，2，…，y0平均数与 方差分别是b和a,则x2+x22+…+x02= 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB LAC,AB=AC=2,A4=1,D、E分别为AC、 AB的中点 (I)证明：AE∥平面BCD: (2)求直线AE到平面BCD的距离. 16.(本小题满分15分) 成都某中学为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名 学生参加，其成绩均落在区间[50,100]内，将竞赛成绩数据分成 [50,60)[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，制成 ◆频率/组距 0.030 如图所示的频率分布直方图。 0.025 (1)求4的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数： 0.020 (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中 0.010 成绩在[50,60)，[60,70)内的两组学生中抽取6人， 5060708090100成绩/分 再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛 成绩在[50,60)内的概率. 高二数学 第3页共4页 17.(本小题满分15分) 如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且BA=BC=BD,∠CBA=∠CBD=120°. (I)求证：AD⊥BC. (2)求直线AD与面BCD所成角的大小的正弦值. (3)求二面角A-BD-C的大小的余弦值. 18.(本小题满分17分) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签 决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一 场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘 汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获 胜的概率都为2， (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率： (3)求丙最终获胜的概率. 19.(本小题满分17分) 在空间直角坐标系Oz中，已知向量i=(a,b,c),点R(x,o,2o).若直线l以a为方向向 量且经过点乃，则直线1的标准方程可表示为一龙=y-=一(abc≠0)；若平面a以 a b c 为法向量且经过点P,则平面α的点法式方程可表示为 a(x-x)+b(y-y)+c(z-)=0.如图所示，在空间直角坐标系Ogz中，已知五点 A(0,0,0),B(0,1,0),C1,2,0),D(1,0,0),P(0,0,1),E为线段PC的中点. (I)求平面PBD的点法式方程； (2)设直线AE与平面PBD的交点为F,求点F到直线 PB的距离： (3)过AE的平面交线段PB,PD于点M,N,求四棱 B 锥P-AMEN体积的最小值. 高二数学 第4页共4页